Université de Rennes 1 Année 2020/2021 Algèbre commutative et géométrie algébrique
À rendre pour le 17 février 2021
On pourra utiliser librement tous les résultats obtenus en cours, y compris ceux laissés en exercice. Sauf mention explicite du contraire, on désigne par k un corps infini et on utilise systématiquement la topologie de Zariski. Bon courage.
1. SiF ∈C[X] a pour degréd >0 et coefficient dominantad, on définit sondiscriminant par la formule
∆(F) := (−1)d(d−1)2
ad Res(F, F0) (où F0 désigne le polynôme dérivé de F).
(a) Calculer ∆(F) pourF =aX2+bX+caveca6= 0 ainsi que pourF =X3+pX+q.
(b) Soit F ∈ Q[X] irréductible. Montrer que ∆(F) 6= 0. En déduire que F n’a que des racines simples dans C.
(c) Soit K = F2(t) (le corps des fractions de l’anneau des polynômes sur le corps à deux éléments) et F = X2−t ∈ K[X]. Montrer que F est irréductible dans K[X]. Soit L un corps contenant K dans lequel F a une racine α. Montrer que α est alors racine double de F dans L. Pourquoi la démonstration sur Q ne fonctionne pas ici ?
2. (a) Pour t∈k, on désigne par Dt la droite joignant le points Pt = (0,1, t) au point Qt = (t,0,1) et on pose V =∪t∈kDt. Montrer que V est la surface paramétrée
x(t, u) =ut y(t, u) = 1−u z(t, u) =u+t−ut.
(b) En déduire que V est irréductible.
(c) Déterminer1 une base de Gröbner S pour l’ordre invlex de l’idéal I engendré par
x−ut, y−1 +u, z−u−t+ut ∈k[x, y, z, t, u].
(d) En déduire queI∩k[x, y, z] est un idéal principal dont on donnera un générateur f.
(e) On désigne par p : A5(k) → A3(k) la projection sur les premiers facteurs.
Montrer que V = p(V(S)) et en déduire que V est contenue dans la surface algébrique d’équation f = 0.
(f) Montrer que V = V(f) si bien que V est algébrique.
1. Exceptionnellement, on ne demande pas de justification et l’utilisation de l’outil informatique est fortement recommandé.
3. SiAest une partie d’un espace topologiqueV (fixé), on désigne parAson adhérence dans V et par
◦
A son intérieur (le plus grand ouvert de V contenu dansA).
(a) Montrer que pour A ⊂ V, les conditions suivantes sont équivalentes (on dira alors que A estrare dans V) :
1.
◦
A=∅,
2. Si U est un ouvert de V tel que U ⊂A, alors U =∅,
3. Si U est un ouvert non vide de V, alors A∩U n’est pas dense dans U, 4. Si U est un ouvert non vide de V, il existe un ouvert non vide U0 de V
contenu dans U et disjoint de A.
(b) Montrer que si V est un espace topologique irréductible et A ⊂ V, alors A est soit dense, soit rare dans V mais pas les deux.
(c) En déduire qu’un sous-ensemble algébrique propre2 de An(k) est rare (pour la topologie de Zariski) dans An(k).
(d) Montrer queZnest fermé et rare dansAn(C) pour la topologieusuelle (un ouvert est une union quelconque de boules ouvertes).
(e) Montrer que si F ∈C[X1, . . . , Xn] satisfait
∀(k1, . . . , kn)∈Zn, F(k1, . . . , kn) = 0, alors F = 0.
(f) En déduire que Zn est dense dans An(C) (pour la topologie de Zariski).
(g) On considère la courbe paramétrée réelle C donnée par
( x(t) = cos(t) y(t) = cos(2t)
(c’est à dire, C ={(cos(t),cos(2t)), t∈R}). Est-ce un sous-ensemble algébrique de A2(R) ? Déterminer sinon sa fermeture algébrique. La courbe C est elle irréductible ? dense ? rare ? (pour la topologie de Zariski de A2(R)).
2. C’est à dire « distinct deAn(k) ».
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