Université Paris Sud Année 2019–2020
L3/S6 M305 Algèbre II
TD n
◦VII
Réduction de FROBENIUS
Exercice A : (Endomorphismes nilpotents) Soitu ∈ EndK(E).
Montrrer que :
1) uest nilpotent d’échlondsi et seulement siPminu = Xd. 2) uest nilpotent d’échelondet cyclique si et seulement si
uest cyclique etdimKE = d . 3) uest nilpotent d’échelondsi et seulement siuest nilpotent de rangd−1.
Exercice B : SoitV un espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deV. On suppose queV =⊕4i=1Vi
où les sous-espaces vectorielsVisont des sous-espaces stables paru, cycliques pourude polynôme minimal respectifx,x, x(x−1),(x−1)2.
1) Quelle est la dimension deV ?
2) Donner les invariants de similitude deV et écrire une décomposition de FROBENIUSdeu.
Exercice C : 1) SoientP1,P2,P3,P4des polynômes unitaires deQ[x]irréductibles et distincts deux à deux.
Donner le nombre de classes de similitude des matrices à coefficients dansQ
de polynôme caractéristiquePcar = ±P17P26P37P44
(décomposition deP en facteurs irréductibles) et
de polynôme minimalPmin = P16P22P33P43.
On justifiera en énonçant en particulier le théorème utilisé sur les invariants des classes de similitude.
2) SoientP1,P2,P3trois polynômes irréductibles distincts sur un corpsK.
a) Combien y a-t-il de classes de similitude de matrices à coefficients dansKayant comme polynôme minimalP1P22P32et comme polynôme caractéristiqueP13P23P34?Pour chacune d’elles, donner les invariants de similitude.
b) On prendK=QetP1=x2+ 1,P2=x+ 1etP3=x−1. Parmi les classes de similitudes précédentes, quelles sont celles pour lesquelles la dimension de l’espace propre associé à la valeur propre1est supérieure ou égale à3 ?
Donner la matrice de Frobenius associée à une telle décomposition de Frobenius Indication : il ne doit donc apparaître que des matrices compagnons.
Exercice D : (Endomorphismes anti-involutif)
SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie etf ∈ EndK(E)un endomorphisme deEanti-involutif ; c’est-à-dire vérifiantf2 = −Id.
1) Donner un exemple d’un tel endomorphisme surR2.
2) Montrer quef n’admet pas de valeurs propres réelles. En déduire que la dimension deEest paire.
3) Montrer que pour toutx∈E,le sous-espace vectorielVect
x, f(x) est stable parf.
4) Montrer que siF ⊂Eest un sous-espace vectoriel deEstable parfet sixest un élément deEtel queVect
x, f(x) ∩ F 6= {0},alorsx ∈ F .
5) En déduire que sidimE = 2n,il existe des vecteurse1,· · · , en deEtels que(e1, f(e1),· · · , en, f(en))soit une base deE.Quelle est la matrice def dans cette base ?
Exercice E : SoitKun corps commutatif.
1) Combien y a-t-il de classes de similitude de matrices deM8(K)telles queImA = KerA?
2) Combien y a-t-il de classes de similitude de matrices nilpotentes deA ∈ M5(K)telles que le rang deA2soit2 ?
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