Université Paris Sud Année 2019–2020
L3/S6 M305 Algèbre II
TD n
◦III
Groupes abéliens libres, groupes abéliens de torsion
Exercice A : (Partie libre/génératrice)
SoitM un groupe abélien (ou unA-module pourAun anneau principal) de type fini.
1) a) Une partie libre maximale deM est-elle génératrice ? b) Une partie génératrice minimale deM est-elle une base ? 2) Un endomorphismef : M → M ,
a) injectif est-il toujours surjectif ? b) surjectif est-il toujours injectif ?
Exercice B : (Rang d’un groupe abélien libre de type fini) Soientr ∈ N∗ets ∈ N∗des entiers
A ∼= ZretB ∼= Zsdes groupes abéliens libres de type fini ;
On suppose donné un isomorphismeφ : A ∼= Bdont on pourra noterψ : B ∼= Al’isomorphisme réciproque.
Soit enfinp ∈ Pun nombre premier et
Fp := (Z/pZ,+,∗)le corps àpéléments.
1) Montrer que
A′ := {px , x ∈ A}(resp.B′ := {px , x ∈ B}) est un sous-groupe deA(resp.B.)
2) Montrer que
A′′ := A/A′(resp.B′′ := B/B′)est unFp-espace vectoriel isomorphe àFpr(resp.Fps.)
3) en notant
πA : A → A′′(resp.πB : B → B′′)la surjection canonique,
montrer qu’il existe un uniqueφ′′ : A′′ → B′′et un uniqueψ′′ : B′′ → A′′morphismes deFp-espaces vectoriels (i.e.ap- plicationsFp-linéaires) rendant les carrés suivants commutatifs :
A −−−−→φ B
πA
y
yπB A′′ −−−−→φ′′ B′′
et
B′′ −−−−→ψ A
πB
y
yπA B′′ −−−−→ψ′′ A′′.
4) Montrer queφ′′etψ′′sont des isomorphismes inverses l’un de l’autre et en déduire quer = s.
Exercice C : (Groupes abéliens libres)
1) Soitf : Zn → Zmun morphisme de groupes.
a) Montrer queKerf etZn/Kerfsont des groupes abéliens libres.
b) Soitf|Q : Qn → Qml’applicationQ-linéaire dont la restriction àZnestf.Montrer querg(Kerf) = dimQKer (f|Q) et querg(Zn/Kerf) = dimQIm (f|Q).
1
c) Montrer queKerf admet un supplémentaire dansZn. 2) Soit
G={x∈Z4|x1+ 2x2+ 3x3= 0et2x2+ 5x4= 0}.
Montrer queGest un groupe abélien libre de rang2.Déterminer une base deGainsi qu’un supplémentaire deGdansZ4. 3) Soit
H ={x∈Z3|2x1+x2+ 5x3= 0et4x1+ 3x2= 0}.
Montrer queHest un groupe abélien libre de rang1.Déterminer une base deH ainsi qu’un supplémentaire deHdansZ3.
Exercice D : (Groupes abéliens de type fini et de torsion)
1) Rappeler pourquoi un groupe abélien fini est de type fini et de torsion.
SoitGun groupe abélien de type fini et de torsion. SoitS := {s1, . . . , sr}une partie génératrice deG.
2) Rappeler pourquoi, pour tout1≤i≤r, siest d’ordre finidi. 3) Montrer que le morphisme
Zr → G , (n1, . . . nr) 7→
r
X
i=1
nisi
induit un morphisme surjectif
r
Y
i=1
Z/diZ → G .
4) En déduire queGest fini.
Exercice E : (Groupes abéliens de type fini) SoitAun groupe abélien.
1) Prouver que, siAest de type fini, tout quotient deAest encore un groupe abélien de type fini.
2) Prouver que, siAest de type fini, tout sous-groupe deAest encore un groupe abélien de type fini.
3) Étant donnée une suite exacte courte
0 → B −→ A −→ C → 0 oùBetCsont des groupes abéliens de type fini, montrer qu’il en est de même deA.
Exercice F : Dans le cours, la proposition suivante a été démontrée.
Proposition F.1 SoitGun groupe commutatif fini de type fini etH un sous-groupe deG.AlorsHest de type fini.
L’objectif de cet exercice est de faire remarquer que la généralisation de cette proposition aux groupes non-commuta- tifs n’est pas vraie. Pour cela, on introduit la notion suivante.
Définition F.2 Un groupeG(non-nécessairement commutatif) est de type fini s’il admet une partie génératrice de cardinal fini ; c’est-à-dire s’il existe une famille(gi)i∈I de cardinal fini telle queG=< gi|i∈I >G.
SoitS(Z)le groupe des bijections deZdansZ.SoitSc(Z)le sous-groupe deS(Z)des bijections de support fini ; c’est-à-dire l’ensemble des bijectionsf telles qu’il existeN ∈ Ntel quef(x) = xsix /∈ [−N, N].Si f ∈ Sc(Z),on appelle support def le plus petit entierNvérifiant la propriété ci-dessus.
1) En considérant le plus grand des supports d’une famille de cardinal fini d’éléments deSc(Z),montrer queSc(Z)n’est pas de type fini.
SoitGle sous-groupe deS(Z)engendré parSc(Z)et par le décalaged:n7−→n+ 1.
2) Pour toutN ∈ N,montrer que l’ensemble des bijections de support[−N, N]est engendré par les permutations de la forme(n, n+ 1)pour−N ≤n≤N−1.
3) Montrer que pour toutn ∈ N,(n, n+ 1)appartient à< d,(0,1)>G.
4) En déduire queGest de type fini mais que son sous-groupeSc(Z)n’est pas de type fini.
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