Université Paris Sud Année 2019–2020
L3/S6 M305 Algèbre II
TD n ◦ II
Anneaux idéaux
Exercice A : (Rappels et compléments sur les idéaux)
SoientAetBdeux anneaux commutatifs etf : A → Bun morphisme d’anneaux.
1) On suppose quef est surjectif.
a) Montrer que siI⊂Aest un idéal deAalorsf(I)est un idéal deB.
b) Montrer que siIest un idéal deAcontenantKerfalors f−1(f(I)) =I.
c) En déduire que l’applicationI7→f(I)réalise une bijection croissante entre l’ensemble des idéaux deAcontenantKerf et l’ensemble des idéaux deB.
d) SoitKun corps etP ∈ K[X].Décrire les idéaux deK[X]/(P).
2) On ne suppose plus quefest surjectif.
a) SiI⊂Aest un idéal deA,le sous-ensemblef(I)⊂Best-il toujours un idéal deB?
b) SoitJun idéal deB.Montrer quef−1(J)⊂Aest un idéal deAet queA/f−1(J)s’identifie à un sous-anneau deB/J. c) En déduire que siJest un idéal premier deB,alorsf−1(J)est un idéal premier deA.
d) SiJ⊂Best un idéal maximal deB,le sous-ensemblef−1(J)⊂Aest-il nécessairement un idéal maximal deA?
Exercice B : (Autour du théorème chinois)
SoitAun anneau commutatif. SiI,J⊂Asont des idéaux deA,on pose :
I+J := {a+b|a ∈ Ietb ∈ J} etIJ := {a1b1+· · ·+akbk|ai ∈ Ietbj ∈ J} .
1) Montrer que siI,Jsont des idéaux deAalorsI+J,IJetI∩Jsont des idéaux deA.
2) SoientI,Jdes idéaux deA.
a) Montrer queIJ⊂I∩J
b) On suppose queI+J = A.Montrer queIJ = I∩J.
c) Donner un contre-exemple à cette égalité siI+J6=A.(On pourra choisirA=Z).
d) SoientKetLdes idéaux tels que
I ⊂ K, J ⊂ L, K∩L ⊂ I∩JetK+L ⊂ I+J.
Montrer qu’alors
I = KetJ = L.
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3) SoientIetJdes idéaux deA.On note
pI : A → A/IetpJ : A → A/J les surjections canoniques et
q : A → A/I×A/J, x 7→ pI(x), pJ(x) .
a) Vérifier queqest un morphisme d’anneaux ; montrer qu’il existe un unique morphisme d’anneaux i : A/(I∩J) → A/I×A/Jtel quei ◦ pI∩J = q
et queiest injectif.
b) Montrer qu’il existe un unique morphisme d’anneaux
qI : A/I → A/(I+J)tel queqI ◦ pI = pI+J(resp.qJ : A/J → A/(I+J)tel queqJ ◦ pJ = pI+J)
et queqIetqJsont surjectifs.
Soit
p : A/I×A/J → A/(I+J), (α, β) 7→ qI(α)−qJ(β).
c) Montrer quepest un morphisme surjectif deA-modules.
d) ComparerKerpetImiet conclure.
e) Que devient la conclusion de d) siI+J = A?Montrer qu’on a alors un isomorphisme A/IJ ∼= A/I×A/J.
4) Reformuler les résultats des questions précédentes dans le cas oùAest un anneau principal.
5) SoientKun corps etP∈K[X].On écrit la décomposition dePen facteurs premiers dansK[X], P =P1e1· · ·Plelavec ei≥1pouri≤l.Montrer que
K[X]/(P) ∼= K[X]/(P1e1)× · · · ×K[X]/(Plel).
Exercice C : (L’anneauZ[j]) On note
σ : C → C, a+ib 7→ a−ib la conjugaison complexe. On note
j := e 2iπ
3 ∈ C
qui vérifie
j3 = 1, 1 +j+j2 = 0 etσ(j) = j2.
1) Montrer que si le polynôme1 +X+X2 ∈ Q[X]a une racine dansQcelle-ci est entière et en déduire quejn’est pas rationnel.
2) On noteZ[j]le sous-anneau deCdéfini par
Z[j] := {a+bj , (a, b) ∈ Z×Z}
muni des lois d’addition et de multiplication induites par celles deC.
Montrer queZ[j]est unZ-module (groupe abélien) libre de rang2et en donner une base.
3) Soit
N : C → R, z 7→ z·σ(z).
Montrer queN se restreint en une application encore notéeN : Z[j] → Nvérifiant
∀α∈Z[j]\ {0}, N(α) ≥ 1 et∀(α, β)∈Z[j]×Z[j], N(αβ) = N(α)N(β).
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4) Déterminer le groupeU := Z[j]×des éléments inversibles deZ[j].
On admettra dans la suite que, pour toutz ∈ Cil existeα ∈ Z[j]tel queN(z−α) < 1.
5) Montrer que l’anneauZ[j]est principal.
6) Soitρ := 1−j ∈ Z[j].
Montrer queρest irréductible dansZ[j]et divise3.
Indication : on pourra calculerN(ρ).
7) On noteκ := Z[j]/(Z[j]ρ).
Que peut-on dire de l’anneauκ?Montrer que la composée du morphisme
Z → Z[j], a 7→ a+ 0jet de la surjection canoniqueZ[j] → Z[j]/(Z[j]ρ)
se factorise en un isomorphisme
F3 := Z/3Z ∼= κ .
8) Pour toutα ∈ Z[j],on notera désormaisv(α)sa valuationρ-adiquei.e.le plus grand entier naturelktel queρk|α.
Rappeler rapidement pourquoi
∀(α, β)∈Z[j]×Z[j], v(αβ) = v(α) + v(β) etv(α+β) ≥ min(v(α), v(β)).
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