Université Paris Sud Année 2019–2020
L3/S6 M305 Algèbre II
TD n
◦VIII
Réduction de JORDAN
Exercice A : Déterminer les invariants de similitude des matrices sous forme réduite de Jordan suivantes :
A :=
2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
, B :=
2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2
etC :=
2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2
.
Exercice B : SoitV un espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme dont la matrice est la suivante dans une baseB= (e1,· · · , e14):
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Répondre aux questions suivantes dans l’ordre désiré (en justifiant et en limitant les calculs) : 1) Calculer le polynôme minimal deu.
2) Ecrire la décomposition de Frobenius deV :V =⊕ri=1Vien précisant la valeur deret la valeur des polynômes minimaux de la restriction deuàVi.
3) Calculer la dimension des noyaux deuspoursentier.
Exercice C : (Réduite de JORDANlorsquePcar est connu)
1) SoitV un espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deV. On suppose que le polynôme caracté- ristique deuest±(X−2)4(X+ 3)et que le noyau deu−2Idest un plan.
Quelles sont les formes possibles de la réduite de Jordan ?
2) SoitV un espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deV. On suppose que le polynôme caracté- ristique deuest±(X−1)3(X+ 1)2et que le noyau deu−Idest un plan.
Quelles sont les formes possibles de la réduite de Jordan ?
3) SoitV un espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deV. On suppose que le polynôme caracté- ristique deuest±(X+ 1)4(X2−1)2et que le noyau deu+ Idest de dimension 3.
Quelles sont les formes possibles de la réduite de Jordan ? Donner les invariants de similitude pour chacune.
Exercice D : (Matrice semblable à son double) SoitA ∈ Mn(C).
1) Montrer que siAest semblable à2AalorsAest une matrice nilpotente.
1
2) Montrer que pour toutk ∈ N,le bloc de JORDANJkest semblable à2Jk
3) En déduire qu’une matrice est nilpotente si et seulement si elle est semblable à son double.
Exercice E : (Matrice semblable à sa transposée)
On va montrer que toute matriceA ∈ Mn(C)est semblable à sa transposée.
1) Montrer qu’il suffit de vérifier le résultat pour les matrices avec une unique valeur propre.
2) Montrer qu’il suffit de vérifier le résultat pour les matrices nilpotentes.
3) Démontrer le résultat pour les matrices nilpotentes.
Exercice F : On considère les endomorphismesuetvdeC3dont les matrices dans la base canonique sont respective- ment
A :=
8 −16 −9 7 −15 −9
−7 16 10
etB :=
2 2 −3 5 1 −5
−3 4 0
.
1) Montrer queχA = χB = (X−1)3.
2) Montrer que l’ensemble des matricesM deM3(C)vérifiant(M −Id)3 = 0est constitué de3classes de similitudes dont on déterminera les réduites de JORDANassociées.
3) Déterminer la réduite de Jordan deuainsi qu’une base deC3dans laquelle la matrice deuest sa réduite de Jordan.
4) Déterminer la réduite de Jordan devainsi qu’une base deC3dans laquelle la matrice devest sa réduite de Jordan.
Exercice G : (Racine carrée)
SoitA ∈ Mn(C).On appelleracine carrée deA, toute matriceM deMn(C)vérifiantM2 = A.
1) On suppose queAest diagonalisable. Montrer queAadmet une racine carrée.
2) Dans cette question, on traite le cas oùAest nilpotente.
a) SoitB ∈ Mn(C)une matrice nilpotente.
Déterminer le tableau de YOUNGassocié àB2en fonction du tableau de YOUNGassocié àB.
b) Étant donnée une matrice nilpotenteAdont le tableau de YOUNGest
∗ ∗
∗
, (resp.
∗ ∗
∗ ∗
∗
), (resp.
∗ ∗ ∗
∗ ∗
)
trouver une matriceBtelle queB2 = A .
c) En déduire que siAest une matrice nilpotente alorsAadmet une racine carrée si et seulement si le tableau de YOUNGas-
socié àAne contient pas deux colonnes consécutives de même longueur impaire. En particulier le bloc de JORDAN
0 0 0 . . . 0 0 1 0 0 . . . 0 0 0 1 0 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 1 0
n’a pas de racine carrée.
3) Dans cette question, on traite le cas oùAest inversible.
a) Montrer que siBest une matrice nilpotente alorsId+B admet une racine carrée. (Indication : On pourra utiliser le développement en série entière dex7→√
1 +xau voisinage de 0).
b) En déduire que toute matrice inversible admet une racine carrée
4) Donner une condition nécessaire et suffisante pour queAadmette une racine carrée.
2
