Université Paris Sud Année 2019–2020
L3/S6 M305 Algèbre II
TD n
◦VI
Lemme des noyaux, espaces cycliques
L’exercice A est un exercices d’application du théorème de décomposition de DUNFORD(cf. cours IV.9.3 ;) l’exercice B permet à nouveau de mettre en œuvre des méthodes utilisées dans le DOC n◦ V ; l’exercice C et l’exercice D per- mettent de prouver un certain nombre de résultats qui seront utiles pour établir les derniers théorèmes de réduction de ce cours à savoir le théorème de réduction de FROBENIUS(cf. cours IV.11.5,) et le théorème de réduction de JORDAN(cf.
cours IV.10.10.) L’exercice D permet, en particulier d’établir la proposition IV.11.1 qui est l’exacte analogue des pro- positions II.10.1 et B.6.3 lesquelles constituent la première étape de la preuves des théorèmes IV.11.5 II.10.5 et B.6.13 respectivement.
Exercice A : (Décomposition de DUNFORD) 1) SoitAla matrice
A :=
1 −1 0
1 0 −1
−1 0 2
etf l’endomorphisme deR3associé.
1) Factoriser le polynôme caractéristique deA.
2) Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques deA.
3) Démontrer qu’il existe une base deR3dans laquelle la matrice def est
B =
1 1 0 0 1 1 0 0 1
et trouver une matricePinversible telle queA=P BP−1.
4) Ecrire la décomposition de DUNFORDdeB(justifier).
5) Pourt∈R,calculerexptB.
6) Donner les solutions des systèmes différentielsY′=BY etX′ =AX.
2) Trouver la décomposition de DUNFORDde la matrice/endomorphisme
u =
α x z 0 α y 0 0 β
.
Exercice B : (P(u) = P
P(λi)ui)
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etu ∈ EndK(E).
1) On supposeudiagonalisable et on noteλ1, . . . , λpses valeurs propres supposées deux à deux distinctes.
a) Montrer qu’il existe des endomorphismesu1, . . . , uptels que pour tout polynômeP ∈ K[X],on ait :
P(u) =
p
X
i=1
P(λi)ui.
b) Montrer que pour tout1 ≤ i ≤ p,il existe un polynômePitel queui = Pi(u).
1
2) Réciproquement, soitu, u1, . . . , up ∈ EndK(E)etλ1, . . . , λp ∈ Ktels que
∀P ∈K[X], P(u) =
p
X
i=1
P(λi)ui.
Montrer queuest diagonalisable etSp(u) ⊂ {λ1, . . . , λp}.
Exercice C : SoitEun espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deE. SoitF(resp.G) un sous-espace cyclique deEpourude polynôme minimalP (resp.Q). On suppose quePetQsont premiers entre eux.
Montrer queF etGsont en somme directe et que la sommeF⊕Gest cyclique. Quel est son polynôme minimal ? Exercice D : (Sous-espace cyclique)
SoientKun corps,EunK-espace vectoriel de dimension finie etf ∈ EndK(E)un endomorphisme deE.Sixest un élément deE,on appellepolynôme minimal def enx(cf. cours IV.2.2.iii),) le polynôme unitairePmin, fx ∈ K[X]de plus petit degré tel quePmin, fx (f)(x) = 0.
1) Montrer que pour toutx ∈ E,il existe un unique polynôme minimal enxet que Pmin, fx divise le polynôme minimal Pmin, f def.
2) On suppose dans cette question queKest infini.
a) Montrer que siF1,· · · , Fn sont des sous-espaces vectoriels deEtels queE = S
iFi alors il existe1 ≤ i ≤ ntel queFi = E.
b) En déduire qu’il existex ∈ Etel quePmin, fx soit le polynôme minimalPmin, f def.
2
