Université Paris Sud Année 2019–2020 L3/S6 M305 Algèbre II Problème n

(1)

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Les résultat du TD n^◦II, exercice C peuvent bien entendu être utilisés dans ce problème, qui en constitue une suite naturelle possible.

L’équationα³+β³+γ³ = 0)

Dans la suite on considère

(α, β, γ) ∈ Z[j]×Z[j]×Z[j]tel queα³ + β³ + γ³ = 0.

Dans cette question, l’élémentρ ∈ Z[j]est défini comme à la TD n^◦II, exercice C, question 6).

1) Montrer queρdivise l’un des trois facteurs

(α+β), (β+γ) ou (γ+α) Indication : on pourra vérifier que

(α+β+γ)³ = 3(α+β)(β+γ)(γ+α).

On suppose dans la suite queρ|(α+β).On suppose de plus queα, β,etγsont deux à deux premiers entre eux.

2) i) Montrer que l’on peut supposer que

α ≡ 1 [ρ] etβ ≡ −1 [ρ]

Indication : on pourra utiliser la TD n^◦II, exercice C, question 7).

ii) En écrivantα = 1 +λρet en étudiant les congruences possibles deλmoduloρ,montrer que, α ≡ 1 [ρ²] oujα ≡ 1 [ρ²] ouj²α ≡ 1 [ρ²] ;

on admettra sans refaire les calculs, qu’un résultat analogue vaut pourβ,i.e.

β ≡ −1 [ρ²] oujβ ≡ −1 [ρ²] ouj²β ≡ −1 [ρ²]. iii) Montrer que

v(αβγ) = v(γ) > 0. 3) Montrer qu’il existe

(α1, β1, γ1) ∈ Z[j]×Z[j]×Z[j]tel que

i)

α1 ≡ 1 [ρ²], β1 ≡ −1 [ρ²] ; ii)

α³1 + β1³ + γ1³ = 0 ; iii)

v(α1β1γ1) = v(αβγ) > 0 iv) α1, β1etγ1sont deux à deux premiers entre eux.

1

(2)

4) Montrer qu’il existe

(A, B, C) ∈ Z[j]×Z[j]×Z[j]tel que α1+jβ1 = Aρ, jα1+β1 = Bρ

et j²(α1+β1) = Cρ .

5) Montrer que :

i) AetBsont premiers entre eux Indication : on pourra calculer

ρ(Bj²−Aj) etρ(Aj²−Bj) ;

Un calcul tout à fait similaire et qu’on ne demande pas de faire montre queAetC(resp.BetC,) sont également premiers entre eux.

ii) A+B+C = 0 ; iii)

A ≡ 1 [ρ], B ≡ −1 [ρ] etC ≡ 0 [ρ] ; iv)

ρ³ABC = −γ1³.

6) Montrer qu’il existe

(u, α², β2, γ2) ∈ Z[j]^××Z[j]×Z[j]×Z[j]tel queuα³2 = A , uβ2³ = Betuγ2³ = C . 7) Montrer que

v(γ²) = v(γ)−1 et en déduire que

v(α2β2γ2) = v(αβγ)−1. 8) (Bonus)

Montrer qu’il n’existe pas d’entiers(a, b, c) ∈ Z×Z×Znon nuls tels que a³+b³ = c³.