Université Paris Sud Année 2019–2020 L3/S6 M305 Algèbre II TD n

Université Paris Sud Année 2019–2020

L3/S6 M305 Algèbre II

TD n ^◦ V

Anneau de polynômes

Exercice A : Soit A un anneau commutatif intègre.

1) Montrer que A est un corps si et seulement si A[X] est principal.

2) En déduire que A[X, Y ] et Z [X] ne sont pas principaux.

Exercice B : (Idéaux maximaux, polynômes irréductibles) Soit A un anneau commutatif.

1) (Idéaux maximaux de A)

a) Montrer que, pour un idéal M ⊂ A les conditions suivantes sont équivalentes : i) M est un idéal maximal ;

ii)

M 6= A et ∀x ∈ A \ M, ∃y ∈ A, ∃z ∈ M , xy + z = 1 .

b) En déduire que, pour un idéal M ⊂ A les conditions suivantes sont équivalentes : i) M est un idéal maximal ;

ii) le quotient A/M est un corps.

2) Soit K un corps et P ∈ K[X ] un polynôme à une indéterminée à coefficients dans K. Montrer que l’idéal P K[X ] :=

{P ∗ Q , Q ∈ K[X ]} est maximal si et seulement si P est irréductible.

3) Montrer que le résultat de la question 2) se généralise à n’importe quel anneau principal, à savoir que si A est un anneau principal, un idéal I de A est maximal si et seulement s’il existe un élément irréductible p ∈ A tel que I = Ap.

4) Dans cette question A := Z[X ] l’anneau des polynômes à une indéterminée à coefficients dans Z.

a) Déterminer l’ensemble A

des éléments inversibles de A.

b) Vérifier que le polynôme X

+ 1 ∈ A est irréductible.

c) Montrer que, pour tout P ∈ A, il existe un unique couple (Q, R) ∈ A × A tel que P = Q ∗ (X

+ 1) + R et deg(R) ≤ 1 .

Dans la suite on a toujours A = Z[X ], p est un nombre premier,

I := (X

+ 1) ∗ A = {(X

+ 1) ∗ P , P ∈ A} , J := {(X

+ 1) ∗ P + p ∗ Q , (P, Q) ∈ A × A} .

5) et l’on suppose de plus que p = 7. On note alors F

:= ( Z /7 Z , +, ∗) le corps à 7 éléments et F

[X ] l’anneau des polynômes à une indéterminée sur F

.

a) Montrer que le polynôme X

+ 1 est irréductible dans F

[X].

1

b) On note k := F

[X]/(X

+ 1) ∗ F

[X]. Montrer qu’on a un isomorphisme A/J ∼ = k

et en déduire que J est maximal dans A.

Exercice C : (Le K-espace vectoriel K[X ]/P K[X ])

Soient K un corps, P ∈ K[X ] un polynôme à coefficients dans K et

π : K [X] → K [X ]/P K [X ] la surjection canonique.

Montrer que :

1) K[X ]/P K[X ] est un K-espace vectoriel ; 2)

π(1), π(X), . . . , π(X

)

en est une base ; 3)

par conséquent dim

K [X]/P K [X] = deg(P) . Exercice D : (Le critère d’Eisenstein)

Soit A un anneau principal et p un élément irréductible de A. On note π : A → κ := A/p la surjection canonique et π[X ] : A[X ] → κ[X ] le morphisme entre les anneaux de polynômes qui s’en déduit (qui consiste à réduire les coefficients modulo p.) On note K le corps des fractions de A. On pourra ne considérer que le cas où A = Z et K = Q .

Soit P := X

+ a

X

+ · · · a

.X + a

∈ A[X] un polynôme unitaire non constant à coefficients dans A.

On note v

les valuations p-adiques (cf. I.14.9,’III.7.11.)

On dit que P est p-Eisenstein si les deux conditions suivantes sont vérifiées : i) Pour tout i ≤ n − 1, p divise a

(i.e. v

(a

) > 0.)

ii) p

ne divise pas a

(i.e. v

(a

) = 1.)

1) Montrer que pour tout P ∈ A[X ], tout Q ∈ A[X], P est p-Eisenstein et Q|P entraîne π[X ](Q) = ±X

. 2) Pour tout

P ∈ A[X ] , Q :=

deg(Q)

X

i=0

b

X

∈ A[X ] , R :=

deg(R)

X

i=0

c

X

∈ A[x],

montrer que P = Q ∗ R, P est p-Eisenstein deg(Q) > 0, deg(R) > 0 entraîne v

(b

) > 0 et v

(c

) > 0.

3) Déduire de ce qui précède que pour P ∈ A[X], P est p-Eisenstein entraîne P est irréductible.

4) Montrer finalement qu’il existe des polynômes irréductibles de tout degré dans K [X ].

Exercice E : ( K [X ]-modules) Soit K un corps.

1) Montrer que E est un K[X]-module si et seulement si, E est un K-espace vectoriel muni d’un endomorphisme u tel que pour tout v ∈ E, X · v = u(v) .

On parlera pour E du K-espace vectoriel sous-jacent.

2) Décrire les morphismes de K[X ]-modules (en termes d’applications K-linéaires.) 3) Étant donné un K[X ]-module E, décrire :

a) Les sous-K[X ]-modules de E, b) Les quotients de E.

c) Les suites exactes courtes

0 → N −−−−→

E −−−−→

Q → 0 .

4) Montrer qu’un K [X ]-module E est de type fini et de torsion si et seulement si le K -espace vectoriel E est de dimension finie.

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