MPSI B Année 2016-2017. DS 3 le 04/11/16 29 juin 2019

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MPSI B Année 2016-2017. DS 3 le 04/11/16 29 juin 2019

Exercice 1

Dans cet exercice la présentation des calculs sera valorisée. Vous devrez en particulier utiliser plusieurs lignes aectées de coecients (comme dans le cours) et veiller à ce que tout calcul tienne sur une seule page.

Les résultats doivent être encadrés et présentés avec les notations de l'énoncé.

Dans cet exercice, I =]0, +∞[ et, sauf mention explicite, toutes les fonctions considérées sont dénies dans I et à valeurs dans R. On utilise des puissances symboliques pour désigner les dérivées successives. Pour une fonction z quatre fois dérivable :

z

⁰

= z

⁽¹⁾

, z

⁰⁰

= (z

⁰

)

⁰

= z

⁽²⁾

, z

⁽³⁾

= (z

⁰⁰

)

⁰

, z

⁽⁴⁾

= z

⁽³⁾

0

On considère les équations diérentielles suivantes

(E) ∀t ∈ I, tx

⁰⁰

(t) − 2x

⁰

(t) − tx(t) = 0

(E

₄

) x

⁽⁴⁾

− 2x

⁽²⁾

+ x = 0

(E

2

) x

⁰⁰

− x = 0

Leurs ensembles de solutions (dénies dans I ) sont respectivement notés S , S

4

et S

2

. 1. De (E) à (E

₄

) . Soit z ∈ S une solution de (E) .

a. Montrer que z est de classe C

^∞

.

b. Exprimer 2z

⁰

en fonction de t , z

⁽⁴⁾

(t) et z

⁰⁰

(t) . c. Montrer que S ⊂ S

4

.

2. Étude de (E

4

) .

a. Si z est dénie dans I par z(t) = e

^λt

pour λ ∈ R, calculer z

⁽⁴⁾

− 2z

⁽²⁾

+ z . b. On dénit les fonctions z

1

, z

2

, z

3

, z

4

∀t ∈ I, z

1

(t) = te

^t

, z

2

(t) = e

^t

, z

3

(t) = te

^−t

, z

4

(t) = e

^−t

Montrer que ces fonctions sont des solutions de (E

4

) . Que peut-on dire des fonc- tions az

1

+ bz

2

+ cz

3

+ dz

4

, pour tout (a, b, c, d) ∈ R

⁴

?

3. Solutions de (E) . On admet ici que

z ∈ S

4

⇒ ∃(a, b, c, d) ∈ R

⁴

tq z = az

1

+ bz

2

+ cz

3

+ dz

4

Déterminer l'ensemble des solutions de (E) .

4. On veut démontrer ici la propriété admise à la question 3.

a. Soit z ∈ S

4

, montrer que z

⁰⁰

− z ∈ S

2

. b. Montrer que

z ∈ S

4

⇒ ∃(a, b, c, d) ∈ R

⁴

tq z = az

1

+ bz

2

+ cz

3

+ dz

4

5. Recollement. On considère l'équation diérentielle

(E) ∀t ∈ R , tx

⁰⁰

(t) − 2x

⁰

(t) − tx(t) = 0

Existe-t-il des fonctions deux fois dérivables dans R

^∗

et continues en 0 solutions de cette équation ? S'il en existe comment s'écrivent-t-elles et de combien de paramètres dépendent-t-elles ?

Exercice 2

Soit T un nombre réel strictement positif et a une fonction continue et T -périodique c'est à dire vériant :

∀t ∈ R : a(t + T ) = a(t)

On note A une primitive

¹

de a et on considère l'équation diérentielle où l'inconnue y est une fonction à valeurs réelles

y

⁰

+ ay = 0 (1)

1. Montrer que pour tout réel t ,

A(t + T ) − A(t) = A(T ) − A(0)

2. Montrer qu'il existe une unique solution (notée y

₁

) de (1) prenant en 0 la valeur 1 . 3. Théorème de Floquet à l'ordre 1 .

Montrer qu'il existe un unique nombre réel K et une unique fonction T -périodique p tels que

∀t ∈ R : y

₁

(t) = p(t)e

^Kt

Préciser l'expression de K .

4. Montrer que toute solution z de (1) est de la forme t → z(0)p(t)e

^Kt

Si K < 0 , que peut-on en déduire pour le comportement de z en +∞ ?

1dans cet exercice, il est inutile d'utiliser des intégrales

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S1603E

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MPSI B Année 2016-2017. DS 3 le 04/11/16 29 juin 2019

Exercice 3

Soient p et q des fonctions continues dans un intervalle I de R et à valeurs réelles qui vérient :

∀x ∈ I : p(x) > q(x)

On considère des équations diérentielles dont l'inconnue est une fonction y dénie dans I .

y

⁰⁰

+ py = 0 (1)

y

⁰⁰

+ qy = 0 (2)

On se propose de prouver une certaine propriété d'entrelacement des zéros des solutions de ces équations.

On suppose qu'il existe une solution y

2

de (2) et des réels a , b tels que : a < b y

2

(a) = y

2

(b) = 0 ∀x ∈]a, b[: y

2

(x) > 0

On admettra que ces propriétés entraînent y

₂⁰

(a) ≥ 0 et y

⁰₂

(b) ≤ 0 . Soit y

₁

une solution de (1) et W la fonction dénie par :

W =

y

1

y

2

y

₁⁰

y

₂⁰

1. Calculer et simplier la dérivée de W .

2. Montrer que la proposition (∀x ∈]a, b[: y

₁

(x) > 0) est fausse.

3. Montrer qu'il existe un x ∈]a, b[ tel que y

1

(x) = 0 .

4. On considère un intervalle I =]0, +∞[ et une fonction p continue de I dans R pour laquelle il existe un réel ω > 0 tel que

∀x ∈ I : p(x) > ω

²

Montrer que toute solution de l'équation diérentielle y

⁰⁰

+ py = 0

admet une innité de zéros (prend une innité de fois la valeur 0 ).

Exercice 4

Exercice 1

Former le tableau des signes de cos(2x) et 2 cos x − 1 pour x dans ] − π, π] . Déterminer l'ensemble des x de ] − π, π] tels que

cos x + cos(3x) > cos(2x)

Exercice 2

Soit a , b , c trois nombres complexes de module 1 et deux à deux distincts. On considère T = b(c − a)

²

a(c − b)

²

1. On pose w =

^c−a_c−b

. Exprimer w en fonction de a , b , c puis exprimer T avec un module.

2. Exprimer T en utilisant des arguments α , β , γ de a , b , c .

3. Interpréter géométriquement le résultat T ∈ R

+

démontré de deux manières diérentes dans les questions précédentes.

Exercice 3

Soit n ∈ N

^∗

et T

n

= {(i, j) ∈ N

²

tq 1 ≤ i < j ≤ n} . On considère P

n

= Q

(i,j)∈Tn

ij . On se propose de calculer ce produit de deux manières diérentes.

1. On note u

_j

= Q

j−1

i=1

(ij) et v

_j

= (j!)

^j−1

pour j ≥ 2 entier.

a. Simplier

_v^v_j−1^j

pour j ≥ 2 .

b. Exprimer u

j

à l'aide d'une factorielle et d'une puissance.

c. En déduire une expression de P

n

. 2. On pose

T

_n⁰

= {(i, j) ∈ N

²

tq 1 ≤ j < i ≤ n} P

_n⁰

= Y

(i,j)∈T_n⁰

ij

D

n

= {(i, i) ∈ N

²

tq 1 ≤ i ≤ n} π

n

= Y

(i,j)∈Dn

ij

a. Calculer

Π

n

= Y

(i,j)∈{1,···n}²

(ij )

2

(3)

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b. Que vaut le produit P

n

π

n

P

_n⁰

? c. Montrer que P

n

= P

_n⁰

.

d. En déduire l'expression de P

n