mpsi A + B Année 2015-2016. DS commun 3 le 10/06/16 29 juin 2019

(1)

mpsi A + B Année 2015-2016. DS commun 3 le 10/06/16 29 juin 2019

Exercice 1

Soit (E, (.|.)) un espace préhilbertien réel, n ∈ N

^∗

et des vecteurs v

₁

, ..., v

_n

unitaires.

1. On suppose ici les vecteurs v

i

deux à deux orthogonaux. Montrer que :

n

X

i=1

v

_i

= √ n.

2. Les vecteurs v

_i

ne sont pas ici supposés deux à deux orthogonaux. Il s'agit de montrer qu'il existe un n -uplet (ε

₁

, ..., ε

_n

) ∈ {−1, 1}

ⁿ

tel que :

n

X

i=1

ε

_i

v

_i

≤ √ n.

Considérons un espace probabilisé ni (Ω, P ) et n variables aléatoires X

1

, ..., X

n

mutuellement indépendantes sur Ω et à valeurs dans {−1, 1} telles que :

∀i ∈ J 1, n K , P (X

i

= 1) = P (X

i

= −1) = 1 2 . a. Montrer que E(R) = n pour la variable aléatoire R dénie par

R =

n

X

i=1

X

i

v

i

2

. b. En déduire qu'il existe ω ∈ Ω tel que R(ω) ≤ n .

c. Conclure.

3. Pour toute partie I ⊂ J 1, n K et tout n -uplet (p

1

, ..., p

n

) ∈ [0, 1]

ⁿ

, posons : v

_I

= X

i∈I

v

_i

, v =

n

X

i=1

p

_i

v

_i

.

On veut montrer qu'il existe I ⊂ J 1, n K telle que kv − v

I

k ≤

√ n 2 .

Soient n variables aléatoires mutuellement indépendantes Y

1

, ..., Y

n

dénies sur Ω à valeurs dans {0, 1} et suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètre p

i

. Posons :

S =

n

X

i=1

Y

i

v

i

− v

2

. a. Montrer que E(S) ≤ n

4 . b. Conclure.

Exercice 2

Dans cet exercice, ( Ω, P ) désigne un espace probabilisé ni tel que

∀A ∈ P(Ω) \ {∅}, P (A) > 0

On note E = R

^Ω

l'ensemble des variables aléatoires réelles sur Ω et on considère dans E une famille X

₁

, ..., X

_n

de variables aléatoires centrées réduites mutuellement indépendantes.

1. Pour tout couple (X, Y ) ∈ E

²

, on pose < X, Y >= E(XY ) . a. Montrer que < ., . > est un produit scalaire sur E . b. Montrer que la famille (X

1

, · · · , X

n

) est orthonormée.

2. Soit Z : Ω → R

+

une variable aléatoire telle que E(Z) > 0 . Pour chaque t dans [0, E(Z)] , on introduit des variables aléatoires Z

_t⁺

et Z

_t⁻

dénies par

∀ω ∈ Ω, Z

_t⁺

(ω) =

( Z(ω) si Z(ω) > t

0 si Z(ω) ≤ t , Z

_t⁻

(ω) =

( Z (ω) si Z(ω) ≤ t 0 si Z(ω) > t a. Montrer que E(Z

_t⁻

) ≤ t .

b. Montrer que E(Z

_t⁺

) ≤ p

E(Z

²

) p

P (Z > t) . c. En déduire que :

P (Z > t) ≥ (E(Z ) − t)

²

E(Z

²

) . 3. On munit R

ⁿ

du produit scalaire canonique (.|.) .

Pour a = (a

₁

, ..., a

_n

) ∈ R

ⁿ

xé, on dénit des variables aléatoires − →

V à valeurs dans R

ⁿ

et Z à valeurs dans R

⁺

:

−

→ V = (a

₁

X

₁

(ω), a

₂

X

₂

(ω), · · · , a

_n

X

_n

(ω)) , Z =

−

→ V

2

a. Montrer que E(Z ) = kak

²

et que E(Z

²

) = X

1,≤i,j≤n

a

²_i

a

²_j

E(X

_i²

X

_j²

) .

b. Soit µ > 0 tel que pour tout i ∈ J 1, n K, E(X

_i⁴

) ≤ µ

⁴

. Montrer que E(Z

²

) ≤ µ

⁴

kak

⁴

.

4. à reprendre, le résultat obtenu est complètement trivial.

On suppose dans cette question que

∀i ∈ J 1, n K , P (X

i

= 1) = P (X

i

= −1) = 1 2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S1511E

(2)

mpsi A + B Année 2015-2016. DS commun 3 le 10/06/16 29 juin 2019

Montrer que pour tout t ∈]0, 1[ : P

−

→ V

> t kak

≥ (1 − t

²

)

²

Problème

Ce problème

¹

est constitué de trois parties, la troisième partie étant complètement indé- pendante des deux premières.

On note E l'espace vectoriel C

⁰

([0,

^π₂

], R ) des fonctions continues sur [0,

^π₂

] à valeurs réelles muni du produit scalaire et de la norme associée dénis par :

∀(f, g) ∈ E

²

, hf, gi = Z

^π₂

0

f (t)g(t) dt, kfk = p hf, fi

Un endomorphisme

²

U de E est dit symétrique déni positif si hU (f ), gi = hf, U(g)i pour tous f, g dans E et si de plus hU (f ), fi > 0 pour tout f ∈ E non nul.

Partie 1 : Opérateurs de Volterra

Étant donné un endomorphisme U de E et un réel λ , on rappelle que λ est une valeur propre de U s'il existe une fonction f ∈ E non nulle telle que U (f ) = λf . On dit alors que f est un vecteur propre de U associé à la valeur propre λ .

On dénit des applications V et et V

^∗

en posant pur toute fonction f ∈ E et tout :

∀f ∈ E, ∀x ∈ [0, π

2 ] : V (f )(x) = Z

x

0

f (t) dt, V

^∗

(f )(x) = Z

^π₂

x

f (t) dt.

1. Montrer que V et V

^∗

sont des endomorphismes de E .

2. En observant que V (f ) et −V

^∗

(f ) sont des primitives de f , montrer que

∀(f, g) ∈ E

²

, hV (f ), gi = hf, V

^∗

(g)i .

3. Montrer que l'endomorphisme V

^∗

◦ V est symétrique déni positif. En déduire que les valeurs propres de V

^∗

◦ V sont strictement positives.

1d'après Mines 1 MP 2015.

2Dans le cas où comme ici l'espace vectoriel est constitué de fonctions, un endomorphisme est souvent appelé un opérateur.

4. Soit λ une valeur propre de V

^∗

◦ V et soit f

λ

un vecteur propre associé. Montrer que f

λ

est de classe C

²

et qu'il est solution de l'équation diérentielle

y

⁰⁰

+ 1

λ y = 0 avec y( π

2 ) = 0 et y

⁰

(0) = 0.

5. Montrer qu'un réel λ est valeur propre de V

^∗

◦ V si et seulement s'il existe n ∈ N tel que λ =

_(2n+1)¹ 2

. Préciser alors les vecteurs propres associés.

Partie 2 : Equations diérentielles de type Sturm-Liouville

Soient h ∈ E, λ ∈ R. Considérons l'équation diérentielle S et les fonctions ϕ

n

: S :

( y

⁰⁰

+ λy + h = 0

y(π/2) = y

⁰

(0) = 0 , ∀n ∈ N , ϕ

_n

:

( [0, π/2] → R t 7→ cos((2n + 1)t) . 1. Déterminer la fonction V (ϕ

n

) pour tout n ∈ N.

2. Montrer que pour tout n ∈ N

^∗

et tout f ∈ E : h(V

^∗

◦ V )(f ), ϕ

_n

i = 1

(2n + 1)

²

hf, ϕ

_n

i . 3. Soit g ∈ E . Montrer que g est solution de S si et seulement si :

g = λV

^∗

◦ V (g) + (V

^∗

◦ V )(h).

4. Soit g ∈ E une solution de S . Montrer que pour tout n ∈ N :

1 − λ

(2n + 1)

²

hg, ϕ

n

i = 1

(2n + 1)

²

hh, ϕ

n

i .

5. Supposons qu'il existe p ∈ N tel que λ = (2p+1)

²

. Déterminer une condition nécessaire sur h pour que S possède une solution.

Partie 3 : Approximation par des fonctions trigonométriques

Soit G = C

⁰

([0, π], R ) des fonctions continues sur à valeurs réelles, muni du produit scalaire et de la norme associée dénis par

∀(f, g) ∈ G

²

, hf, gi

_G

= Z

π

0

f (t)g(t) dt, kf k

_G

= q hf, f i

_G

2

(3)

mpsi A + B Année 2015-2016. DS commun 3 le 10/06/16 29 juin 2019

Pour tout n ∈ N, on dénit une fonction c

n

et un sous-espace vectoriel F

n

de G :

∀n ∈ N , ∀t ∈ [0, π], c

_n

(t) = cos(nt), F

_n

= Vect(c

₀

, ..., c

_n

) On désigne par P

_F_n

la projection orthogonale sur F

_n

.

1. Soit p une fonction polynomiale réelle de degré inférieur ou égal à n . Montrer que la fonction t ∈ [0, π] 7→ p(cos(t)) appartient à F

n

.

2. Posons α

0

=

^√¹_π

et α

n

= q

2

π

pour tout n ∈ N

^∗

. Montrer que la famille (α

n

c

n

)

_n∈N

est orthonormale.

Dans la n du problème, on admet le théorème de Weierstrass :

Soit f ∈ C([−1, 1], R ) et ε > 0 , il existe une fonction polynomiale P telle que :

∀u ∈ [−1, 1], |f (u) − P (u)| ≤ ε 3. Montrer que pour toute fonction g ∈ G :

kg − P

_F_n

(g)k

_G

−−−−−→

n→+∞

0. 4. En déduire que pour toute fonction g ∈ G , il existe une suite (a

_n

) telle que :

g −

n

X

k=0

a

k

c

k

G

−−−−−→

n→+∞

0.

3