MPSI B DS 9 29 juin 2019

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Problème I.

L'objet de ce problème

est de donner quelques applications géométriques des matrices de Gram. On se place dans un R-espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2 noté E . Son produit scalaire est noté ( | ) et la norme associée est notée || || .

Si x

, x

, . . . , x

sont p vecteurs de E , on appelle matrice de Gram de x

, x

, . . . , x

, notée G(x

, x

, . . . , x

)

la matrice de M

( R ) de terme général (x

|x

) pour 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ p .

G(x

, x

, . . . , x

) =











(x

|x

) (x

|x

) . . . (x

|x

) (x

|x

) . . . . .

... . . . . ...

(x

|x

) . . . . (x

|x

)











Son déterminant est noté

Γ(x

, x

, . . . , x

) = det (G(x

, x

, . . . , x

)) Si A est une matrice de M

( R ) , le noyau de A est par dénition,

ker(A) = {X ∈ M

( R ), AX = 0}

Pour n entier supérieur ou égal à 2 , on note E

l'espace R

muni du produit scalaire canonique à la fois considéré comme espace vectoriel euclidien et espace ane euclidien.

I. Généralités

1. Résultat préliminaire

a. Que peut-on dire d'une matrice Y ∈ M

( R ) vériant

Y Y = 0 ?

b. Si A ∈ M

( R ) , montrer que ker(

A A) ⊂ ker A . En déduire rg(

A A) = rg A . 2. On se donne une famille de p vecteurs x

, x

, . . . , x

de E dont la matrice dans une

base orthonormale B = (e

, e

, . . . , e

) est notée A .

Montrer que G(x

, x

, . . . , x

) =

AA . Quel est le lien entre le rang de la matrice G(x

, x

, . . . , x

) et celui de la famille de vecteurs (x

, x

, . . . , x

) ?

3. Dans toute cette question, on suppose p = n .

1d'après concours commune polytechnique lière MP 2006

a. Caractériser à l'aide du déterminant Γ(x

, x

, . . . , x

) le fait que la famille (x

, . . . , x

) est liée.

b. Montrer que (x

, x

, . . . , x

) est libre si et seulement si, Γ(x

, x

, . . . , x

) > 0 . 4. Application.

L'angle géométrique d'un couple (u, v) de vecteurs non nuls de E

est le réel α ∈ [0, π]

vériant : cos α =

.

Si A , B , et C sont trois points de E

situés sur la sphère de centre O et de rayon 1, si on désigne par α , β , et γ l'angle géométrique des couples respectifs ( −→

OA, − − → OB) , ( − − →

OB, − − →

OC ) et ( −→

OA, − − →

OC ) , montrer en utilisant une matrice de GRAM que : 1 + 2 cos α cos β cos γ ≥ cos

α + cos

β + cos

γ.

Que se passe-t-il si les points A , B et C sont sur un même cercle de centre O ? 5. Interprétation géométrique de la matrice de Gram.

a. Si a, b et y sont trois vecteurs de E tels que le vecteur a soit orthogonal à la fois au vecteur b et au vecteur y , trouver une relation entre les déterminants Γ(a + b, y) , Γ(a, y) et Γ(b, y) .

b. Si (x, y) est une famille libre de deux vecteurs de E

, si F = vect {y} et si z est le projeté orthogonal du vecteur x sur F , montrer que Γ(x, y) = Γ(x − z, y) . c. En déduire que si A , B et C sont trois points non alignés de E

,

q

Γ( − − → AB, −→

AC) est l'aire du triangle ABC (donc q

Γ( − − → AB, −→

AC) est l'aire du parallélogramme "formé par A , B et C ").

II. Points équidistants sur une sphère euclidienne

Dans cette partie, m est un entier naturel, m ≥ 2 , et t est un réel, t 6= 1 .

La famille de m vecteurs distincts (x

, x

, . . . , x

) de l'espace E , de dimension n ≥ 2 , est solution du problème P(m, t) si :

tous les vecteurs x

, x

, . . . , x

sont de norme 1

pour tout couple (i, j) d'entiers distincts entre et 1 et m, (x

, x

) = t.

1. Résultats préliminaires

a. Montrer que si (x

, x

, . . . , x

) est solution du problème P(m, t) alors, pour tout couple (i, j) d'entiers distincts entre 1 et m , ||x

− x

|| est constant.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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b. Calculer le déterminant de la matrice J + xI

(où J est le matrice carrée de taille m qui ne contient que des 1)

c. En déduire que si (x

, x

, . . . , x

) est solution du problème P (m, t) , alors Γ(x

, x

, . . . , x

) = (1 − t)

(1 + (m − 1)t).

2. Conditions nécessaires

a. Montrer que, pour que (x

, x

, . . . , x

) soit une famille libre de vecteurs solution du problème P (m, t) , il est nécessaire que t ∈ i

−1 m−1

, 1 h

et que m ≤ n .

b. Montrer que, pour que (x

, x

, . . . , x

) soit une famille liée de vecteurs solution du problème P (m, t) , il est nécessaire que t =

et que m ≤ n + 1 .

(on pourra montrer qu'alors, la famille (x

, x

, . . . , x

) est libre).

c. Application. Existe-t-il dans E

cinq vecteurs distincts qui deux à deux forment un même angle θ ?

3. Exemple du cas n = 2

Déterminer pour m ≥ 3 , s'il existe une famille (A

, A

, . . . , A

) de points de E

, telle que la famille de vecteurs ( −−→

OA

, −−→

OA

, . . . , −−−→

OA

) soit solution du problème P(m, t) en précisant le couple (m, t) . Lorsqu'une telle famille (A

, A

, . . . , A

) existe, placer ces points sur une gure.

4. Exemple du cas n = 3

On suppose que n = 3 et t ∈

−

, 1 . On pose a = q

2−2t

3

et b = q

2t+1 3

.

a. Soit u un vecteur unitaire de R

et H le sous espace supplémentaire orthogonal de vect {u} dans R

, justier qu'il existe une famille (y

, y

, y

) de vecteurs de H solution du problème P(3, −

) .

b. Si on pose alors, pour tout i ∈ {1, 2, 3} , x

= ay

+ bu , montrer que (x

, x

, x

) est une famille libre de vecteurs solution au problème P (3, t) .

c. Former une condition portant sur α ∈]0, π[ , vériée lorsqu'il existe trois points A

, A

, A

de la sphère de centre O et de rayon 1 de E

tels que les trois angles géométriques des couples ( −−→

OA

, −−→

OA

) , ( −−→

OA

, −−→

OA

) et ( −−→

OA

, −−→

OA

) soient égaux à α ? (on demande de ne pas utiliser le résultat de la question 4 de la partie I)

Problème II.

Ce problème porte sur des propriétés de R

(ϕ) déni par : ϕ

2 = sin ϕ − 1

2 sin(2ϕ) + 1

3 sin(3ϕ) + · · · + (−1)

n sin(nϕ) + R

(ϕ)

où n est un entier naturel non nul et ϕ ∈ [−

,

] .

Partie I. Aspect euclidien.

On dénit un produit scalaire (./.) dans E = C(I, R ) avec I = [−π, π] en posant :

∀(f, g) ∈ E

: (f /g) = Z

−π

f (t)g(t) dt

La démonstration qu'il s'agit bien d'un produit scalaire n'est pas demandée.

On dénit les fonctions u et (pour tout entier naturel n ) c

, s

en posant :

∀t ∈ I : u(t) = t

2 , c

(t) = cos(nt), s

(t) = sin(nt) 1. Calculer, pour tout couple (m, n) d'entiers naturels

(c

/c

), (c

/s

), (s

/s

)

Soit n naturel xé, que peut-on conclure pour la famille formée par toutes les fonctions c

et s

pour k entre 0 et n ?

2. Calculer (u/c

) et, pour tout entier k non nul, (u/c

)

kc

k

, (u/s

) ks

k

, Que peut-on en conclure pour la fonction R

?

Partie II. Reste intégral.

Dans cette partie, n ∈ N

, x est un réel strictement positif et

ϕ = arctan 1

x , y = x + p 1 + x

1. a. Montrer que

arctan

(x) = (−1)

(n − 1)! (sin nϕ)(sin ϕ)

b. Former (en le démontrant) le développement limité de arctan en 0 à l'ordre n . En déduire arctan

(0) .

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2. a. Exprimer arctan x en fonction de ϕ . b. Exprimer arctan y en fonction de ϕ .

c. Exprimer y − x en fonction de ϕ .

3. Former le développement de Taylor avec reste intégral de la fonction arctan entre x et y à l'ordre n .

4. Montrer que

R

(ϕ) = Z

x

(y − t)

n! arctan

t dt

5. Eectuez le changement de variable θ = arctan

dans l'expression intégrale de R

.

Partie III. Reste de Lagrange et convergence.

Les relations entre x , y et ϕ sont les mêmes que pour la partie II. On se propose de montrer que la suite (R

(ϕ))

converge vers 0 .

1. Montrer que pour tout n naturel, il existe un z

(ϕ) ∈ [x, y] tel que

R

(ϕ) = (y − x)

(n + 1)! arctan

z

(ϕ) 2. Montrer qu'il existe un θ

∈ [

, ϕ] tel que

R

(ϕ) = (−1)

(n + 1)

(sin(n + 1)θ

)(sin θ

)

(sin ϕ)

3. Montrer que la suite (R

(ϕ))

converge vers 0 .

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