MPSI B Année 2015-2016. DS 7 le 11/03/16 29 juin 2019

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MPSI B Année 2015-2016. DS 7 le 11/03/16 29 juin 2019

Exercice

Cet exercice repose sur l'utilisation de la décomposition en éléments simples.

Montrer la convergence et calculer la limite de la suite

n

X

k=3

4k − 3 k(k − 2)(k + 2)

!

n∈N

Problème

Soit V un espace vectoriel réel

¹

et L(V ) l'espace vectoriel de ses endomorphismes.

Lorsque f ∈ L(V ) et k ∈ N, on note

f

⁰

= Id

V

, f

^k

= f ◦ · · · ◦ f

| {z }

kfois

On désigne par E l'espace des polynômes à coecients réels et, pour un entier n , par E

n

l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n . E = R [X ], E

_n

= R

n

[X]

Soit D l'endomorphisme de dérivation de E qui à un polynôme Q associe son polynôme dérivé Q

⁰

et D

n

la restriction de D à E

n

qui à un polynôme Q de degré inférieur ou égal à n associe son polynôme dérivé Q

⁰

.

L'objet du problème est de rechercher les réels λ pour lesquels

∃g ∈ L(E) tel que λ Id

E

+D = g

²

et de préciser éventuellement cet endomorphisme g . On se pose la même question pour l'endomorphisme λ Id

_E_n

+D

_n

.

Préliminaires : noyaux itérés

Soit V un espace vectoriel réel et f un endomorphisme de V .

1. Montrer que la suite des noyaux des endomorphismes f

^k

pour k = 1, 2, · · · est une suite de sous-espaces vectoriels de V emboitée croissante :

ker f

⁰

⊂ ker f

¹

⊂ · · · ⊂ ker f

^k

⊂ ker f

^k+1

⊂ · · ·

1Préliminaires, Première et Deuxième partie de la première épreuve du Concours Commun Mines-Ponts 2001 PC.

2. Montrer que s'il existe un entier p tel que ker f

^p

= ker f

^p+1

, alors :

∀k ≥ p, ker f

^k

= ker f

^p

3. Montrer que lorsque V est de dimension nie n , la suite des dimensions des ker f

^k

est constante à partir d'un rang p ≤ n . En déduire en particulier ker f

ⁿ

= ker f

ⁿ⁺¹

. 4. Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel V de dimension nie n pour lequel

il existe un entier q ≥ 1 tel que u

^q

soit l'endomorphisme nul. On dit alors que u est nilpotent. Montrer que u

ⁿ

est l'endomorphisme nul.

Partie I.

Dans cette partie, on se donne un λ ∈ R pour lequel il existe g satisfaisant à la relation étudiée et on établit des propriétés de g . On donne aussi un exemple.

1. Restrictions et commutations.

a. Soit n ∈ N et g

n

∈ L(E

n

) (on rappelle que E

n

= R

n

[X ] ) tel que g

_n²

= λId

E_n

+D

n

. Montrer que g

n

commute avec D

n

c'est à dire g

n

◦ D

n

= D

n

◦ g

n

.

Montrer que, pour tout p ∈ J 0, n K, le sous-espace E

p

est stable par g

n

. On note g

p

la restriction de g

n

à E

p

, montrer que :

g

²_p

= λId

E_p

+ D

p

b. Soit g ∈ L(E) (on rappelle que E = R [X ] ) tel que g

²

= λId

E

+ D . Montrer que g commute avec D c'est à dire g ◦ D = D ◦ g .

Montrer que, pour tout n ∈ N, le sous-espace E

n

est stable par g . On note g

n

la restriction de g à E

_n

, montrer que :

g

_n²

= λId

E_n

+ D

n

2. Caractérisation des sous-espaces stables.

Soit g ∈ L(E) tel que g

²

= λId

_E

+ D et n ∈ N.

a. Soit F un sous-espace vectoriel de dimension n + 1 de E et stable par D . On note D

F

∈ L(F ) la restriction de D à F .

Montrer que D

F

est nilpotent. En déduire que F = E

n

= R

n

[X] .

Déterminer les sous-espaces vectoriels (de dimension nie ou non) de E stables par D .

b. Montrer qu'un sous-espace vectoriel G de E est stable par g si et seulement si il est stable par D .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S1507E

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3. Une application immédiate : le cas λ < 0 .

a. Préciser une condition nécessaire sur λ ∈ R pour qu'il existe g

₀

∈ L(E

0

) (on rappelle que E

₀

= R

0

[X] ) tel que g

²₀

= λId

_E₀

+ D

₀

.

b. Soit λ < 0 et n ∈ N, déduire des questions précédentes les propriétés suivantes.

Il n'existe pas de g ∈ L(E) tel que g

²

= λId

_E

+ D .

Pour tout n ∈ N, il n'existe pas de g

_n

∈ L(E

_n

) tel que g

_n²

= λId

_E_n

+ D

_n

. 4. Base adaptée à un endomorphisme nilpotent.

a. Soit V un espace vectoriel de dimension nie n + 1 et f ∈ L(V ) tel que f

ⁿ⁺¹

soit l'endomorphisme nul sans que f

ⁿ

le soit.

Montrer qu'il existe un vecteur y ∈ V tel que

B = (y, f (y), f

²

(y), · · · , f

ⁿ

(y)) soit une base de V .

b. Lorsque V = E

_n

et f = D

_n

, comment peut-on choisir Y ∈ R

n

[X ] = E

_n

pour que B

n

= (Y, D

n

(Y ), D

_n²

(Y ), · · · , D

_nⁿ

(Y ))

soit une base de V ? 5. Un exemple avec n = 2 et λ > 0 .

a. Montrer que, pour tout h ∈ L(E

2

) ,

h commute avec D

2

⇔ ∃(a, b, c) ∈ R

³

tels que h = aId

E2

+ bD

2

+ cD

²₂

b. Montrer que Id

E₂

, D

2

, D

₂²

est une famille libre. Dans quel espace vectoriel ? c. En déduire qu'il existe exactement deux g ∈ L(E

2

) que l'on précisera vériant

g

²

= λId

E₂

+ D

2

Partie II.

On étudie ici le cas λ = 0 puis on considére une relation plus générale.

1. Soit n ∈ N.

a. Montrer que, s'il existe g

_n

∈ L(E

_n

) tel que g

_n²

= D

_n

, alors g

_n

est nilpotent et dim(ker g

_n²

) ≥ 2.

b. En déduire qu'il n'existe pas de g

n

∈ L(E

n

) tel que g

²_n

= D

n

. Montrer qu'il n'existe pas de g ∈ L(E) tel que g

²

= D .

2. Soit m et k entiers avec m ≥ 1 et k ≥ 2 , soit g ∈ L(E) tel que g

^k

= D

^m

a. Montrer que les deux endomorphismes D et g sont surjectifs.

b. Pour q ∈ J 0, k K, montrer que ker g

^q

est de dimension nie.

c. Soit p ∈ J 2, k K. et Φ l'application dénie dans ker g

^p

par :

∀P ∈ ker g

^p

: Φ(P ) = g(P )

Montrer que Φ est linéaire de ker g

^p

et à valeurs dans ker g

^p−1

. Préciser son noyau et son image. En déduire une relation entre les dimensions de ker g

^p

et de ker g

^p−1

. Quelle est la dimension de ker g

^p

en fonction de ker g ?

3. Établir une condition nécessaire et susante sur m et k pour qu'il existe g ∈ L(E) tel que g

^k

= D

^m

.

Partie III.

Dans cette partie, on utilise des coecients d'un développement limité pour exprimer des solutions du problème étudié.

1. On considère la fonction à valeurs réelles ϕ dénie dans [−1, +∞[ :

∀x ∈ [−1, +∞[, ϕ(x) = √ 1 + x

a. Montrer que ϕ admet en 0 des développements limités à tous les ordres. Pour k ∈ N, on note b

_k

le coecient de x

^k

dans ces développements limités en 0 .

∀n ∈ N , ϕ(x) = b

0

+ b

1

x + · · · + b

n

x

ⁿ

+ o(x

ⁿ

) b. Préciser b

₀

, b

₁

, b

₂

, b

₃

. Montrer que

∀k ≥ 1, b

k

= (−1)

^k−1

(2k − 1)2

^2k−1

2k − 1 k

c. Montrer que

∀m ∈ N ,

m

X

k=0

b

k

b

_m−k

=

( 1 si m ≤ 1 0 si m ≥ 2

2

(3)

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2. Soit n ∈ N

^∗

, on dénit g

n

∈ L(E

n

) (on rappelle que E

n

= R

n

[X] ) par : g

_n

=

n

X

k=0

b

_k

D

_n^k

avec la convention D

_n⁰

= Id

_E_n

Montrer que g

_n²

= Id

En

+D

n

.

3. Soit λ > 0 et n ∈ N

^∗

, montrer qu'il existe un g

n

∈∈ L(E

n

) (à préciser) tel que g

²_n

= λ Id

_E_n

+D

_n

Justier l'expression d'un g ∈ L(E) tel que g

²

= λ Id

_E