MPSI B Année 2016-2017. DS 1 le 23/09/16 29 juin 2019
Problème
Une homographie est une fonction du type h :
C \
− d c
→ C z 7→ az + b
cz + d
avec a , b , c , c 6= 0 des nombres complexes. On se propose d'établir sur des exemples particuliers quelques propriétés de leurs points xes c'est à dire les complexes z tels que h(z) = z .
Partie I
1. Résoudre dans C l'équation d'inconnue z
z 2 − (4 + 3i)z + 1 + 5i = 0 2. On dénit une application h par :
C \ {1} → C
z 7→ (3 + 3i)z − (1 + 5i) z − 1
a. Montrer que pour tout nombre complexe Z 6= 4 + 3i , l'équation d'inconnue z h(z) = Z
admet une unique solution que l'on précisera.
b. Déterminer les points xes de h .
Partie II
Dans cette partie, on se donne deux nombres complexes xés et distincts w, w 0 et on pose s = w + w 0 et p = ww 0 . Pour tout nombre complexe u / ∈ {w, w 0 } , on dénit h u par :
h u :
C \ {u} → C
z 7→ (s − u)z − p z − u
1. Déterminer les points xes de h .
2. a. Pour z et z 0 diérents de u , donner une expression factorisée du nombre complexe K tel que
h u (z) − h u (z 0 ) = K (z − z 0 ) b. Pour tout z / ∈ {u, w, w 0 } , montrer que
h u (z) − w
h u (z) − w 0 = T z − w
z − w 0 avec T = u − w 0 u − w
3. Dans un plan rapporté à un repère orthonormé, on note W et W 0 les points d'axes w et w 0 . On note C le cercle de diamètre [W, W 0 ] et D la droite (W W 0 ) . On note enn U le point d'axe u .
a. Montrer par le calcul qu'un point M ( M 6= W , M 6= W 0 ) d'axe z est sur C si et seulement si
z − w z − w 0 ∈ i R
b. Préciser une condition géométrique sur le point U assurant que :
pour tout point M d'axe z , si M est sur C alors le point d'axe h u (z) est aussi sur C .
(on dit dans ce cas que C est stable pour la transformation associée à h u ).
c. Préciser une condition géométrique sur le point U assurant que :
pour tout point M d'axe z , si M est sur C alors le point d'axe h u (z) est sur D .
Exercice 1
1. Soit a et b des entiers tels que 0 ≤ a ≤ b , énoncer et démontrer une expression factorisée
de b
X
k=a
k
2. Pour n naturel non nul, on considère la somme double
S 2 (n) =
n
X
i=1
n
X
j=i
i j
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S1601EMPSI B Année 2016-2017. DS 1 le 23/09/16 29 juin 2019
a. Représenter, dans un plan rapporté à un repère avec les i en abscisses et les j en ordonnées l'ensemble des points de coordonnées (i, j) pour les couples d'indices de la somme.
b. Calculer S 2 (n) en échangeant les sommations.
3. Pour n naturel non nul, calculer la somme triple
S 3 (n) =
n
X
i=1
n
X
j=i
n
X
k=j
i jk
4. Pour tous n et k naturels non nuls, montrer que
X
1≤i
1≤i
2≤···≤i
k≤n
i 1
i 2 i 3 · · · i k = n(n + 2 k − 1) 2 k la somme porte sur les k -uplets (i 1 , · · · , i k ) ∈ J 1, n K
k tels que 1 ≤ i 1 ≤ · · · ≤ i k ≤ n .
Exercice 2
1. Calculer les sommes suivantes F =
n
X
k=0
k(k!), B =
n
X
k=0
1 k + 1
n k
2. Pour tout entier n ≥ 1 , on note
P n =
n
Y
k=1
2k − 1 2k
a. Montrer par récurrence que
P n < 1
√ 2n + 1
b. En remarquant que
P n =
n
Y
k=1
2k − 1 2k × (2k)
(2k)
Exprimer P n uniquement avec des factorielles et une puissance de 2 . En déduire une expression de P n faisant intervenir un coecient du binôme.
c. Soit k entier tel que 0 ≤ k < n , montrer que 2n k
< k+1 2n
. Que peut-on en déduire pour 2n n ? Montrer que
2 2n 2n + 1 ≤
2n n
≤ 2 2n
√ 2n + 1
Exercice 3
1. On considère la somme
S =
n
X
i=0 n
X
j=i
j i
n j
a. Dans un plan muni d'un repère portant i en abscisse et j en ordonnée, dessiner le domaine de sommation de S .
b. Calculer S en échangeant l'ordre des sommations.
2. Soit p et n des entiers naturels non nuls, on note
s(p, n) = X
(i
1,··· ,i
p)∈J 0,n K tq 0≤i
1≤i
2≤···≤i
p≤n
i 2 i 1
i 3 i 2
· · · i p
i p−1
n i p
Préciser s(1, n) et s(2, n) . Former une relation entre s(p + 1, n) et les s(p, i p+1 ) . En déduire une autre expression de s(p, n) . On raisonnera par récurrence en précisant soigneusement la propriété à démontrer.
3. On xe des nombres complexes a 0 , a 1 , · · · a p et on forme, pour k ∈ J 1, p K,
M (k, n) = X
0≤i
1≤i
2≤···≤i
k≤n
i 2
i 1
i 3
i 2
· · · i k
i k−1 n
i k
a i 0
1a i 1
2−i
1· · · a i k−1
k−i
k−1a n−i k
kétant entendu que la somme porte sur tous les k -uplets (i 1 , · · · , i k ) ∈ J 0, n K
k tels que 0 ≤ i 1 ≤ i 2 ≤ · · · ≤ i k ≤ n .
a. Trouver une autre expression pour M (1, n) puis pour M (p, n) . b. Pour (i 1 , · · · , i p ) ∈ J 0, n K tels que 0 ≤ i 1 ≤ i 2 ≤ · · · ≤ i p ≤ n , on note
j 1 = i 1 , j 2 = i 2 − i 1 , · · · , j p−1 = i p − i p−1 , j p = n − i p
Exprimer
i 2
i 1 i 3
i 2
· · · i p
i p−1 n
i p
uniquement à l'aide de n! et des j k ! .
(Écrite ainsi, l'expression de M (p, n) est appelée formule du multinôme.)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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