MPSI B Année 2015-2016. DS 10 le 27/05/16 29 juin 2019

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Exercice

Soient a ₁ , · · · , a _n , b ₁ , · · · , b _n des réels tels que

∀(i, j) ∈ J 1, n K

2 , i 6= j ⇒ a i 6= a j et b i 6= b j

Soit C(a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ , · · · , a _n , b _n ) la matrice n×n (dite de Cauchy) dont le coecient d'indice i, j est _a

_+b ¹

et c(a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ , · · · , a _n , b _n ) son déterminant.

L'objet de cet exercice est d'obtenir, par deux méthodes diérentes une expression factorisée de ce déterminant.

1. Calculer 60 ³ c(1, 1, 2, 2, 3, 3) . 2. Opérations élémentaires.

a. Préciser l'opération élémentaire et les factorisations montrant que c(a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ ) = a 1 − a 2

(a ₁ + b ₁ )(a ₁ + b ₂ )

1 1

1 a

+b

1 a

+b

En déduire l'expression factorisée de c(a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ ) .

b. On note L _i la ligne i de C(a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ , · · · , a _n , b _n ) . Pour i ∈ J 2, n K et j ∈ J 1, n K, préciser le coecient dans la colonne j de L _i − L ₁ .

c. Montrer que

c(a 1 , b 1 , · · · , a n , b n ) = Q n

i=2 (a 1 − a i ) Q n

j=1 (a ₁ + b _j )

1 1 · · · 1

1 a

+b

1

a

+b

· · · _a ¹

2

+b

... ... ...

1 a

+b

1

a

+b

· · · _a ¹

n

+b

d. Montrer que

c(a 1 , b 1 , · · · , a n , b n ) = Q n

i=2 (a ₁ − a _i ) Q n

j=2 (b ₁ − b _j ) Q n

j=1 (a ₁ + b _j ) Q n

i=2 (a _i + b ₁ ) c(a 2 , b 2 , · · · , a n , b n ) 3. Méthode algébrique.

On considére l'application F dénie dans une partie de R par : x 7→ F(x) = c(x, b 1 , · · · , a n , b n )

a. Montrer que F est une fraction rationnelle. Préciser son degré et ses pôles.

b. Montrer qu'il existe un réel λ et des polynômes unitaires A et B tels que F = λ _B ^A . Préciser la forme factorisée de A et B . Montrer que

λ =

1 1 · · · 1

1 a

+b

1

a

+b

· · · _a ¹

2

+b

... ... ...

1 a

+b

1

a

+b

· · · _a ¹

n

+b

c. Comment retrouver la formule de la question 2.d. sans opérations élémentaires ?

Problème

Ce problème

aborde l'étude des matrices à coecients dans {0, 1} à travers plusieurs thématiques indépendantes. Dans ce texte, n est un entier supérieur ou égal à 2 et on note :

M n = M n ( R ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients dans R, GL _n ( R ) l'ensemble des éléments inversibles de M n ( R ) ,

O n l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients dans R orthogonales c'est à dire les matrices M ∈ M n telles que ^t M M = I _n .

X _n l'ensemble des éléments de M _n ( R ) dont tous les coecients sont dans {0, 1} , Y _n l'ensemble des éléments de M _n ( R ) dont tous les coecients sont dans [0, 1] , P _n l'ensemble des éléments de X _n ne contenant qu'un seul élément non nul par ligne

et par colonne.

On dira que λ ∈ C est une valeur propre complexe de M ∈ M n si et seulement si

∃X ∈ M n,1 ( C ), X 6= 0

(

) tq M X = λX

I. Généralités

1. Justier que X n est un ensemble ni et préciser son cardinal.

2. Démontrer que | det(M )| < n! pour tout M ∈ Y n . 3. Démontrer que Y n est une partie convexe de M n ( R ) .

4. Soit M ∈ Y n et λ une valeur propre complexe de M c'est à dire

λ ∈ C , ∃X ∈ M n,1 ( C ), X 6= 0

₍

₎ tq M X = λX Montrer que |λ| ≤ n et donner un exemple explicite où l'on a l'égalité.

1

d'après Math 1 PSI Concours Centrale-Supelec 2016

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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5. Étude de X _n

= X n ∩ GL n ( R ) .

a. Faire la liste des éléments de X ₂

.

b. Montrer que X ₂

engendre M ₂ . La propriété Vect(X _n

) = M _n est-elle vraie pour n ≥ 2 ?

II. Maximisation du déterminant

1. Justier l'existence de

x n = max {det(M ), M ∈ X n } y n = sup {det(M ), M ∈ Y n } 2. Montrer que la suite (y _k ) _k≥2 est croissante.

3. Soit J ∈ X n la matrice dont tous les coecients valent 1 . On pose M = J −I n . calculer det(M ) et en déduire que (y k ) _k≥2 tend vers +∞ .

4. Soit N ∈ Y n . Pour (i, j) ∈ J 1, n K

2 , on note n i,j les coecients de N et supposons que pour un (i 0 , j 0 ) xé on ait 0 < n i

,j

< 1 .

a. Montrer qu'en remplaçant n i

,j

soit par 0 soit par 1 , on peut obtenir une matrice N

∈ Y n telle que det(N) ≤ det(N

) .

b. Montrer que x _n = y _n .

III. Matrices de permutations

On note (e 1 , · · · , e n ) la base canonique de R ⁿ et S n l'ensemble des bijections de J 1, n K dans lui même (permutations). Pour tout σ ∈ S n , on note P σ la matrice dont le coecient i, j vaut 1 si i = σ(j) et 0 sinon. On dit que P σ est la matrice de permutation associée à σ . On note u σ l'endomorphisme de R ⁿ dont la matrice dans la base canonique est P σ .

1. Soit σ et σ

deux permutations, exprimer P _σ P _σ

et ^t P _σ comme des matrices de permu- tation.

2. Montrer que si M ∈ O n son déterminant vaut +1 ou −1 . 3. Montrer que P n = X n ∩ O n et déterminer son cardinal.

4. Valeurs et vecteurs propres pour une matrice de permutation.

a. Soit c la permutation dénie par

c(1) = n, c(2) = 1, · · · , · · · c(n − 1) = n − 2, c(n) = n − 1

On note ω = e

. Montrer que ω est une valeur propre complexe de P c et préciser la colonne non nulle associée. Montrer que toutes les racines n -ième de l'unité ( u ∈ U n ) sont des valeurs propres complexes de P _c .

b. Déterminer des valeurs propres (et les colonnes propres associées) pour une per- mutation σ quelconque.

5. Une caractérisation des éléments de P n .

On se donne une matrice M ∈ GL _n ( R ) dont tous les coecients sont des entiers naturels et telle que l'ensemble formé par tous les coecients de toutes les puissances successives de M (dans N) soit ni.

Montrer que M

est à coecients dans N et en déduire que M est une matrice de permutation. Que dire de la réciproque ?

IV. Matrices aléatoires

A. Génération par une colonne aléatoire

Soit p ∈]0, 1[ et X ₁ , . . . , X _n des variables aléatoires mutuellement indépendantes, dénies sur un espace probabilisé (Ω, P ) et suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p .

1. Calculer la probabilité de l'événement (X ₁ = X ₂ = · · · = X _n ) .

2. Quelle est la loi de S = X ₁ + · · · + X _n ? On attend une démonstration du résultat annoncé.

3. Soient (i, j) ∈ J 1, n K

2 . Donner la loi de la variable aléatoire X i,j = X i × X j . 4. Pour ω ∈ Ω , on introduit les matrices

U (ω) =





 X ₁ (ω)

...

X n (ω)





 ∈ M _n,1 ( R ), M (ω) = U (ω) ^t U (ω) ∈ M _n

L'application M : ω ∈ Ω 7→ M (ω) est ainsi une variable aléatoire.

a. Pour ω ∈ Ω , justier que M (ω) ∈ X _n .

b. Pour ω ∈ Ω , justier que tr(M (ω)) ∈ J 0, n K et que rg(M (ω)) ≤ 1 . c. Pour ω ∈ Ω , justier que

M (ω) ² = M (ω) et ^t M (ω) = M (ω)

⇔ S(ω) ∈ {0, 1}

5. Donner la loi, l'espérance et la variance des variables aléatoires tr(M ) et rg(M ) . 6. Exprimer M ^k en fonction de S et M . Quelle est la probabilité pour que la suite de

matrices (M ^k ) _k∈N soit convergente ?

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B. Génération par remplissage aléatoire

Soit p ∈]0, 1[ . On part de la matrice nulle de M _n ( R ) , notée M ₀ . Pour tout k ∈ N, on construit la matrice M k+1 à partir de M k de la manière suivante

- on parcourt la matrice en une vague et chaque coecient nul est changé en 1 avec la probabilité p ;

- chaque action sur un coecient est indépendante de ce qui se passe sur les autres et des vagues précédentes.

Les M k sont donc des variables aléatoires à valeurs dans X n et l'on considère qu'elles sont dénies sur un espace probabilisé commun (Ω, P ) . Voici un exemple de réalisation de cette évolution pour n = 2

M ₀ = 0 0

0 0

→ M ₁ = 1 0

1 0

→ M ₂ = 1 0

1 0

→ M ₃ = 1 1

1 0

→ M 4 = 1 1

1 1

→ M 5 = 1 1

1 1

Pour k ≥ 1 , le nombre de modications réalisées lors de la k -ième vague est noté N k . Dans l'exemple ci-dessus : N 1 = 2 , N 2 = 0 , N 3 = 1 , N 4 = 1 , N 5 = 0 .

On s'intéresse au plus petit indice k pour lequel la matrice M k ne comporte que des 1 ; on dit alors qu'elle est totalement remplie.

Dans l'exemple précédent, ce premier indice vaut 4 . On note q = 1 − p et m = n ² .

1. Donner la loi de N 1 , puis la loi conditionnelle de N 2 sachant (N 1 = i) pour i dans un ensemble à préciser. N 1 et N 2 sont-elles indépendantes ?

2. Soient i, j ∈ {1, . . . , n} . Le plus petit entier k ≥ 1 tel que le coecient ligne i , colonne j de M k vaut 1 est noté T i,j (dans l'exemple ci-dessus, T 1,1 = 1 et T 1,2 = 3 ).

Pour k ∈ N

, préciser P (T i,j = k) .

3. Pour un entier k ≥ 1 , donner la limite de la suite ( P (T i,j ∈ J k, s K )) _s∈

N

. On admettra que cette limite est P (T i,j ≥ k) .

4. Soient r ≥ 1 un entier et S r = N 1 + · · · + N r . Que représente S r ? Donner sa loi.

(Utiliser la question précédente)

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