MPSI B Année 2019-2020 Énoncé DM 2 pour le 16/09 15 septembre 2019
Exercice 1
Soit h l'application de C \ {−i} dans C dénie par
∀z ∈ C \ {−i} : h(z) = z + 2i 1 − iz 1. Montrer que h dénit une bijection de C \ {−i} dans C \ {i} . 2. Étudier les z tels que h(z) = z (points xes de h ).
On en trouvera deux qui seront notés p et q .
3. Factoriser h(z) − h(z 0 ) pour z et z 0 complexes autres que −i . 4. Calculer B(p, q, h(z), z) pour z complexe diérent de p et q avec
B(m 1 , m 2 , m 3 , m 4 ) = (m 2 − m 1 )(m 4 − m 3 ) (m 4 − m 1 )(m 3 − m 2 )
On considère les points P , Q , Z 0 , Z d'axes p , q , h(z) , z . Que peut-on en déduire sur les mesures des angles orientés ( −→
P Z, − − →
P Q) et ( −−→
Z 0 Z, −−→
Z 0 Q) ?
Exercice 2
1. Soit a et b des entiers tels que 0 ≤ a ≤ b , énoncer et démontrer une expression factorisée de
b
X
k=a
k
2. Pour n naturel non nul, on considère la somme double S 2 (n) =
n
X
i=1
n
X
j=i
i j
a. Représenter, dans un plan rapporté à un repère avec les i en abscisses et les j en ordonnées l'ensemble des points de coordonnées (i, j) pour les couples d'indices de la somme.
b. Calculer S 2 (n) en échangeant les sommations.
3. Pour n naturel non nul, calculer la somme triple S 3 (n) =
n
X
i=1
n
X
j=i
n
X
k=j
i jk
4. Pour tous n et k naturels non nuls, montrer que
X
1≤i
1≤i
2≤···≤i
k≤n
i 1 i 2 i 3 · · · i k
= n(n + 2 k − 1) 2 k la somme porte sur les k -uplets (i 1 , · · · , i k ) ∈ J 1, n K
k tels que 1 ≤ i 1 ≤ · · · ≤ i k ≤ n .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
