h ax + by, z i = a h x, z i + b h y, z i , hx, yi = hy, xi,

Un produit salairehermitien sur un espae vetoriel omplexe

E

^{est une appliation}

h·, ·i : E × E → C

qui vérie pour haque

a, b ∈ C

ethaque

x, y, z ∈ E

h ax + by, z i = a h x, z i + b h y, z i , hx, yi = hy, xi,

h x, x i ≥ 0 , h x, x i = 0 ⇐⇒ x = 0 .

La même dénition s'applique à un espae réel. Dans e as, la onjugaison est bien sur

triviale. Un espaepréhilbertienest un espae vetoriel muni d'un produit salaire.

Exerie 1. Soit

E

^{un espae vetoriel omplexe muni d'un produit salaire hermitien.}

Montrez que la formule

kzk := p hz, zi.

dénit une norme sur

E

^{. Pour y arriver, vous devrez utiliser (et montrer)} l'inégalité de CauhyShwarz :

∀x, y ∈ E, |hx, yik ≤ kxkkyk.

UnespaedeHilbertestun espaepréhilbertienquiest ompletlorsque munide lanorme

induite.

Lesexempleslesplus simplessont

R ⁿ

et

C ⁿ

munisde leursproduitssalairesusuels:

hx, y i :=

X n

k =1

x _k y _k .

L'espae

ℓ ²

^{est un espae de Hilbert dont le produit salaireest donnépar}

hx, yi =

X ∞

n =1

x _n y _n .

Les fontions sur le erle

S ¹ = {(x, y) ∈ R ² : x ² + y ² = 1}

^{peuvent être identiées}

auxfontions

2π

-périodiques sur

R

vial'appliation

θ 7→ (x(θ), y (θ)) := (cos(θ), sin(θ)).

Sur l'espaedes fontionsontinues

C ( S ¹ )

^{, onpeut dénirun produit salaire par}

h f, g i =

Z

S ¹

f ( θ ) g ( θ ) dθ.

Cetespaepréhilbertienn'estpasomplet. Saomplétions'identieàl'espae

L ² ( S ¹ )

des fontions mesurables dont les arrés sont intégrables. En eet, vous avez vu en

analyse de Fourrier que les polynmes trigonométriques sont denses dans

L ²

^{. Il en}

résulteque l'appliationd'inlusion

C(S ¹ ) ⊂ L ² (S ¹ )

^{est une omplétion.}

Exerie 2. Soit

E

^{un espae} préhilbertien réel. Montrez que la omplétion de

E

^{est un}

espae de Hilbert.

Exerie 3.

a) Surl'espae

E = C ¹ ([a, b])

^{des fontions ontinument diérentiables, montrez que la}

formule

h f, g i ₁ = Z b

a

f ( x ) g ( x ) dx + Z b

a

f ^′ ( x ) g ^′ ( x ) dx

dénit un produit salaire,mais pas un espae de Hilbert.

La omplétion de

C ¹ ([a, b])

^{muni de la norme induite par e produit salaire est}

appeléun espae de Sobolev.

b) Montrez que l'appliation

i : E → L ² ([a, b])

^{dénie par}

i(f) = f

^{est une appliation}

linéaire ontinue.

) Est-e une isométrie ?

Exerie 4. Sur l'espae

M _n×n ( R )

^{des matries}

n × n

^{à oeients réels, montrez que la}

formule

hA, Bi =

^trae

(AB ^T )

dénit un produit salaire. L'espae orrespondantest-t-il omplet ?

Les espaes préhilbertiens ont des propriétés partiulières qui les distinguent des espaes

normés généraux. Par exemple, pour haque

u, v ∈ E

^{, on vérie failement l'identité du}

parallélogramme:

ku + v k ² + ku − vk ² = 2kuk ² + 2kvk ² .

Exerie 5. Donnez un exemple d'espae de Banah où l'identité du parallélogrammen'est

pas vériée. Ceimontre qu'il existe des espaes de Banah dont la norme n'est pas induite

par un produit salaire.

Soit

E

^unespaepréhilbertien. Deuxéléments

x, y ∈ E

^sontditsorthogonauxsi

hx, yi = 0

^.

On note ette relation

x ⊥ y

^{. Des éléments}orthogonaux vérient l'identité de Pythagore :

k x + y k ² = k x k ² + k y k ² .

Un élément

x ∈ E

^{est orthogonal àun} sous-ensemble

S ⊂ E

^si

x ⊥ y

^{pour haque}

y ∈ S

^.

Exerie 6. Soit

E

^{un espae} préhilbertien. Soit

S ⊂ E

^{. Montrez que}

S ^⊥ := {x ∈ E : x ⊥ S}

est un sous-espae vetoriel fermé de

E

^.

8.1. Projetion sur les onvexes fermés. Étantdonné un ensemble onvexe fermé

K ⊂ E

^{, ladistane d'un point}

x

^à

K

^est

d(x, K) = inf

y ∈ K d(x, y).

La proposition suivantemontre que ette distane est en fait réaliséepar un minimum.

Proposition 8.1. Soit

E

^{un espae de Hilbert. Soit}

K

^un sous-ensemble onvexe fermé de

E

^{. Étant donné}

x ∈ E

^{, il existe}

y ∈ K

^{tel que}

kx − yk = d(x, K).

Démonstration. Sans perte de généralité,onsupposera que

x = 0

^{. Soit}

(y n ) n ∈N

^{une suitede}

K

^{telle que}

n→∞ lim | y _n | = d (0 , K ) = inf

y ∈ K k y k .

En utilisantl'identité du parallélograme,on montre quela suite

(y n ) n ∈N

^{est de Cauhy :}

ky n − y _m k ² = 2ky n k ² + 2ky m k ² − 4k

∈ K

z }| { y _n + y _m

2 k ²

≤ 2ky n k ² + 2ky m k ² − 4d(0, K) → 0.

Comme

E

^{est omplet, la suite}

(y n )

^{onverge. Puisque}

K

^{est fermé, elle onverge vers un}

élémentde

y ∈ K

^{. Lerésultatdéoulemaintenantdelaontinuitédelanormeetde l'uniité}

de la limite.

Exerie 7.

a) Montrez que lepoint

y

^{obtenu à la}propositionpréédente est unique. On l'appelle la projetion de

x

^sur

K

^{et on lenote}

P _k (x) = y.

b) Montrez que la projetion

P _K : E → K

^{vérie pour haque}

x, y ∈ K kP K x − P _K yk ≤ kx − yk

et en déduire quel'appliation

x 7→ P _K x

^{est ontinue.}

Unaspartiuliertrèsutiledelaonstrutionpréédenteesteluioù

K

^{estunsous-espae}

vetorielferméde

E

^{. Danseas,laprojetionest aratériséedemanièreplus}géométrique.

Théorème 8.2. Soit

E

^{un espae de Hilbert. Soit}

F

^{un sous-espae vetoriel fermé de}

E

^.

Pour haque

x ∈ E

^{, la projetion}

y = P _F x ∈ F

^{est l'unique élément par}

x − y ⊥ F.

Démonstration. Soit

x ∈ E

^etsoit

y ∈ F

^{tel que}

x − y ⊥ F.

^{Alors,pour haque}

z ∈ F

^,

kx − zk ² = k(x − y) − (z − y)k ²

= k(x − y)k ² + k(z − y)k ² − 2hx − y,

∈ F

z }| { z − yi

= k( x − y )k ² + k( z − y )k ² ,

qui est minimisépour

z = y

^{. Cei montre que laondition est susante.}

Montrons qu'elle est néessaire. Étant donné

0 6= z ∈ F

^, L'appliation

f : F → R

dénie par

f (t) = kx − P _F x + tzk ²

atteint son unique minimum en

t = 0

^{. Or,}

f (t) = t ² kzk ² + 2thz, x − P _F xi + kx − P _f xk ² .

Don,

0 = f ^′ (0) = 2hz, x − P _F xi.

Comme

z ∈ F

^est arbitraire,

x − P _F x ⊥ F

^.

Exerie8. Soit

E

^unespaepréhilbertienréel. Étantdonné

y ∈ E

^,montrezquel'appliation

φ _y : E → R

dénie par

φ _y (x) = hx, yi

^{est un élément du dual de}

E

^{. Quelle est sa norme ?}