MPSI B Année 2019-2020. DS 1 le 04/10/19 6 octobre 2019

(1)

MPSI B Année 2019-2020. DS 1 le 04/10/19 6 octobre 2019

Pb I. Nombres complexes

Dans tout le problème

¹

, on se place dans un plan P muni d'un repère orthonormé direct (O, − →

i , − →

j ) et on convient de désigner les points avec des capitales et les axes avec des minuscules. Par exemple, l'axe d'un point M sera le complexe m , le représentant d'un nombre complexe z sera le point Z .

Soit A et B deux points distincts.

Rappelons la dénition d'une symétrie par rapport à une droite. Les points M et M

⁰

sont dits symétriques par rapport à la droite (AB) si et seulement si :

le milieu de M et M

⁰

appartient à (AB) et −−−→

M M

⁰

est orthogonal à − − → AB .

A

M

^′

B

M

Fig. 1: Points symetriques par rapport à (AB)

Rappelons aussi la dénition de la médiatrice d'un segment. L'ensemble des points à égale distance de A et de B est une droite appelée médiatrice de AB .

Partie I. Expression complexe d'une symétrie

Soit A et B deux points distincts d'axes complexes a et b avec a 6= b .

1. a. Donner la dénition du nombre complexe j et ses premières propriétés, calculer j

²

− j

j

²

− j .

b. Soit u un nombre complexe non nul. Montrer que les points d'axes u , ju , j

²

u forment un triangle équilatéral.

2. Soit M et M

⁰

(d'axes m et m

⁰

) deux points symétriques par rapport à (AB) .

1d'après concours général 2005

a. Montrer qu'il existe λ ∈ R tel que

m

⁰

+ m = 2a + 2(b − a)λ.

b. Montrer qu'il existe µ ∈ R tel que

m

⁰

− m = µi(b − a).

c. En déduire

m

⁰

− a b − a =

m − a b − a

.

3. Soit w

1

et w

2

complexes. On dénit la fonction s de C dans C par :

∀z ∈ C , s(z) = w

1

z + w

2

.

a. En utilisant les formules de Cramer, calculer w

1

et w

2

tels que s(a) = a et s(b) = b . b. Pour z ∈ C, on note z

⁰

= s(z) et Z , Z

⁰

les points d'axe z et z

⁰

. Vérier que Z

et Z

⁰

sont symétriques par rapport à (AB) .

O

A B

C

M

1

M

2

M

3

M

4

Fig. 2: Points M , M

₁

, M

₂

, M

₃

, M

₄

Partie II

On considère les points O , A , B , C respectivement d'axes 0 , 1 , j , j

²

. Soit M un point d'axe m 6= 0 . On note ρ = |m| et θ un argument de m .

Soit M

1

, M

2

, M

3

, M

4

les points symétriques de M respectivement par rapport aux droites (OA) , (OB) , (OC ) et (BC) .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S1901E

(2)

MPSI B Année 2019-2020. DS 1 le 04/10/19 6 octobre 2019

O A

B

C M

M

2

M

3

M

4

Fig. 3: Alignement de M

2

, M

3

, M

4

1. Calculer m

1

, m

2

, m

3

, m

4

en fonction de m . Montrer que M

1

, M

2

, M

3

est équilatéral.

2. Montrer que M

₂

, M

₃

, M

₄

sont alignés si et seulement si M est sur un certain cercle à préciser. Vérier que, dans ce cas, le point A est aussi sur la droite qui contient M

₂

, M

3

, M

4

.

3. Si M

₂

, M

₃

, M

₄

ne sont pas alignés, il existe un cercle (appelé cercle circonscrit) qui contient ces trois points. On note Ω (d'axe ω ) le centre de ce cercle et R son rayon.

On pourra utiliser que le point Ω est l'intersection des médiatrices des segments M

₂

M

₃

, M

2

M

4

, M

3

M

4

.

a. Montrer que O et M

₁

appartiennent à la médiatrice de M

₂

M

₃

. En déduire qu'il existe λ réel tel que ω = λe

^−iθ

.

b. En utilisant le fait que Ω appartient à la médiatrice de M

₂

M

₃

, montrer que

ω = − 1 + 2ρ cos θ ρ + 2 cos θ e

^−iθ

. c. Montrer que

R

²

= ρ

²

+ (1 − ρ

²

)(1 + 2ρ cos θ) (ρ + 2 cos θ)

²

.

4. Préciser géométriquement l'ensemble Γ des points M tels que les cercles circonscrits à M

₁

, M

₂

, M

₃

et à M

₂

, M

₃

, M

₄

aient les mêmes rayons.

Reproduire approximativement, compléter et interpréter les gures ?? et ?? des con- gurations 1 et 2.

Fig. 4: Conguration 1

Fig. 5: Conguration 2

2

(3)

MPSI B Année 2019-2020. DS 1 le 04/10/19 6 octobre 2019

Ex II. Sommations

On veut exprimer une suite (a

_k

)

_k∈

N

de nombres entiers telle que :

∀n ∈ N : n! =

n

X

k=0

n k

a

_k

.

On convient que 0! = 1 .

1. Calculer a

0

, a

1

, a

2

, a

3

, a

4

et justier l'existence de cette suite d'entiers.

2. Soit k et n entiers naturels tels que k < n , soit z ∈ C, montrer que X

m∈Jk,nK

m k

n m

z

^m

=

n k

(1 + z)

^n−k

z

^k

.

On pourra exprimer

^m_k

n m

uniquement avec des factorielles et les réorganiser.

3. Soit n un entier naturel non nul et T l'ensemble des couples (m, k) d'entiers naturels tels que 0 ≤ k ≤ m ≤ n . Des nombres réels t

_m,k

sont donnés pour tous les (m, k) ∈ T . Préciser les intervalles d'entiers auxquels doivent appartenir k et m dans les expressions

X

(m,k)∈T

t

_m,k

= X

m∈?

X

k∈?

t

_m,k

!

= X

k∈?

X

m∈?

t

_m,k

! .

4. Montrer que

(−1)

ⁿ

a

n

= X

m∈J0,nK

m!

n m

(−1)

^m