MPSI B Année 2019-2020 Énoncé DM 5 pour le 04/11/19 19 octobre 2019

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Problème 1

Ce texte fait intervenir des fonctions C

^∞

( R ) , périodiques de période 2π et à valeurs dans C. De telles fonctions sont appelées des lacets. Un lacet γ peut être vu comme un mouvement. Pour t ∈ R, le complexe γ(t) représente la position dans le plan d'un point mobile. La trajectoire (notée Γ ) est l'ensemble des points par où est passé le mobile. À cause de la périodicité,

Γ = {γ(t), t ∈ R } = {γ(t), t ∈ [0, 2π]} . Les gures ?? et ?? présentent les trajectoires Γ pour deux lacets.

(a) γ(t) = e

^it

. (b) γ(t) = e

^2it

−e

^it

−1.

Fig. 1: Exemples de trajectoires.

Pour un lacet γ et un complexe z / ∈ Γ , l'indice de z par rapport à γ est I

γ

(z) = 1

2iπ Z

2π

0

γ

⁰

(t) γ(t) − z dt.

Il s'agit de l'intégrale d'une fonction d'une variable réelle C

^∞

à valeurs complexes où γ

⁰

(t) est la notation habituelle pour la dérivée de γ . Pour un nombre complexe z tel que |z| 6= 1 , on note I

₀

(z) son indice par rapport au mouvement circulaire.

I

0

(z) = 1 2π

Z

2π 0

e

^it

e

^it

− z dt avec γ(t) = e

^it

.

Partie préliminaire.

1. Soit f continue dans R, périodique de période T > 0 et à valeurs complexes.

Montrer que la fonction de R dans C, x 7→ R

x+T

x

f (t) dt est constante.

2. Montrer que :

∀x ∈ R

^∗

, arctan x + arctan 1 x =





 π

2 si x > 0

− π

2 si x < 0 .

3. Pour θ entre 0 et

^π₂

, exprimer cos θ en fonction de tan

^θ₂

.

Partie I. Calcul direct de I ₀ (z) .

Dans cette partie, z ∈ C, |z| 6= 1 et ϕ ∈ R est un argument de z . On note A(z) = Re(I

₀

(z)), B(z) = Im(I

₀

(z)).

1. Soit r ∈ R \ {−1, +1} . En eectuant le changement de variable t = tan

^θ₂

, montrer Z

^π₂

0

dθ

1 + r

²

− 2r cos θ = 2

1 − r

²

arctan 1 + r

1 − r

.

2. a. Montrer que

A(z) = 1 2π

Z

2π 0

1 − |z| cos(t − ϕ)

1 + |z|

²

− 2|z| cos(t − ϕ) dt, B(z) = 0.

b. Montrer que

I

₀

(z) = 1

2 + 1 − |z|

²

4π

Z

2π 0

dt

1 + |z|

²

− 2|z| cos(t − ϕ) .

3. Montrer que Z

2π

0

dt

1 + |z|

²

− 2|z| cos(t − ϕ) = 2

Z

^π₂

0

dθ

1 + |z|

²

− 2|z| cos θ + Z

^π₂

0

dθ

1 + |z|

²

+ 2|z| cos θ

! .

En déduire I

0

(z) =

( 1 si |z| < 1 0 si |z| > 1 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai M1905E

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Partie II. L'indice est un entier.

On revient au cas général : γ est un lacet et z ∈ C \ Γ n'est pas sur la trajectoire. On considère l'équation diérentielle

(γ − z)y

⁰

− γ

⁰

y = 0 où la fonction inconnue y est à valeurs complexes.

1. Déterminer la solution évidente qui prend en t = 0 la valeur γ(0) − z .

2. En utilisant un résultat de cours cité précisément, exprimer cette solution avec la fonction exponentielle complexe et une intégrale.

3. Montrer que I

_γ

(z) ∈ Z.

Exercice

Dans tout l'exercice, les solutions cherchées sont des fonctions à valeurs réelles. Cela n'interdit pas la considération de fonctions à valeurs complexes comme intermédiaire de calcul.

On étudie l'équation fonctionnelle

y

⁰⁰

(x) + y(−x) = x + cos x (1)

1. Soit y

₁

et y

₂

deux solutions de l'équation

y

⁰⁰

(x) + y(−x) = 0

et λ un réel quelconque ; y

1

+ y

2

et λy

1

sont ils encore solutions de la même équation ? 2. Résoudre les équations suivantes en précisant pour chacune l'ensemble des solutions

paires et impaires.

y

⁰⁰

(x) + y(x) = cos x (2)

y

⁰⁰

(x) − y(x) = x (3)

3. question de cours

Soit f une fonction dénie dans R, montrer qu'il existe un unique couple de fonctions (u, v) telles que u soit paire, v soit impaire et f = u + v . On prendra soin de rédiger séparément les argumentations assurant l'existence et l'unicité. On dit que u est la partie paire et v la partie impaire de f .

4. Soit f une solution de (1), u sa partie paire et v sa partie impaire. Former une équation diérentielle dont u est solution, former une équation diérentielle dont v est solution.

5. Préciser l'ensemble des solutions de (1).

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