MPSI B 19 décembre 2019

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MPSI B 19 décembre 2019

Énoncé

Dans tout le problème, f désigne une fonction dénie dans un segment [a, b] avec a < b . On dénit une partie de R notée V _f ([a, b]) par : un réel v appartient à V _f ([a, b]) si et seulement si il existe un entier n ≥ 1 et une famille de réels (c 0 , c 1 , · · · , c n ) telle que

a = c ₀ < c ₁ < · · · < c _n = b et v =

n−1

X

k=0

|f (c _k+1 ) − f (c _k )| .

On dit que v est la variation de f entre a et b attachée à (c 0 , c 1 , · · · , c n ) . On dit que f est à variations bornées sur [a, b] si et seulement si V f ([a, b]) est majoré. On note alors

V f ([a, b]) = sup(V f ([a, b])) ( appelée variation totale de f sur [a, b] . )

I. Exemples et propriétés.

1. Montrer que |f (b) − f (a)| ∈ V f ([a, b]) . Justier la dénition de V f ([a, b]) pour f à variations bornées.

2. a. Si f est constante, est-elle à variations bornées sur [a, b] ? Que vaut V _f ([a, b]) ? b. Soit k > 0 . On suppose que f est k -lipschitzienne. Montrer qu'elle est à variations

bornées sur [a, b] avec V f ([a, b]) ≤ k(b−a) . Que peut-on conclure si f ∈ C ¹ ([a, b]) ? c. Soit Ω une partie de [a, b] et f dénie par

f (x) =

( 1 si x ∈ Ω 0 si x / ∈ Ω

Donner des propriétés de Ω assurant que f est ou n'est pas à variations bornées.

3. Dans cette question seulement, a = −1 , b = 0 et f est dénie par

f (x) =







p |x| cos π

x si x ∈ [−1, 0[

0 si x = 0 a. Montrer que f est continue dans [−1, 0] .

b. Montrer que √

k + 1 − √ k ≤ ¹

2 √

k pour tout naturel non nul k . En déduire que

1 + ^√ ¹

2 + · · · + ^√ ¹ _n

n∈ N

^∗

diverge vers +∞ .

c. Montrer que f n'est pas à variations bornées dans [−1, 0] .

4. Soit f et g à variations bornées dans [a, b] et λ ∈ R.

a. Montrer que f est bornée.

b. Montrer que λf , f + g , f g , |f| , sup(f, g) , inf(f, g) sont à variations bornées, indiquer un majorant de la variation totale dans chaque cas.

II. Monotonie et variations.

1. On suppose f monotone sur [a, b] .

a. Que peut-on dire de l'ensemble V _f ([a, b]) ? En déduire que f est à variations bornées et préciser sa variation totale.

b. Montrer qu'une fonction somme d'une fonction croissante et d'une fonction dé- croissante est à variations bornées.

2. On suppose que V _f ([a, b]) contient un seul élément. Montrer que f est monotone.

3. On suppose que f est à variations bornées sur [a, b] .

a. Soit u et v tels que [u, v] ⊂ [a, b] . Montrer que f est à variations bornées sur [u, v]

et que 0 ≤ V _f ([u, v]) ≤ V _f ([a, b]) .

b. Soit u , v , w tels que a ≤ u < v < w ≤ b . Montrer que V _f ([u, v]) + V _f ([v, w]) = V _f ([u, w])

4. Soit f à variations bornées sur [a, b] . Montrer que les fonctions dénies dans [a, b]

W 1 : x 7→ V f ([a, x]), W 2 : x 7→ V f ([a, x]) − f (x) sont croissantes. Que peut-on en conclure ?

5. Soit f à variations bornées sur [a, b] .

a. Montrer que f continue sur [a, b] entraîne W 1 continue sur [a, b] . b. Montrer que W 1 continue sur [a, b] entraîne f continue sur [a, b] .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Avarbor

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Corrigé

I. Exemples et propriétés.

1. On peut se limiter à une famille (c 0 , c 1 ) formée de deux points avec c 0 = a et c 1 = b . La variation attachée à cette famille est |f (b) − f (a)| . La partie V f ([a, b]) est non vide.

Lorsqu'elle est majorée, elle admet une borne supérieure V _f ([a, b]) .

2. a. Si f est constante, la variation attachée à une famille quelconque est nulle. L'en- semble V f ([a, b]) ne contient que 0 et V f ([a, b]) = 0 .

b. Si f est k -lipschitzienne, elle est à variations bornées avec V f ([a, b]) ≤ k(b − a) . En eet, pour toute famille (c 0 = a < c 1 < · · · < c n = b ,

n−1

X

k=0

|f (c k+1 ) − f(c k )| ≤

n−1

X

k=0

k|c k+1 − c k | = k(b − a).

Si f ∈ C ¹ ([a, b]) alors sa dérivée est continue et bornée. La fonction f est k - lipschitzienne avec pour k un majorant de |f ⁰ | sur [a, b] donc à variations bornées.

c. Si Ω est ni, f est à variations bornée et sa variation totale est le nombre d'élé- ments de Ω . Si Ω est un intervalle ou une union nie d'intervalles disjoints, f est à variations bornées.

S'il existe deux suites innies (x _n ) _n∈

N , (y _n ) _n∈

N (respectivement à valeurs dans Ω et dans son complémentaire) entrelacées c'est à dire x _n < y _n < x _n+1 alors la fonction f ne sera pas à variations bornées.

3. a. La fonction f est continue dans [−1, 0] car elle est le produit et la composée de fonctions continues. La continuité en 0 résulte du théorème d'encadrement appliqué en 0 à 0 ≤ f (x) ≤ √

x .

b. La première inégalité vient du théorème des accroissements nis appliqué à la fonction √ entre k et k + 1 (dérivée décroissante). En sommant de 1 à n :

1 + 1

√ 2 + · · · + 1

√ n ≥ 2 √

n + 1 − 1

⇒

1 + 1

√ 2 + · · · + 1

√ n

n∈N

→ +∞.

c. Pour n'importe quel n , on considère la famille c 0 = −1 < c 1 = − 1

2 < · · · < c n−1 = − 1

n < c n = 0

La variation associée est

(−1) ²

√ 2 + 1

+

(−1) ³

√ 3 − (−1) ²

√ 2

+ · · · +

(−1) ⁿ

√ n − (−1) ⁿ⁻¹

√ n − 1

+

0 − (−1) ⁿ

√ n

= −1 + 2

1 + 1

√ 2 + · · · + 1

√ n

Ce qui assure, avec la question b., que l'ensemble des variations n'est pas bornée.

Il apparait donc qu'une fonction continue n'est pas forcément à variations bornée.

4. Dans cette question, f et g sont à variations bornées.

a. Soit x quelconque dans ]a, b[ . Majorons |f (x)| en introduisant la variation attachée à la famille (a, x, b) :

|f (x)| ≤ |f (x) − f (a)| + |f (a)| ≤ |f (x) − f (a)| + |f(b) − f (x)| + |f (a)|

≤ V f ([a, b]) + |f (a)|.

La fonction f est donc bornée. On note M f et M g des majorants de |f| et |g| . b. La preuve du fait que les fonctions sont à variations bornées repose sur une ma-

joration des termes |f (x k+1 ) − f (x k )| d'une variation. Indiquons seulement cette majoration et sa conséquence pour la variation totale.

opération maj. d'un terme d'une variation maj. de var. tot.

λf |λ||f(x k+1 ) − f (x _k )| |λ|V f

f + g |f (x k+1 ) − f (x k )| + |g(x k+1 ) − g(x k )| V f + V g

f g M _g |f (x _k+1 ) − f (x _k )| + M _f |g(x k+1 ) − g(x _k )| M _g V _f + M _f V _g

|f | |f (x k+1 ) − f (x k )| V f

sup(f, g) linéarité V _f + V _g

inf(f, g) linéarité V f + V g

L'inégalité ||u| − |v|| ≤ |u − v| est utilisée pour la valeur absolue. Pour les deux dernieres lignes, on se ramène aux opérations précédentes avec les expressions

sup(f, g) = 1

2 (f + g) + 1

2 |f − g| inf(f, g) = 1

2 (f + g) − 1 2 |f − g|

Les majorants des variations totales déjà obtenus se combinent linéairement et permettent de majorer les variations totales de sup(f, g) et de inf(f, g) .

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II. Monotonie et variations.

1. a. Si f est monotone, on peut enlever les valeurs absolues de la même manière pour tous les termes d'une variation. La somme se simplie en dominos et toute variation est égale à |f (b) − f (a)| .

V _f ([a, b]) = {|f (b) − f (a)|}

b. Comme les fonctions monotones sont à variation bornées, les combinaisons de fonctions monotones sont encore à variation bornées même si elles ne sont plus monotones. On va prouver en 4. que ce sont les seules.

2. Le point important ici est le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire. Lorsqu'il n'existe une seule variation, pour tous les x , y , z tels que x < y < z on a

|f (z) − f (x)| = |f (y) − f (x)| + |f (z) − f (y)|

On en déduit que f (y) est dans le segment formé par les deux autres images. Cela entraîne la monotonie.

3. a. Soit V une variation attachée à une famille nie de u à v . On peut toujours lui adjoindre les termes a au début et b à la n et considérer la variation W attachée à cette nouvelle famille d'extrémités a à b . On a alors

V ≤ W ≤ V f ([a, b]).

Donc V f ([a, b]) est un majorant de l'ensemble des variations sur [u, v] ce qui assure que f est à variations bornées sur [u, v] avec V f ([u, v]) ≤ V f ([a, b]) .

b. Soit T ₁ une variation sur [u, v] et T ₂ une variation sur [v, w] . En joignant les deux familles (enlever un v qui gure deux fois), on obtient une famille de u à w . On en tire que T 1 + T 2 est une variation sur [u, w] . On exploite ensuite le fait qu'une borne supérieure est le plus petit des majorants

∀T 1 variation sur [u, v], ∀T 2 variation sur [v, w], T 1 + T 2 ≤ V f [u, w]

⇒ ∀T 1 variation sur [u, v], (∀T 2 variation sur [v, w], T ₂ ≤ V _f [u, w] − T ₁ )

⇒ ∀T 1 variation sur [u, v], V f ([v, w]) ≤ V f [u, w] − T 1

⇒ ∀T ₁ variation sur [u, v], T ₁ ≤ V _f [u, w] − V _f ([v, w])

⇒ V f [u, v]) ≤ V f [u, w] − V f ([v, w])

⇒ V f [u, v]) + V f ([v, w]) ≤ V f [u, w]

Soit T une variation quelconque de f sur [u, v] . La famille à laquelle elle est attachée ne contient pas forcément v . On peut toujours adjoindre v et former une famille de u à v et une autre de v à w . Il existe donc des variations T ₁ sur [u, v]

et T ₂ sur [v, w] telles que

T ≤ T 1 + T 2 ≤ V f ([u, v]) + V g ([v, w]).

On en déduit :

(∀T variation sur [u, w] T ≤ V f ([u, v]) + V g ([v, w]))

⇒ V f ([u, w]) ≤ V f ([u, v]) + V g ([v, w].

4. La fonction W ₁ est croissante car, pour a ≤ u < v ≤ b , on a vu en 3.b que

W 1 (v) = V f ([a, v]) = V f ([a, u]) + V f ([u, v]) ≥ V f ([a, u]) = W 1 (u) car V f ([v, w]) ≥ 0 Sous les mêmes conditions

W 2 (v) − W 2 (u) = V f ([u, v]) − f(v) + f (u) ≥ V f ([u, v]) − |f (v) − f(u)| ≥ 0

car |f (v) − f (u)| est une variation sur [u, v] .

On en conclut que toute fonction à variations bornées et la diérence de deux fonctions croissantes.

5. Étude de la continuité.

a. On suppose f continue, on veut montrer W 1 continue. Comme W 1 est croissante, pour montrer la continuité en x 0 , il sut de montrer que pour tout ε > 0 , il existe x > x 0 tel que W (x) −W (x 0 ) < ε . Il faudra faire aussi un raisonnement analogue à gauche de x 0 .

Considérons un x 1 > x 0 . Il existe une famille c 0 , · · · , c i , · · · entre x 0 et x 1 telle que, en notant v c la variation associée,

V f ([x 0 , x 1 ]) − ε 2 < v c .

Comme f est continue en x ₀ , il existe x ∈]x 0 , c ₁ [ tel que |f (x ₀ ) − f (x)| < ^ε ₂ . On

3

(4)

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peut écrire :

v _c = |f (c ₁ ) − f (x ₀ )| +

n−1

X

k=1

|f (c _k+1 − f (c _k )|

≤ |f (x) − f (x 0 )| + |f (c 1 ) − f (x)| +

n−1

X

k=1

|f (c k+1 − f (c k )|

≤ |f (x) − f (x 0 )| + V f ([x, x 1 ]) ≤ ε

2 + V f ([x 0 , x 1 ]) − V f ([x 0 , x])

⇒ V _f ([x ₀ , x ₁ ]) − ε 2 < ε

2 + V _f ([x ₀ , x ₁ ]) − V _f ([x ₀ , x]) ⇒ V _f ([x ₀ , x]) < ε.

b. La réciproque est plus facile. En eet, pour u < v , on peut considérer |f (v)−f (u)|

comme une variation et utiliser la relation de Chasles.

|f (v) − f (u)| ≤ V f ([u, v]) = W 1 (v) − W 1 (u)

La continuité de W 1 entraîne alors par encadrement celle de f . On en déduit celle de W 2 = W 1 − f comme diérence de deux fonctions continues.

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Énoncé

Dans tout le problème, f désigne une fonction dénie dans un segment [a, b] avec a < b . On dénit une partie de R notée V f ([a, b]) par : un réel v appartient à V f ([a, b]) si et seulement si il existe un entier n ≥ 1 et une famille de réels (c 0 , c 1 , · · · , c n ) telle que

a = c 0 < c 1 < · · · < c n = b et v =

n−1

X

k=0

|f (c k+1 ) − f (c k )| .

On dit que v est la variation de f entre a et b attachée à (c 0 , c 1 , · · · , c n ) . On dit que f est à variations bornées sur [a, b] si et seulement si V f ([a, b]) est majoré. On note alors

V f ([a, b]) = sup(V f ([a, b])) ( appelée variation totale de f sur [a, b] . )

I. Exemples et propriétés.

1. Montrer que |f (b) − f (a)| ∈ V f ([a, b]) . Justier la dénition de V f ([a, b]) pour f à variations bornées.

2. a. Si f est constante, est-elle à variations bornées sur [a, b] ? Que vaut V f ([a, b]) ? b. Soit k > 0 . On suppose que f est k -lipschitzienne. Montrer qu'elle est à variations

bornées sur [a, b] avec V f ([a, b]) ≤ k(b−a) . Que peut-on conclure si f ∈ C 1 ([a, b]) ? c. Soit Ω une partie de [a, b] et f dénie par

f (x) =

( 1 si x ∈ Ω 0 si x / ∈ Ω

Donner des propriétés de Ω assurant que f est ou n'est pas à variations bornées.

3. Dans cette question seulement, a = −1 , b = 0 et f est dénie par

f (x) =







p |x| cos π

x si x ∈ [−1, 0[

0 si x = 0 a. Montrer que f est continue dans [−1, 0] .

b. Montrer que √

k + 1 − √ k ≤ 1

2 √

k pour tout naturel non nul k . En déduire que

1 + √ 1

2 + · · · + √ 1 n

n∈ N

diverge vers +∞ .

c. Montrer que f n'est pas à variations bornées dans [−1, 0] .

4. Soit f et g à variations bornées dans [a, b] et λ ∈ R.

a. Montrer que f est bornée.

b. Montrer que λf , f + g , f g , |f| , sup(f, g) , inf(f, g) sont à variations bornées, indiquer un majorant de la variation totale dans chaque cas.

II. Monotonie et variations.

1. On suppose f monotone sur [a, b] .

a. Que peut-on dire de l'ensemble V f ([a, b]) ? En déduire que f est à variations bornées et préciser sa variation totale.

b. Montrer qu'une fonction somme d'une fonction croissante et d'une fonction dé- croissante est à variations bornées.

2. On suppose que V f ([a, b]) contient un seul élément. Montrer que f est monotone.

3. On suppose que f est à variations bornées sur [a, b] .

a. Soit u et v tels que [u, v] ⊂ [a, b] . Montrer que f est à variations bornées sur [u, v]

et que 0 ≤ V f ([u, v]) ≤ V f ([a, b]) .

b. Soit u , v , w tels que a ≤ u < v < w ≤ b . Montrer que V f ([u, v]) + V f ([v, w]) = V f ([u, w])

4. Soit f à variations bornées sur [a, b] . Montrer que les fonctions dénies dans [a, b]

W 1 : x 7→ V f ([a, x]), W 2 : x 7→ V f ([a, x]) − f (x) sont croissantes. Que peut-on en conclure ?

5. Soit f à variations bornées sur [a, b] .

a. Montrer que f continue sur [a, b] entraîne W 1 continue sur [a, b] . b. Montrer que W 1 continue sur [a, b] entraîne f continue sur [a, b] .

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Corrigé

I. Exemples et propriétés.

1. On peut se limiter à une famille (c 0 , c 1 ) formée de deux points avec c 0 = a et c 1 = b . La variation attachée à cette famille est |f (b) − f (a)| . La partie V f ([a, b]) est non vide.

Lorsqu'elle est majorée, elle admet une borne supérieure V f ([a, b]) .

2. a. Si f est constante, la variation attachée à une famille quelconque est nulle. L'en- semble V f ([a, b]) ne contient que 0 et V f ([a, b]) = 0 .

b. Si f est k -lipschitzienne, elle est à variations bornées avec V f ([a, b]) ≤ k(b − a) . En eet, pour toute famille (c 0 = a < c 1 < · · · < c n = b ,

n−1

X

k=0

|f (c k+1 ) − f(c k )| ≤

n−1

X

k=0

k|c k+1 − c k | = k(b − a).

Si f ∈ C 1 ([a, b]) alors sa dérivée est continue et bornée. La fonction f est k - lipschitzienne avec pour k un majorant de |f 0 | sur [a, b] donc à variations bornées.

c. Si Ω est ni, f est à variations bornée et sa variation totale est le nombre d'élé- ments de Ω . Si Ω est un intervalle ou une union nie d'intervalles disjoints, f est à variations bornées.

S'il existe deux suites innies (x n ) n∈

N , (y n ) n∈

N (respectivement à valeurs dans Ω et dans son complémentaire) entrelacées c'est à dire x n < y n < x n+1 alors la fonction f ne sera pas à variations bornées.

3. a. La fonction f est continue dans [−1, 0] car elle est le produit et la composée de fonctions continues. La continuité en 0 résulte du théorème d'encadrement appliqué en 0 à 0 ≤ f (x) ≤ √

x .

b. La première inégalité vient du théorème des accroissements nis appliqué à la fonction √ entre k et k + 1 (dérivée décroissante). En sommant de 1 à n :

1 + 1

√ 2 + · · · + 1

√ n ≥ 2 √

n + 1 − 1

⇒

Dans tout le problème, f désigne une fonction dénie dans un segment [a, b] avec a < b . On dénit une partie de R notée V _f ([a, b]) par : un réel v appartient à V _f ([a, b]) si et seulement si il existe un entier n ≥ 1 et une famille de réels (c 0 , c 1 , · · · , c n ) telle que

a = c ₀ < c ₁ < · · · < c _n = b et v =

|f (c _k+1 ) − f (c _k )| .

2. a. Si f est constante, est-elle à variations bornées sur [a, b] ? Que vaut V _f ([a, b]) ? b. Soit k > 0 . On suppose que f est k -lipschitzienne. Montrer qu'elle est à variations

bornées sur [a, b] avec V f ([a, b]) ≤ k(b−a) . Que peut-on conclure si f ∈ C ¹ ([a, b]) ? c. Soit Ω une partie de [a, b] et f dénie par

k + 1 − √ k ≤ ¹

1 + ^√ ¹

2 + · · · + ^√ ¹ _n

a. Que peut-on dire de l'ensemble V _f ([a, b]) ? En déduire que f est à variations bornées et préciser sa variation totale.

2. On suppose que V _f ([a, b]) contient un seul élément. Montrer que f est monotone.

et que 0 ≤ V _f ([u, v]) ≤ V _f ([a, b]) .

b. Soit u , v , w tels que a ≤ u < v < w ≤ b . Montrer que V _f ([u, v]) + V _f ([v, w]) = V _f ([u, w])

Lorsqu'elle est majorée, elle admet une borne supérieure V _f ([a, b]) .

Si f ∈ C ¹ ([a, b]) alors sa dérivée est continue et bornée. La fonction f est k - lipschitzienne avec pour k un majorant de |f ⁰ | sur [a, b] donc à variations bornées.

S'il existe deux suites innies (x _n ) _n∈

N , (y _n ) _n∈

N (respectivement à valeurs dans Ω et dans son complémentaire) entrelacées c'est à dire x _n < y _n < x _n+1 alors la fonction f ne sera pas à variations bornées.

(−1) ²

(−1) ³

√ 3 − (−1) ²

(−1) ⁿ

√ n − (−1) ⁿ⁻¹

0 − (−1) ⁿ

λf |λ||f(x k+1 ) − f (x _k )| |λ|V f

f g M _g |f (x _k+1 ) − f (x _k )| + M _f |g(x k+1 ) − g(x _k )| M _g V _f + M _f V _g

sup(f, g) linéarité V _f + V _g

V _f ([a, b]) = {|f (b) − f (a)|}

⇒ ∀T 1 variation sur [u, v], (∀T 2 variation sur [v, w], T ₂ ≤ V _f [u, w] − T ₁ )

⇒ ∀T ₁ variation sur [u, v], T ₁ ≤ V _f [u, w] − V _f ([v, w])

Soit T une variation quelconque de f sur [u, v] . La famille à laquelle elle est attachée ne contient pas forcément v . On peut toujours adjoindre v et former une famille de u à v et une autre de v à w . Il existe donc des variations T ₁ sur [u, v]

et T ₂ sur [v, w] telles que