Problème A : fonctions absolument monotones

PSI* — 2020/2021 Pour le 18/12/2020.

D.M. 4

Problème A : fonctions absolument monotones

Soientaetbréels tels que−∞ ≤a < b≤+∞etf une fonction de]a, b[dansR, de classeC^∞sur]a, b[.

f est diteabsolument monotone (en abrégé AM) sur ]a, b[si :

∀n∈N ∀x∈]a, b[ f⁽ⁿ⁾(x)≥0.

Partie I

1) Soient f etg deux fonction AM définies sur]a, b[. Montrer que f+g etfgsont AM.

2) Sif est une fonction AM sur]a, b[, montrer quee^f l’est aussi.

3) Exemples

a)Montrer que f : ]0,1[→Rdéfinie parf(x) = 1

√1−x² est AM sur]0,1[.

b)Montrer que la fonction arcsinest AM sur]0,1[.

c)Montrer que la fonction tanest AM sur ]0, π/2[.

4) On suppose dans cette question que a∈Ret que f est AM sur]a, b[.

a)Montrer qu’il existe λ∈Rtel que λ= lim

a⁺ f. On prolongef en posantf(a) =λ.

Montrer que f est dérivable à droite en aet que f^′ est continue à droite en a.

b)Plus généralement, montrer quef est indéfiniment dérivable à droite enaavec des dérivées positives ou nulles. Le même phénomène se produit-il en b ?

Partie II On suppose dans cette partie que : −∞< a <0< b≤+∞. On utilisera librement la formule de Taylor avec reste intégral.

1) Soit une fonction f AM sur]a, b[et : Rn(f, x) =f(x)−f(0)−

n

k=1

f^(k)(0) k! ·x^k. a)Prouver que, pour n fixé, la fonction x → Rn(f, x)

xⁿ est croissante sur ]0, b[ et possède une limite nulle en 0⁺.

b)Montrer que f⁽ⁿ⁾(0)

n! ·xⁿ converge pour x∈[0, b[. Soit g(x) sa somme, montrer que g≤f. c)Déduire des questions précédentes que g=f sur[0, b[. On pourra montrer que, pour0< x < y < b,

0≤Rn(f, x)≤ x y

n

f(y).

d)Montrer que f est développable en série entière au voisinage de 0.

2) Suivant les indications de la questionI-4), on prolonge f en a. Montrer que, pour toutx de[a, b[, f(x) =

∞

n=0

f⁽ⁿ⁾(a)·(x−a)ⁿ n! .

3) Montrer que si f s’annule enx0 ∈ ]a, b[, alors f est nulle. Donner l’ensemble des fonctions f AM sur ]a, b[telles que, pour unp∈Nfixé,f^(p) possède un zéro dans ]a, b[.

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Partie III On suppose dans cette partie que −∞< a < b <+∞.

Étant donnéh∈R^+∗, on définit sur l’ensemble des fonctions réelles d’une variable réelle les applications Th,∆h etI par :

Th(f) (x) =f(x+h), ∆h(f) (x) =f(x+h)−f(x), I(f) (x) =f(x). Plus généralement on définit les opérateurs aux différences finies successifs :

∆⁰_h=I et ∀n∈N ∆ⁿ⁺¹_h = ∆h◦∆ⁿ_h.

1) On suppose que l’ensemble de définition de f est ]a, b[. Quel est l’ensemble de définition de ∆ⁿ_h(f)?

2) Montrer que : ∀n∈N ∆ⁿ_h(f) (x) =

n

k=0

(−1)^n−k n

k f(x+kh).

3) On supposef définie et AM sur]a, b[. Montrer que, pour tout n∈N,∆ⁿ_h(f)≥0.

On pourra poser X(h) = ∆ⁿ⁺¹_h (f) (x) et exprimer X^′(h) en fonction de ∆ⁿ_h(f^′) (x+h).

4) On considère les fonctions f totalement monotones (TM) c’est-à-dire définies sur]a, b[, de classeC^∞ et telles que :

f ≥0 et ∀n∈N^∗ ∀h∈]0,(b−a)/n[ ∀x∈]a, b−nh[ ∆ⁿ_h(f) (x)≥0.

a)Soit n∈N^∗. On poseSj =

n

k=0

(−1)^n−k n k

k^j

j! pour j∈Netψ(t) = e^t−1 ⁿ.

Déduire du calcul des dérivées successives de ψen 0 que Sj vaut 0 sij < n et queSn vaut 1.

b)Montrer que toute fonction TM est AM.

Problème B

Partie 1

Dans cette partie on définit la fonction ϕsur[0,+∞[par : ϕ(x) = exp −x^1/3 sin √

3·x^1/3 . 1) On pose c=−1 +i√

3. Pour tout entier natureln calculer le module et un argument decⁿ.

2) Montrer que sihest une fonction à valeurs complexes, bornée et continue sur [0,+∞[, alors la fonction H définie part→tⁿh(t) exp (c·t^α) est intégrable sur [0,+∞[, pour tout entier naturel net pour tout réelα >0.

3) On pose pour tout entier naturel n: In= 1

n!

+∞ 0

tⁿexp (c·t) dt et Jn= 1 (3n+ 3)!

+∞ 0

xⁿexp c·x^1/3 dx.

a)Justifier l’existence de In et deJn. CalculerInen fonction de n.

b)Calculer Jn à l’aide d’un changement de variable puis déterminer le réel r < 0 tel que pour tout entier naturel n :

Jn= 1

(n+ 1)rⁿ⁺¹.

4) En déduire que pour tout entier natureln : ⁺

∞

0

tⁿϕ(t) dt= 0.

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Partie 2

Soit f une fonction continue sur le segment [a, b] (a < b), à valeurs réelles, telle que :

∀n∈N

b a

tⁿf(t) dt= 0.

Montrer que f est nulle sur [a, b]. On admettra le théorème de Weierstrass : il existe une suite de polynômes (Pn)_n∈N qui converge uniformément vers f sur [a, b].

Partie 3 : injectivité de la transformation de Laplace Dans cette partie f désigne une application continue sur [0,+∞[à valeurs réelles.

On pose, pour tout entier naturel non nuln, si la fonctiont→f(t) exp (−nt)est intégrable sur[0,+∞[: an=

+∞ 0

f(t) exp (−nt) dt.

1) On suppose dans cette question quef admet une limite nulle en+∞. On notef la fonction définie sur [0,1]par :

f(x) =f(−lnx) six∈]0,1]

f(0) = 0 .

a)Montrer que f est continue sur [0,1].

b)Prouver que t→f(t) exp (−nt) est intégrable sur [0,+∞[pour tout entier natureln≥1.

c)Établir que pour tout entier naturel n≥1 :

1 0

f(x)xⁿ⁻¹dx=an.

d)Montrer que, si an est nul pour tout entiern≥1, alors :

∀t∈[0,+∞[ f(t) = 0.

2) Dans cette question, on suppose que F est une fonction continue sur[0,+∞[, à valeurs réelles, et qu’il existe un réelαtel que F soit dominée, au voisinage de +∞, part→exp (αt).

a)Prouver que pour tout réel m > αla fonction t→F(t) exp (−mt) est intégrable sur [0,+∞[.

b)Montrer que, si l’on a

∀m > α

+∞ 0

F(t) exp (−mt) dt= 0, alors F est nulle sur [0,+∞[.