ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 21 octobre 2003
Programme de colles S8
NB : Les d´emonstrations des th´eor`emes ou propositions ´etoil´es doivent ˆetre sues
L’ensemble des nombres r´ eels
Th´eor`eme.— Propri´et´e de la borne sup´erieure, dans R et dansR¯ Toute partie deRposs`ede une borne sup´erieure dans ¯R.
Plus pr´ecis´ement
– siAest une partie non vide et major´ee deR, alors supA=. . . – siAest une partie non vide et non major´ee deR, alors supA=. . . – siAest la partie vide deR, alors supA=. . .!
Proposition?.— In´egalit´es triangulaires Pour tous nombres r´eels xet y,
|x+y| ≤ |x|+|y|.
|x−y| ≥
|x| − |y|
.
D´efinition : Soitx∈R, on appellepartie enti`eredexl’entier relatif not´ebxc, unique tel que : bxc ≤x <bxc+ 1
Proposition.— Propri´et´es de la partie enti`ere d’un r´eel La partie enti`ere v´erifie les propri´et´es suivantes :
1. (∀x∈R), bxc ≤x <bxc+ 1.
2. (∀x∈R), x−1<bxc ≤x.
3. (∀x∈R), (x=bxc ⇐⇒ x∈Z).
4. (∀x∈R),(∀n∈Z), bx+nc=bxc+n.
5. (∀(x, y)∈R2) (x≤y⇒ bxc ≤ byc).
Proposition.— D´eveloppement d´ecimal des nombres r´eels
Tout nombre r´eelxpeut ˆetre repr´esent´e par une suite (a0, a1, a2, a3, a4, a5, . . .) tels quea0∈Z, et pour toutk≥1,ak∈[[0,9]] de la fa¸con suivante :
x=a0+ 0, a1a2a3a4a5. . .
Nota bene : La d´emonstration n’est pas demand´ee, mais vous pourrez indiquer comment on construit ce d´eveloppement `a partir des approximations d´ecimales.
Remarque : Un nombreq est rationnelsi et seulement si la suite de ses d´ecimales est p´eriodique (`a partir d’un certain rang).
D´efinition : une partieC du plan est dite convexesi
(∀(M1, M2)∈P2) (M1, M2)∈C2⇒[M1, M2]⊂C .
Notation : Dans la d´efinition ci-dessus lesegment [M1, M2]est le sous-ensemble du planP form´e des pointsM qui v´erifient :
M(x, y)∈[M1, M2] ssi∃t∈[0,1]tel que
x = tx2+ (1−t)x1 y = ty2+ (1−t)y1
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Exercice? : SoitC la partie du plan d´efinie par :
C={(x, y)∈ P | |x| ≤1, et |y| ≤1}
D´emontrez queCest une partie convexe du plan.
Fonctions monotones
D´efinition : Une fonctionf ∈ F(I,R)est dite
1. croissante (resp.strictement croissante) surI si . . . 2. d´ecroissante (resp.strictement d´ecroissante) surI si . . .
Proposition?.— Soitf ∈ F(I,R) alors
1. f est strictement croissante si et seulement si f est croissante et injective.
2. f est strictement d´ecroissante si et seulement si f est d´ecroissante et injective.
Proposition?.— Op´erations sur les fonctions monotones
Soientf, g∈ F(I,R) deux applications d´efinies sur un intervalleI deRetλ∈R+ un r´eel positif.
1. Sif etg sont croissantes alorsf +gest croissante.
2. Sif est croissante alorsλf est croissante.
3. Sif est croissante, alors−f est d´ecroissante.
4. Sif etg sont croissantes et positives, alorsf×g est croissante.
5. Sif etg sont d´ecroissantes et positives, alorsf×g est d´ecroissante.
Proposition?.— Composition des fonctions monotones
Soientf ∈ F(I,R),g∈ F(J,R) deux applications telles quef(I)⊂J, 1. Sif etg sont croissantes, alorsg◦f est croissante.
2. Sif etg sont d´ecroissantes, alorsg◦f est croissante.
3. Sif est croissante,g est d´ecroissante, alors g◦f est d´ecroissante.
4. Sif est d´ecroissante,g est croissante, alorsg◦f est d´ecroissante.
Premi` eres fonctions usuelles
Pour chacune des fonctionslogarithme de basea,exponentielle de basea,puissance d’ex- posant α,sinus,cosinus ettangente, sont demand´es
– les graphes ;
– les propri´et´es de monotonie ;
– les propri´et´es d’injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e (de ces fonctions ou de leurs restrictions `a des intervalles) ;
– les propri´et´es de sym´etries (parit´e, p´eriodicit´e et autres . . .) ; – les r`egles de calculs.
Pour les fonctions trigonom´etriques, les seules r`egles de calculs demand´ees sont les formules d’addition et de duplication. On illustrera les propri´et´es de sym´etrie de ces fonctions sur le cercle trigonom´etrique.
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