et tel que 1 p + 1 q = 1, qu’on appelle un couple d’exposants conjugu´es, par exemple (2,2) ou (3,3/2)

cours 15, le lundi 14 mars 2011

IV.3. In´egalit´es classiques In´egalit´e de H¨older

On donne un couple (p, q) de nombres r´eels, tel que 1< p, q < +∞ et tel que 1

p + 1 q = 1,

qu’on appelle un couple d’exposants conjugu´es, par exemple (2,2) ou (3,3/2). On peut donner plusieurs formes ´equivalentes utiles de cette relation de conjugaison,

p+q

pq = 1, p+q =pq, q

p =q−1, q =p(q−1), p=q(p−1).

On note que si a, b≥0, on a

ab≤ a^p p + b^q

q ,

par exemple par la convexit´e de l’exponentielle : si ab = 0 c’est clair, sinon a, b > 0 et on peut poser a^p = e^u, b^q = e^v, ce qui donne puisque 1/p+ 1/q= 1

ab= e^u/pe^v/q = e^u/p+v/q ≤ e^u p + e^v

q = a^p p + b^q

q .

On peut aussi ´ecrire cette mˆeme in´egalit´e sous la forme suivante : si 0 ≤ α ≤ 1 et α+β = 1, alors

∀u, v ≥0, u^αv^β ≤αu+β v.

Si f ∈L^p, g∈L^q, on en d´eduit que f g est int´egrable, (∗)

Z

E

|f g|dµ≤ 1 p

Z

E

|f|^pdµ+ 1 q

Z

E

|g|^qdµ <+∞.

On ´etend la notion d’exposants conjugu´es aux cas limites (1,+∞) et (+∞,1), pour lesquels on peut encore pr´etendre que 1/1 + 1/(+∞) = 1.

Proposition : in´egalit´e de H¨older. On suppose que p, q r´eels v´erifient 1 ≤ p, q ≤ +∞

et la relation de conjugaison 1/p+ 1/q = 1. Si f ∈ L^p(E,F, µ) et g ∈ L^q(E,F, µ), le produit f g est int´egrable et

Z

E

f gdµ

≤ kfk_pkgk_q.

Preuve. — Le r´esultat est ´evident pour (1,+∞) ou (+∞,1) ; si f ∈L¹ et g ∈ L^∞, on sait que |g| ≤ kgk_∞ presque partout, donc

Z

E

f gdµ ≤

Z

E

|f g|dµ= Z

{|g|≤kgk∞}

|f| |g|dµ≤ kgk_∞ Z

E

|f|dµ=kfk₁kgk_∞.

On suppose maintenant que 1 < p, q < +∞ et kfk_p,kgk_q > 0 (sinon, f ou g est nulle presque partout, R

Ef gdµ= 0 et ce cas est clair). On pose f1 = f

kfk_p, g1 = g kgk_q. Alorskf1kp =kg1kq = 1, et

Z

E

f₁g₁dµ ≤

Z

E

|f₁| |g₁|dµ≤ 1 p

Z

E

|f₁|^pdµ+ 1 q

Z

E

|g₁|^qdµ= 1.

Par homog´en´eit´e, puisque f =kfkpf1 et g=kgkqg1, on obtient que

Z

E

f gdµ

=kfk_pkgk_q Z

E

f₁g₁dµ

≤ kfk_pkgk_q, ce qui termine la d´emonstration.

Remarque. On peut ´ecrire l’in´egalit´e de H¨older sous la forme Z

E

|F|^α|G|^βdµ≤Z

E

|F|dµαZ

E

|G|dµβ

,

quand α ≥0 etα+β = 1.

Cas extr´emal de l’in´egalit´e de H¨older

Proposition : cas extr´emal de l’in´egalit´e de H¨older. On suppose que p, q r´eels v´erifient 1 ≤p, q ≤+∞ et la relation de conjugaison 1/p+ 1/q = 1. On donne f ∈L^p(E,F, µ).

Pour p <+∞, on a

kfk_p = maxn Z

E

f gdµ

:kgk_q ≤1o

;

pour p= +∞, et `a condition que tout ensemble A ∈ F de mesure infinie contienne un ensemble B∈ F tel que 0< µ(B)<+∞, on a

kfk_∞ = supn Z

E

f gdµ

:kgk₁ ≤1o .

Dans le casp <+∞, on peut dire qu’il existe g telle que kfk_p =

Z

E

f gdµ et kgk_q ≤1.

Il suffit de prendre une fonctiong₁ qui r´ealise le max du module de l’int´egrale de f g, et de multiplier g1 par un nombre complexe de module un convenable.

Preuve. — L’in´egalit´e de H¨older montre que kfk_p est un majorant pour le terme de droite de l’´egalit´e `a prouver. Inversement, si f est dans L^p(E,F, µ), non nulle, posons comme avant f₁ =kfk⁻¹_p f, de norme 1 dans L^p, et d´efinissons g en posant

g(x) =|f1(x)|^p/f1(x)

si f(x)6= 0 et g(x) = 0 sinon. Alors Z

E

|g(x)|^qdµ(x) = Z

E

1_{f6=0}(x)|f₁(x)|^(p−1)qdµ(x)

= Z

E

1_{f6=0}(x)|f1(x)|^pdµ(x) = Z

E

|f1(x)|^pdµ(x) = 1, donc g est dans la boule unit´e de L^q et

Z

E

f₁gdµ= Z

E

1_{f6=0}|f₁|^pdµ= 1, par cons´equent

Z

E

f gdµ=kfk_p.

On a donc r´ealis´e le maximum possible avec cette fonction g de la boule unit´e de L^q. Le cas L^∞ est sp´ecial. Si la norme L^∞ de f est M =kfk∞ >0, l’ensemble

A ={|f|>M−ε} ∈ F

o`u on a choisi 0 < ε < M, est de mesure > 0, peut-ˆetre infinie. D’apr`es l’hypoth`ese additionnelle, l’ensemble A contient un ensemble B de mesure > 0 et finie (si A est de mesure finie, on prend B = A). On pose

g=1_B |f|

µ(B)f qui est de norme un dans L¹. Alors

Z

E

f gdµ= 1 µ(B)

Z

B

|f|dµ >M−ε.

Remarques.

— La condition pourp= +∞est satisfaite quand la mesureµestσ-finie : on dit que µ est une mesure σ-finie sur (E,F) s’il existe une suite (Cn) ⊂ F, qu’on peut supposer croissante, telle que E =S

nC_n et que µ(C_n)<+∞ pour toutn. L’exemple typique est la mesure de Lebesgue sur R, avec par exemple Cn = [−n, n]. La mesure de comptage surN estσ-finie ; en revanche, la mesure de comptage sur R (qu’on n’utilisera gu`ere que pour produire des contre-exemples) n’est pas σ-finie.

Si µ est σ-finie et si A ∈ F est de mesure infinie, les ensembles B_n = A∩C_n sont de mesure finie mais µ(B_n) → +∞ = µ(A) ; il en r´esulte que pour n assez grand, on a B_n⊂A et 0 < µ(B_n)<+∞.

— Le cas p = 2 de l’in´egalit´e de H¨older est un cas particulier de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz des espaces de Hilbert.

— Si p= +∞, si f(x) =x sur E = [0,1], on voit que dans le cas p= +∞ le sup en g∈L¹([0,1], λ) n’est pas atteint. On a kfk_∞ = 1 mais pour toute g telle que kgk₁ ≤1, la fonction (1−x)g(x) est≥0 sur [0,1] et n’est pas presque partout nulle, donc

0<

Z 1 0

(1−x)g(x) dx≤1− Z 1

0

xg(x) dx,

et par cons´equent on a toujours R1

0 xg(x) dx < 1, pour toute g de norme ≤ 1 dans L¹([0,1]). Le sup en g de ces int´egrales est ´egal `a 1, mais n’est atteint par aucune g.

Les difficult´es du cas extr´emal quandp= +∞proviennent de l’exemple pathologique qu’on va d´ecrire maintenant. La d´efinition des mesures accepte la mesure µ suivante, sur (R,B) par exemple : on posera µ(A) = +∞ d`es que A n’est pas vide, et on sera bien oblig´e de poser, d’apr`es la d´efinition des mesures, µ(∅) = 0. Alors, l’espace L¹(R,B, µ) est r´eduit

`

a {0}! Mais l’espace L^∞(R,B, µ) contient la fonction constante f =1, et on ne peut pas obtenir la norme 1 =kfk^∞ comme le sup des int´egrales contre les fonctionsg de L¹.

Cons´equence : inclusion des espaces en mesure finie. Lorsque la mesure µest finie, les espaces L^p sont d´ecroissants avec p : on a L^p(µ)⊂L¹(µ) pour tout p≥1,

Z

E

|f|dµ= Z

E

|f|.1 dµ≤ kfk_pZ

E

1^qdµ1/q

=µ(E)^1/qkfk_p.

En appliquant cette in´egalit´e `a |f|^s et p = r/s on voit que L^r(µ) ⊂ L^s(µ) pour tous r≥s ≥1. En r´esum´e, on a quand 1≤s≤r ≤+∞, et quand la mesure µ est finie

L^∞(E,F, µ)⊂L^r(E,F, µ)⊂L^s(E,F, µ)⊂L¹(E,F, µ).

Dans le cas o`u µ est une probabilit´e, on a que pour toute fonction f ∈ L^r(E,F, µ), la fonction p∈[1, r]→ kfk_p est croissante.

Dualit´e

Pour toute fonction f ∈L^p, d´efinissons une forme lin´eaire `f sur L^q en posant

∀g ∈L^q, `_f(g) = Z

E

f gdµ.

L’in´egalit´e de H¨older montre que `<sub>f</sub> est continue sur L<sup>q</sup>, avec k`_fk ≤ kfk_p. L’´etude du cas extr´emal montre que les deux normes sont ´egales (sous une condition si p = +∞, par exemple `a condition que µ soit σ-finie).

Proposition :injection isom´etrique dans le dual de L^q.Si(E,F, µ)est un espace mesur´e quelconque et 1 < p <+∞, 1/p+ 1/q = 1, l’application j_p de L^p(E,F, µ) dans le dual (topologique) de L^q(E,F, µ) est une isom´etrie lin´eaire ; siµ est σ-finie, l’applicationj∞

est une isom´etrie lin´eaire de L^∞(E,F, µ)dans le dual (topologique) de L¹(E,F, µ).

Remarque. Le th´eor`eme de repr´esentation vu dans le cours sur les espaces de Hilbert permet de dire que toute forme lin´eaire continue sur L<sup>2</sup> peut ˆetre obtenue de la fa¸con pr´ec´edente, c’est `a dire que j₂ est une bijection lin´eaire de L² sur le dual topologique de L². Il faut faire attention `a un petit d´etail dans le cas complexe. Il n’y avait aucune raison de placer une barre de conjugaison dans la d´efinition de`_f, ce qui fait que j₂ est C-lin´eaire dans le cas complexe. Au contraire, on doit mettre une barre de conjugaison dans le produit scalaire hilbertien, qui fait que l’identification hilbertienne i_H g´en´erale entre un Hilbert H et son dual topologique H⁰ est antilin´eaire, iH(αx) = α iH(x) pour tout scalaire α et tout x∈H.

Si ` est une forme lin´eaire continue sur l’espace de Hilbert L², il existe un vecteur F∈L² qui repr´esente par produit scalaire cette forme lin´eaire,

∀g∈L², `(g) =hg,Fi= Z

E

g(x)F(x) dµ(x).

On voit donc que ` est l’image par j₂ de la fonction f = F∈L², complexe conjugu´ee de la fonction F.

On admettra la g´en´eralisation suivante : pour tout p tel que 1 < p < +∞ et tout espace mesur´e (E,F, µ), l’application j_p est une bijection lin´eaire isom´etrique de L^p(E,F, µ) sur le dual topologique de L^q(E,F, µ), o`u 1/p+ 1/q = 1. Si la mesure µest σ-finie, l’applicationj_∞ est une bijection lin´eaire isom´etrique de L^∞(E,F, µ)sur le dual topologique de L¹(E,F, µ).

On peut d´emontrer le cas 1 ≤p <2 `a partir du th´eor`eme hilbertien qui permet de r´egler le casp= 2. Les autres cas peuvent se traiter par le th´eor`eme de Radon-Nikodym, qui peut ˆetre vu en fait comme une autre cons´equence du cas hilbertien.

In´egalit´e de Jensen

Quand ϕ est une fonction convexe d´efinie sur un intervalle I, on montre facilement par r´ecurrence, `a partir de la d´efinition de la convexit´e, que

(∗) ϕXⁿ

j=1

c_jx_j

≤

n

X

j=1

c_jϕ(x_j)

lorsque les x_j sont des points de I et les (c_j) des coefficients ≥0 tels que Pn

j=1c_j = 1.

La combinaison convexePn

j=1c_jx_j est une ^hhmoyenneⁱⁱdes valeurs x_j, et l’in´egalit´e dit que la valeur deϕ `a la moyenne des nombres x<sub>j</sub> est inf´erieure ou ´egale `a la moyenne des valeurs ϕ(x_j).

Quand on a une probabilit´eµ, on peut consid´erer que Z

E

f(x) dµ(x)

est la moyenne des valeurs de la fonction f d´efinie sur E, et qui sont pond´er´ees par les masses infinit´esimales dµ(x). L’in´egalit´e de Jensen g´en´eralise l’in´egalit´e (∗) au cas de ces

hhmoyennes continuesⁱⁱ.

Proposition.Siϕest convexe sur l’intervalleI, sif est r´eelle int´egrable `a valeurs dans I et si µ est une probabilit´e sur (E,F), on a

ϕZ

E

f(x) dµ(x)

≤ Z

E

ϕ(f(x)) dµ(x).

Il est possible que l’int´egrale de droite soit ´egale `a +∞.

La fonction convexeϕ admet des minorantes affines, de la formet ∈R→at+b; la fonction ϕ(f) est donc minor´ee par la fonction int´egrable af +b : la partie n´egative de ϕ(f) a une int´egrale finie, ce qui permet de donner un sens g´en´eralis´e, fini ou ´egal `a +∞,

`a l’int´egrale de ϕ(f). En effet, on voit que ϕ(f)⁻ = max(−ϕ(f),0)≤ max(−af −b,0), donc ϕ(f)⁻ ≤ |a| |f|+|b| qui est int´egrable.

Preuve. — On pose m=R

Efdµ; si m minore l’intervalle I, la fonction f −m est ≥0 d’int´egrale nulle,

Z

E

(f−m) dµ= Z

E

fdµ−m µ(E) =m−m= 0,

donc f −m est presque partout nulle ; il en r´esulte que f(x) = m µ-presque partout, en particulier m est une valeur de f, donc m∈ I est le minimum de I ; puisque f = m µ-presque partout et quem∈I, on a ϕ(f(x)) =ϕ(m) pour presque tout x, donc

Z

E

ϕ(f(x)) dµ(x) =ϕ(m) =ϕZ

E

f(x) dµ(x)

; on proc`ede de mˆeme si m est un majorant de I.

On suppose donc maintenant quem est un point int´erieur `a I ; alorsϕ<sup>0</sup><sub>g</sub>(m), ϕ<sup>0</sup><sub>d</sub>(m) existent ; si α est la d´eriv´ee (`a droite, `a gauche) de ϕ au pointm, on a

∀t∈I, ϕ(t)−ϕ(m)≥α(t−m)

donc Z

E

ϕ(f(x))−ϕ(m)

dµ(x)≥α Z

E

f(x)−m

dµ(x) = 0.

Jensen pourϕ(t) =|t|^p et une mesure finie

On suppose queµest une mesure finie sur (E,F). On consid`ere la probabilit´eνsur (E,F) d´efinie par ν = (µ(E))<sup>−1</sup>µ; sif est F-mesurable ≥0, d’int´egrale finie pour commencer, on peut appliquer directement le r´esultat pr´ec´edent `a la fonction convexet ∈R→ |t|^p,

Z

E

fdνp

≤ Z

E

f^pdν.

Si l’int´egrale de droite est +∞, l’in´egalit´e est vraie ; sinon on trouve des fonctions ´etag´ees int´egrables qui croissent vers f et on g´en´eralise l’in´egalit´e pr´ec´edente `a toutes les fonc- tions mesurables `a valeurs dans [0,+∞]. En revenant `a µ, on obtient que pour toute fonction mesurable `a valeurs dans [0,+∞], on a

Z

E

fdµp

≤µ(E)^p−1 Z

E

f^pdµ valeur +∞ admise, et avec la convention (+∞)^p = +∞.

Retrouver H¨older avec Jensen

On suppose f, g ≥ 0, non nulles, g ∈ L^q, on pose B = {g > 0} et pour la mesure finie dν=g^qdµ, on va appliquer la version de Jensen pour t→ |t|^p; l`a o`ug >0, on peut ´ecrire g=g^1−qg^q : cette d´ecomposition aura donc un sens sur l’ensemble B. On obtient

Z

E

f gdµ^p

=Z

E

f1Bgdµ^p

=Z

B

f gdµ^p

=Z

B

f g^1−qg^qdµ^p

=Z

B

f g^1−qdν^p

≤(ν(E))^p−1Z

B

f^pg^p(1−q)dν

=(ν(E))^p−1Z

B

f^pg^−qdν

=( Z

E

g^qdµp−1Z

B

f^pg^−qg^qdµ

=kgk^q(p_q ⁻¹⁾Z

E

f^p1Bdµ

≤ kgk^p_qkfk^p_p. On a ainsi retrouv´e l’in´egalit´e de H¨older.

Dual de L²

On se place dans le cas r´eel. On suppose donn´ee une forme lin´eaire continue ` sur H = L²(E,F, µ), et on d´efinit une fonction Φ sur H en posant

Φ(f) =kfk²−2`(f).

Cette fonction Φ : H→R est minor´ee sur H, car

Φ(f) +k`k<sup>2</sup> =kfk<sup>2</sup>−2`(f) +k`k<sup>2</sup> ≥ kfk<sup>2</sup>−2k`k kfk+k`k<sup>2</sup> = (kfk − k`k)² ≥0.

On pose m= inf Φ(H). On note que kf +hk²+kf −hk² =

Z

E

|f+h|²+|f−h|² dµ

= Z

E

f² + 2f h+h²+f²−2f h+h²

dµ= 2 Z

E

f²+h² dµ.

Comme ` est lin´eaire, `(f +h) +`(f−h) = 2`(f), donc

Φ(f +h) + Φ(f −h) = 2kfk²+ 2khk² + 4`(f) = 2 Φ(f) + 2khk². Supposons que ε >0 soit donn´e, et que g₁, g₂ soient dans l’ensemble

Cε ={g∈H : Φ(g)≤m+ε²}.

Posons f = (g₁ +g₂)/2 et h = (g₁−g₂)/2, de sorte que f +h = g₁, f −h = g₂. On a Φ(f ±h)≤m+ε², donc

2m+ 2khk² ≤2 Φ(f) + 2khk² = Φ(f+h) + Φ(f −h)≤2(m+ε²),

ce qui prouve que khk² ≤ ε². Le demi-diam`etre de C<sub>ε</sub> est donc ≤ ε. Dans l’espace complet H, l’intersection de la suite d´ecroissante de ferm´es C<sub>2</sub><sup>−n</sup>, non vides et de diam`etre tendant vers 0, est non vide. En un point f₀ de l’intersection, la fonction Φ atteint son minimum. Pour toute fonction h∈H et tout r´eel t, on a

Φ(f₀+th)≥Φ(f₀)

d’o`u Z

E

2tf₀h+t²h²

dµ−2t `(h)≥0.

En d´erivant en t= 0,

Z

E

f₀hdµ−`(h) = 0.

Cela signifie que la forme lin´eaire continue ` est repr´esent´ee par le produit scalaire avec le vecteur f₀ ∈H,

∀h ∈H, `(h) =hh, f₀i= Z

E

h(x)f₀(x) dµ(x).

hhPetitⁱⁱ th´eor`eme de Radon-Nikodym

Si g est une fonction F-mesurable sur E, telle que 0 ≤ g ≤ 1, si µ est une mesure sur l’espace mesurable (E,F) et si on pose dν(x) =g(x) dµ(x), on voit que

∀A ∈ F, ν(A) ≤µ(A).

En effet, ν(A) = R

Agdµ ≤ R

Adµ = µ(A). Le th´eor`eme de Radon-Nikodym donne la r´eciproque.

Th´eor`eme. On suppose que µ est une mesure finie sur (E,F) et que ν est une autre mesure sur (E,F), plus petite que µ en ce sens que ν(A) ≤ µ(A) pour tout A ∈ F. Il existe alors une fonction F-mesurableg, telle que 0≤g≤1 et que dν(x) =g(x) dµ(x).

Preuve. — On va travailler avec les espaces de fonctions r´eelles, et on va d´emontrer que l’application

` :f ∈L²(µ)→ Z

E

fdν

(bien noter le changement de mesure) est une forme lin´eaire continue sur L²(µ). Elle est donc repr´esent´ee par le produit scalaire avec une fonction g : c’est la densit´e cherch´ee.

On commence par voir que pour toute fonction f positive et F-mesurable, on a Z

E

fdν ≤ Z

E

fdµ;

on v´erifie cette affirmation pour f ´etag´ee positive pour commencer : si f = P

a_k1_Ak, avec ak ≥0, alors R

Efdν =P

akν(Ak)≤P

akµ(Ak) =R

Efdµ. Ensuite, on passe `a la limite sur les suites croissantes de fonctions ´etag´ees.

Si f ∈L²(µ), alorsf ∈L¹(µ) puisque µ est finie, donc Z

E

|f|dν ≤ Z

E

|f|dµ,

ce qui montre que L²(µ)⊂L¹(ν). L’application` ci-dessus est donc bien d´efinie. Elle est lin´eaire et continue sur L²(µ),

|`(f)|= Z

E

fdν ≤

Z

E

|f|dν≤ Z

E

|f|dµ≤p

µ(E)kfk_L²_(µ).

Il existe donc une fonction r´eelle g∈L²(µ) telle que

∀f ∈L²(µ), `(f) = Z

E

f gdµ.

Si A∈ F et si on consid`eref =1_A, alors f ∈L²(µ) (la mesure ´etant finie),

`(1_A) = Z

E

1_Adν =ν(A), et `(1_A) = Z

E

1_Agdµ, donc ν est la mesure de densit´eg par rapport `a µ,

∀A ∈ F, ν(A) = Z

A

gdµ.

Il reste `a prouver que 0≤g ≤1. Posons

B ={x∈E :g(x)>1}; la fonction 1_B g−1

est ≥0, mais Z

E

1_B g−1

dµ=ν(B)−µ(B)≤0, donc l’int´egrale est nulle, la fonction 1_B g−1

est nulle µ-presque partout ; mais par d´efinition, elle est > 0 sur B, donc B est de mesure nulle pour µ. On peut corriger la densit´egen posantg= 1 sur B, sans changer la valeur des int´egrales. De la mˆeme fa¸con, on voit que g ≥0 presque partout, et on effectue une deuxi`eme correction pour obtenir finalement 0≤g≤1.