A351. Un dur à cuire et son acolyte
Je suis un entier naturel N. En choisissant un certain entier p positif plus petit que moi, on forme un couple (N,p) puis on me divise par p. Le couple d’entiers obtenus (q,r) avec le quotient q et le reste r remplace le couple (N,p). On poursuit le processus en divisant q par r jusqu’à ce que le plus petit terme d’un couple devienne nul.
Je suis un dur à cuire car avec mon acolyte p, il faut 13 divisions successives pour obtenir 0. De surcroît, je suis le plus petit des durs à cuire qui nécessitent ces 13 opérations. Qui suis-je et que vaut mon acolyte p ?
Si a = bq+r avec r<b, inversement connaissant (q,r), on choisit (a,b) pour que a=bq+r avec b > r . Pour avoir a minimum, on prend b=r+1.
A la fin le couple (1,1) est suivi par (1,0).
On 'remonte' la suite à partir de (1,0), (1,1) ce qui donne :
(1,0) (1,1) (3,2) (11,3) (47,4) (239,5) (1439,6) (10079,7) (80639,8) (725759,9) (7257599,10) (79833599,11) (958003199,12) (12454041599,13)
C'est la suite (2*n! – 1, n) car (2*n! – 1)*(n+1) + n = 2*(n+1)! – 1 Le dur à cuire N est 2*13! – 1 = 12 454 041 599 et son acolyte est 13.
