A365 ‒ Les nombres prodigieux
Un nombre est appelé prodigieux s'il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls écrits en base 10.
Par exemple l'entier 2016 est prodigieux car il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls égal à 12.
Q₁ Trouver le plus petit entier prodigieux supérieur à 2016 qui ne contient aucun chiffre 0. (*) Q₂ Trouver quatre entiers consécutifs prodigieux >10.(**)
Q₃ Déterminer la longueur maximale d'une suite d'entiers consécutifs prodigieux. (****).
Donner un exemple d'une telle suite.
Réponse de Raymond Bloch.
Q1 Le plus petit entier ne comportant pas de 0 est 2111, qui n’est pas prodigieux, mais 2112, divisible par 2 x 2 = 4, est le plus petit.
Q3 Notre réponse à Q3 inclut celle à Q2.
Un NP (nombre prodigieux) le reste si on lui ajoute des 0, et le produit de ses chiffres ne change pas si on lui ajoute des 1. Appelons « corps » d’un entier le nombre obtenu en supprimant son chiffre de droite.
- Si deux NP sont consécutifs, leur corps ne peut comporter aucun des chiffres de 2 à 9 : si en effet n est divisible par un de ces chiffres, (n+1) ne l’est pas. Donc le corps de NP consécutifs ne comporte que des 1 et des 0.
- Le plus petit corps formé de 1 et de 0, divisible à la fois par 7 et par 9, est 1111011111.
- La plus petite terminaison de 3 chiffres xx8, où x est 0 ou 1, est 008.
D’où la séquence de 13 nombres NP consécutifs 1111011111000, 1111011111001, 1111011111002, 1111011111003, 1111011111004, 1111011111005, 1111011111006, 1111011111007, 1111011111008, 1111011111009, 1111011111010, 1111011111011 et 1111011111012 divisibles resp. par 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 1 et 2.
La séquence ne peut être prolongée ni par le début (car 111101111099 n’est pas divisible par 9 x 9 ), ni par la fin (car si n est divisible par 3, (n+10) ne l’est pas ).
La longueur maximale d’une telle suite est donc 13, et celle proposée réunit les plus petits NP consécutifs.
