A365 ‒ Les nombres prodigieux
Un nombre est appelé prodigieux s'il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls écrits en base 10.
Par exemple l'entier 2016 est prodigieux car il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls égal à 12.
Q₁ Trouver le plus petit entier prodigieux supérieur à 2016 qui ne contient aucun chiffre 0. (*) Q₂ Trouver quatre entiers consécutifs prodigieux >10.(**)
Q₃ Déterminer la longueur maximale d'une suite d'entiers consécutifs prodigieux. (****). Donner un exemple d'une telle suite.
Solution par Simon Pellicer
1) 2112
2) (1110;1111;1112;1113) 3) Soit n un entier.
Notons m le produit des chiffres de n. Essayons à partir de cet entier n de former des entiers prodigieux consécutifs. Si l'on rajoute un chiffre x à la fin de l'entier n tel que x soit différent de 9 et de 0.
L'entier m vaudra alors m*x. Si l'on veut que les deux entiers n*10 + x et n*10 + x + 1 soient des entiers prodigieux alors ils vérifient l'équation pour deux entiers w et v.
w(m*x) + 1 = v(m*(x+1)) soit w*m*x + 1 = v*m*x + v*m soit 1 = m*(v*x + v ‒ w*x)
Ainsi m divise 1, d'ou m = 1 ou m = ‒ 1 on en conclut que pour avoir des entiers prodigieux consécutifs il faut que tous leurs chiffres soient des 1 ou des 0 sauf le dernier.
On étudie maintenant les deux cas particuliers où le chiffre x choisit est 9 ou 0 :
-si x vaut 9, il est impossible de former deux nombres prodigieux consécutifs, car le nombre consécutif à n*10+9 aura un de ses chiffres différent de 1 ou 0 (car le nombre n*10 + 9 doit être uniquement composé de chiffres 1 et 0 sauf pour le dernier chiffre.)
-si x vaut 0, on a m qui reste constant soit : w*m+1 = v*m soit 1 = m*(v ‒ w) et on retourne dans la précédente démonstration.
Ainsi d'après ce qui a été prouvé, on déduit directement que la suite la plus grande possible ne peut excéder 13 car on obtient les termes suivants : (1111111111111111111000 ; 111111111111111111001 ;
111111111111111111002 ; 111111111111111111003 ; 111111111111111111004 ; 111111111111111111005 ; 111111111111111111006 ;111111111111111111007 ; 111111111111111111008 ; 111111111111111111009
; 111111111111111111010 ; 111111111111111111011 ; 111111111111111111012).
Le prochain entier dont le chiffre se terminera par 3 ne sera pas divisible par 3, puisque la somme de ses chiffres ne sera pas divisible par 3.
