1, d’après le théorème de Bézout, a etb sont premiers entre eux

(1)

Exercice 17 p. 149

1. Comme −3a+ 2b =−3(2n+ 1) + 2(3n+ 2) = 1, d’après le théorème de Bézout, a etb sont premiers entre eux.

2. Commea−b= 7n+ 4−(7n+ 3) = 1, d’après le théorème de Bézout, aet bsont premiers entre eux.

Exercice 18 p. 149. On remarque que (n+ 2)² = n²+ 4n+ 4 et (n+ 3)(n+ 1) =n²+ 4n+ 3 donc (n+ 2)²−(n+ 3)(n+ 1) = 1 et ainsi, d’après le théorème de Bézout, (n+ 2)² et (n+ 3)(n+ 1) sont premiers entre eux.

2. On écrit les divisions successives :

(D₁) 32 = 1×23 + 9 (D₂) 23 = 2×9 + 5 (D₃) 9 = 1×5 + 4 (D₄) 5 = 1×4 + 1

On en déduit de (D4) que 1 = 5−4 et de (D3) que 4 = 9−5 donc 1 = 5−(9−5) = 5−9+5 = 2×5−

9. De plus, d’après (D₂), 5 = 23−2×9 donc 1 = 2×(23−2×9)−9 = 2×23−4×9−9 = 2×23−5×4.

Enfin, d’après (D₁), 9 = 32−23 donc 1 = 2×23−5×(32−23) = 2×23−5×32 + 5×23 donc 1 = 7×23−5×32. Ainsi, 23×7 + 32×(−5) = 1 donc (7 ;−5) est une solution de l’équation 23x+ 32y = 1.

4. On écrit les divisions successives :

(D₁) 1274 = 4×275 + 174 (D₂) 275 = 1×174 + 101 (D₃) 174 = 1×101 + 73 (D₄) 101 = 1×73 + 28 (D₅) 73 = 2×28 + 17 (D₆) 28 = 1×17 + 11 (D₇) 17 = 1×11 + 6 (D₈) 11 = 1×6 + 5 (D₉) 6 = 1×5 + 1

On en déduit de (D₉) que 1 = 6 −5 et de (D₈) que 5 = 11−6 donc 1 = 6−(11−6) = 6−11 + 6 = 2×6−11. De plus, d’après (D₇), 6 = 17−11 donc 1 = 2×(17−11)−11 = 2×17−2×11−11 = 2×17−3×11. De même,

d’après (D₆), 11 = 28−17 donc 1 = 2×17−3×(28−17) = 2×17−3×28 + 3×17 donc 1 = 5×17−3×28,

d’après (D₅), 17 = 73−2×28 donc 1 = 5×(73−2×28)−3×28 i.e. 1 = 5×73−13×28, d’après (D₄), 28 = 101−73 donc 1 = 5×73−13×(101−73) = 18×73−13×101, d’après (D₃), 73 = 174−101 donc 1 = 18×(174−101)−13×101 = 18×174−31×101, d’après (D₂), 101 = 275−174 donc 1 = 18×174−31×(275−174) = 49×174−31×275 et, enfin, d’après (D₁), 174 = 1274−4×275 donc 1 = 49×(1274−4×275)−31×275 = 49×1274−227×275.

On conclut que (49 ; 227) est une solution de l’équation 1274x−275y= 1.

(2)

1. Les diviseurs (positifs) de 2¹⁰ sont les nombres de la forme 2^a avec a un entier compris entre 0 et 10.

2. D’après la question précédente, un diviseur de 2¹⁰ différent de 1 est pair donc il ne divise pas 3¹⁰ qui est impair. Ainsi, l’unique diviseur (positif) commun à 2¹⁰ et 3¹⁰ est 1 i.e. 2¹⁰ et 3¹⁰ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bézout, il existe donc deux entiers u etv tels que 2¹⁰u+ 3¹⁰v = 1.

3. Utilisons les écritures décimales 2¹⁰ = 1024 et 3¹⁰ = 59039 et écrivons les divisions euclidiennes :

(D₁) 59039 = 57×1024 + 681 (D₂) 1024 = 1×681 + 343 (D₃) 681 = 1×343 + 338 (D₄) 343 = 1×338 + 5 (D₅) 338 = 67×5 + 3 (D₆) 5 = 1×3 + 2 (D₇) 3 = 1×2 + 1 On en déduit que

1 = 3−2 = 3−(5−3) = 2×3−5

= 2(338−67×5)−5 = 2×338−135×5

= 2×338−135(343−338) = 137×338−135×343

= 137(681−343)−135×343 = 137×681−272×343

= 137×681−272(1024−681) = 409×681−272×1024

= 409×(59039−57×1024)−272×2014 = 409×59039−23585×1024 Ainsi, u=−23585 et v = 409 conviennent.

1. Remarquons que A= (2n+ 1)(n²+ 2n+ 1) = (2n+ 1)(n+ 1)² et B =n(2n+ 1) donc, comme (n+ 1)² etn sont des entiers, 2n+ 1 diviseA et B.

2. On a PGCD(A, B) = PGCD((2n+ 1)(n+ 1)², n(2n+ 1)) = (2n+ 1)PGCD((n+ 1)², n).

Or, (n+ 1)²−(n+ 2)n= n²+ 2n+ 1−(n²+ 2n) = 1 donc, par le théorème de Bézout, PGCD((n+ 1)², n) = 1. On conclut donc que PGCD(A, B) = 2n+ 1.

Notons d_n = PGCD(2n+ 3, n+ 3). On a 2(n+ 3)−(2n+ 3) = 3 donc d_n divise 3. Ainsi, d_n = 1 oud_n = 3. On en déduit qued_n = 3 si et seulement si 3 divise 2n+ 3 et n+ 3. Or, si 3 divisen+ 3 alors, comme 3 divise 3, 3 divise n+ 3−3 =n et réciproquement, si n divise 3, 3 divisen+ 3 et 2n+ 3 donc 3 divise dn.

On conclut que d_n = 3 si et seulement si 3 divise n et donc 2n+ 3 etn+ 3 sont premiers entre eux si et seulement sin n’est pas un multiple de 3.