PGCD, Bézout et Gauss – Feuille d’exercices
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Plus grand diviseur commun
Exercice 1 :
1) Établir la liste des diviseurs positifs de 8 575 et 4 375.
On pourra éventuellement s’aider de leur décomposition en produit de facteurs premiers.
2) En déduire leur PGCD.
Exercice A : PGCD et paramètre
Déterminer, selon la valeur du nombre entier relatif 𝑛, le PGCD de 𝑎 = 2𝑛 + 1 et 𝑏 = 𝑛 − 6
Exercice 2 : on considère deux nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 non nuls.
Montrer que 𝑃𝐺𝐶𝐷(4𝑎 + 9𝑏; 3𝑎 + 7𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏).
Indication : comme dans l’ex. A, on pourra utiliser la propriété : 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 − 𝑘𝑏; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) pour tou t𝑘 ∈ ℤ
Exercice 3 : utiliser l’algorithme d’Euclide pour déterminer le 𝑃𝐺𝐶𝐷 des nombres donnés : 1) 144 et 840 2) 441 et − 777
Exercice B : algorithme d’Euclide et PGCD
Utiliser l’algorithme d’Euclide pour déterminer le 𝑃𝐺𝐶𝐷 des nombres donnés : 1) 202 et 138 2) 2 004 et −9 185
Exercice 4 : déterminer tous les nombres entiers naturels 𝑛 inférieurs à 200 tels que 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑛; 324) = 12.
Exercice 5 : on considère un nombre entier naturel 𝑛 quelconque et on note 𝐴 = 𝑛 − 1 et 𝐵 = 𝑛>− 3𝑛 + 6.
1) Exprimer, pour tout 𝑛 entier naturel, 𝑛>− 3𝑛 + 6 en fonction de 𝑛 − 1
Indication : on pourra vérifier que 𝑛>− 3𝑛 + 6 = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2) + 4 ou utiliser une division de polynômes.
2) a) Démontrer que le 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝐴; 𝐵) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝐴; 4).
b) Déterminer, selon les valeurs de 𝑛, le PGCD de 𝐴 et 𝐵.
3) Pour quelles valeurs de 𝑛 différentes de 1, ?@AB?CD?AE est-il un nombre entier relatif ?
Exercice 6 : lorsqu’on divise 4 294 et 3 521 par un même entier naturel, on obtient respectivement 10 et 11 comme reste.
Déterminer cet entier.
Nombres premiers entre eux
Exercice 7 : vérifier si les nombres entiers suivants sont premiers entre eux ou non.
1) 4 847 et 5 633 2) 5 617 et 813
Exercice 8 : on considère deux nombres entiers relatifs premiers entre eux. Montrer que 𝑎 + 𝑏 est premier avec 𝑎 et 𝑏.
Exercice 9 : déterminer tous les nombres entiers naturels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑎 + 𝑏 = 60 et 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 15.
Théorème de Bézout
Exercice C : équation diophantienne et théorème de Bézout a) Montrer que 88 et 63 sont premiers entre eux
b) Déterminer un couple d’entiers relatifs (𝑢; 𝑣) tel que 88𝑢 + 63𝑣 = 1.
c) En déduire un couple (𝑥; 𝑦) de nombres entiers relatifs solution de l’équation diophantienne :
88𝑥 + 63𝑦 = 2
Exercice 10 :
1) Déterminer un couple de nombre entier relatifs (𝑢; 𝑣) tel que 936𝑢 + 275𝑣 = 1.
2) En déduire un couple (𝑥; 𝑦) de nombres entiers relatifs solution de l’équation 936𝑥 + 275𝑦 = 3.
Exercice 11 :
1) À l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminer 𝑃𝐺𝐶𝐷(155; 65).
2) En déduire un couple de nombres entiers relatifs (𝑢; 𝑣) tel que 𝑃𝐺𝐶𝐷(155; 65) = 155𝑢 + 65𝑣
Exercice 12 : on considère un nombre entier naturel 𝑛. Montrer que 𝑎 = 2𝑛 + 3 et 𝑏 = 3𝑛 + 4 sont premiers entre eux.
Exercice 13 : on considère trois nombres entiers relatifs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 non nuls.
Montrer que si 𝑎 est premier avec 𝑏 et 𝑐, alors 𝑎 est premier avec leur produit 𝑏𝑐.
Exercice 14 : montrer que deux nombres entiers naturels consécutifs non nuls sont premiers entre eux.
Exercice 15 : prouver que, pour tout nombre entier naturel 𝑛 non nul, la fraction >?CE? est irréductible.
Théorème de Gauss
Exercice 16 : on considère l’équation 4𝑥 − 3𝑦 = 2.
1) Déterminer un couple de nombres entiers relatifs solution particulière de cette équation.
2) Déterminer tous les couples de nombres entiers relatifs solutions de cette équation.
Exercice D : équation diophantienne et théorème de Gauss On considère l’équation 3𝑥 − 4𝑦 = 6.
1) Déterminer un couple de nombres entiers relatifs solution particulière de cette équation.
2) Déterminer tous les couples de nombres entiers relatifs solutions de cette équation.
Exercice 17 :
1) Déterminer tous les couples de nombres entiers relatifs solutions de l’équation 5𝑥 + 8𝑦 = 2.
2) Déterminer tous les couples de nombres entiers relatifs solutions de l’équation 65𝑥 − 40𝑦 = 1.
Exercice 18 : on considère l’équation 13𝑥 − 23𝑦 = 1.
1) À l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminer un couple de nombres entiers relatifs solution particulière de cette équation.
2) Déterminer tous les couples de nombres entiers relatifs solution de cette équation.
Exercices bilans
Exercice 19 : l’objectif est de déterminer tous les points de la droite d’équation 𝟖𝟕𝒙 + 𝟑𝟏𝒚 − 𝟐 = 𝟎 dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs et dont l’abscisse est comprise entre 𝟎 et 𝟏𝟎.
1) Démontrer que, pour tout nombre entier relatif 𝑘, 14𝑘 + 3 et 5𝑘 + 1 sont premiers entre eux.
2) On considère l’équation (𝐸) : 87𝑥 + 31𝑦 = 2.
a) À l’aide de la question 1), vérifier que 87 et 31 sont premiers entre eux.
b) En déduire un couple de nombres entiers relatifs (𝑢; 𝑣) tel que 87𝑢 + 31𝑣 = 1 puis un couple (𝑥T; 𝑦T) solution particulière de l’équation (𝐸).
c) Déterminer l’ensemble des solutions de (𝐸) dans ℤ>. 3) Répondre au problème initial.
Exercice 20 : un astronome a observé au jour 𝐽T le corps céleste 𝐴, qui apparaît périodiquement tous les 105 jours.
Six jours plus tard (𝐽T+ 6), il observe le corps 𝐵, dont la période d’apparition est de 81 jours.
On appelle 𝐽E le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l’astronome.
Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour 𝑱𝟏.
1) On note 𝑢 et 𝑣 le nombres de périodes effectuées respectivement par 𝐴 et 𝐵 entre 𝐽T et𝐽E. Montrer que le couple (𝑢; 𝑣) est solution de l’équation (𝐸E): 35𝑥 − 27𝑦 = 2.
2) a) Déterminer un couple d’entiers relatifs (𝑥T; 𝑦T) solution particulière de l’équation (𝐸>): 35𝑥 − 27𝑦 = 1.
b) En déduire une solution particulière (𝑢T; 𝑣T) de l’équation (𝐸E). c) Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation (𝐸E).
d) Déterminer la solution (𝑢; 𝑣) permettant de déterminer 𝐽E. 3) a) Combien de jours s’écouleront entre 𝐽T et 𝐽E.
b) Le jour 𝐽T était le lundi 7 décembre 2015, quelle est la date exacte du jour 𝐽E.
c) Si l’astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre jusqu’à la prochaine conjonction des deux astres ?
Exercice 21 :
1) On considère l’équation (𝐸) : 8𝑥 + 5𝑦 = 1 où (𝑥; 𝑦) est un couple de nombres entiers relatifs.
a) Donner une solution particulière de l’équation (𝐸).
b) Résoudre l’équation (𝐸).
2) a) Résoudre l’équation 8𝑥 + 5𝑦 = 100 où (𝑥; 𝑦) est un couple de nombres entiers relatifs.
b) Au VIIIe siècle, un groupe composé d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune.
Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
3) On considère un entier naturel 𝑁 tel qu’il existe un couple (𝑎; 𝑏) de nombres entiers relatifs vérifiant 𝑁 = 8𝑎 + 1 et 𝑁 = 5𝑏 + 2.
a) Montrer que le couple (𝑎; −𝑏) est solution de (𝐸).
b) Quel est le reste de la division euclidienne de 𝑁 par 40 ?
Exercice 22 : 28 personnes participent à un repas. Le prix normal est de 26 € sauf pour les étudiants et les enfants qui paient respectivement 17 € et 13 €. La somme totale recueillie est de 613 €.
Calculer le nombre d’étudiants et d’enfants ayant participé au repas.
Exercice E : arithmétique et date d’anniversaire
En ajoutant le produit de mon jour de naissance par 12 et le produit de mon mois de naissance par 31, j’obtiens 514.
Quelle est ma date de naissance ?
Exercices supplémentaires
Exercice 𝜶 : pour tout entier naturel 𝑛 supérieur ou égal à 5, on considère 𝑎 = 𝑛B− 𝑛>− 12𝑛 et 𝑏 = 2𝑛>− 7𝑛 − 4.
1) Démontrer, après factorisation, que 𝑎 et 𝑏 sont des nombres entiers naturels divisibles par 𝑛 − 4.
2) On note 𝛼 = 2𝑛 + 1, 𝛽 = 𝑛 + 3 et 𝑑 = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝛼; 𝛽).
a) Déterminer une relation entre 𝛼 et 𝛽 indépendante de 𝑛.
b) Démontrer que 𝑑 est un diviseur de 5.
c) Démontrer que les nombres 𝛼 et 𝛽 sont multiples de 5 si et seulement si 𝑛 − 2 est multiple de 5.
3) Démontrer que 2𝑛 + 1 et 𝑛 sont premiers entre eux.
4) a) Déterminer, suivant les valeurs de 𝑛 et en fonction de 𝑛, le 𝑃𝐺𝐶𝐷 de 𝑎 et 𝑏.
b) Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers 𝑛 = 11 et 𝑛 = 12.
Exercice 𝜷 :
PARTIE A : Restitution Organisée de Connaissances
On rappelle ci-dessous le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
Théorème de Bézout :
Deux nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 sont premiers entre eux si et seulement s’il existe un couple de nombres entiers relatifs (𝑢; 𝑣) vérifiant 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 1.
Théorème de Gauss :
On considère trois entiers relatifs 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Si 𝑎 divise le produit 𝑏𝑐 et si 𝑎 et 𝑏 sont premiers entre eux, alors 𝑎 divise 𝑐.
1) En utilisant le théorème de Bézout, démontrer le théorème de Gauss.
2) On considère deux nombres entiers naturels 𝑝 et 𝑞 premiers entre eux.
Déduire du théorème de Gauss que, si 𝑎 est un nombre entier relatif tel que 𝑎 ≡ 0[𝑝] et 𝑎 ≡ 0[𝑞], alors 𝑎 ≡ 0[𝑝𝑞]
PARTIE B :
On se propose de déterminer l’ensemble ! des nombres entiers relatifs 𝑛 vérifiant le système c𝑛 ≡ 9[17]
𝑛 ≡ 3[5] . 1) Recherche d’un élément de !
On désigne par (𝑢; 𝑣) un couple de nombres entiers relatifs tel que 17𝑢 + 5𝑣 = 1.
a) Justifier l’existence d’un tel couple.
b) On note 𝑛T= 3 × 17𝑢 + 9 × 5𝑣. Démontrer que 𝑛T appartient à !.
c) Donner un exemple de nombre entier relatif 𝑛T appartenant à !.
2) Caractérisation des éléments de !
a) On considère un nombre entier relatif 𝑛 appartenant à !.
Démontrer que 𝑛 − 𝑛T≡ 0[85].
b) En déduire qu’un nombre entier relatif 𝑛 appartient à ! si et seulement si 𝑛 peut s’écrire sous la forme 𝑛 = 43 + 85𝑘 où 𝑘 est un nombre entier relatif.
3) Application
Pedro sait qu’il a entre 300 et 400 jetons. Lorsqu’il fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9 et lorsqu’il fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. Combien a-t-il de jetons ?
Remarque : cet exercice fait référence à ce que l’on appelle le théorème chinois :
« Une bande de 17 pirates possède un trésor constitué de pièces d’or d’égale valeur. Ils projettent de se les partager également et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait alors 3 pièces. Mais les pirates se querellent et six d’entre eux sont tués. Un nouveau partage donnerait au cuisinier 4 pièces.
Dans un naufrage ultérieur, seuls le trésor, six pirates et le cuisinier sont sauvés et le partage donnerait alors 5 pièces d’or à ce dernier. Quelle est la fortune minimale que peut espérer le cuisinier s’il décide d’empoisonner le reste des pirates ? »
Exercice 𝜸 : en montagne, un randonneur a effectué des réservations dans deux types d’hébergements : l’hébergement 𝐴 et l’hébergement 𝐵.
Une nuit en hébergement 𝐴 coûte 24 € et une nuit en hébergement 𝐵 coûte 45 €.
Il se rappelle que le coût total de sa réservation est de 438 €.
Le but de cet exercice est de retrouver les nombres 𝑥 et 𝑦 de nuitées passées respectivement en hébergement 𝐴 et en hébergement 𝐵.
1) a) Montrer que 𝑥 et 𝑦 sont respectivement inférieurs ou égaux à 18 et 9.
b) Compléter l’algorithme suivant afin qu’il affiche les couples (𝑥; 𝑦) possibles.
2) Justifier que le coût total de la réservation est un multiple de 3.
3) a) Justifier que l’équation 8𝑥 + 15𝑦 = 1 admet pour solution au moins un couple de nombres entiers relatifs.
b) Déterminer une telle solution.
c) Résoudre l’équation (𝐸) : 8𝑥 + 15𝑦 = 146 où 𝑥 et 𝑦 sont des entiers relatifs.
4) Le randonneur se souvient avoir passé au maximum 13 nuits en hébergement 𝐴.
Montrer alors qu’il peut retrouver le nombre exact de nuits passées en hébergement 𝐴 et celui des nuits passées en hébergement 𝐵. Calculer ces nombres.
Exercice 𝜹: dans le chiffrement de Vigenère, la clé se présente en général sous la forme d’un mot ou d’une phrase.
On substitue à chaque lettre du message à coder une lettre de la clé.
Exemple : Le mot MODULO est codé YOWBXO à l’aide de la clé MATH. Comme dans le chiffrement affine, on attribue à chaque lettre de l’alphabet un nombre de 0 à 25. Si 𝑥 est le nombre correspondant à une lettre du message et que l’on note 𝑦 le nombre associé à la lettre de la clé correspondante alors on codera x par le reste de la division euclidienne de 𝑥 + 𝑦 par 26.
1) On souhaite coder le mot VIGENERE à l’aide d’un tableur et de la clé MATHS.
a) Expliquer comment la formule « =CAR(MOD(CODE(A1)+CODE(A2)-2*65;26)+65)) » chiffre la lettre V.
b) Chiffrer le mot VIGENERE.
2) On souhaite déchiffrer le mot EPXJUAEFPE, le clé étant toujours MATHS.
a) Montrer que déchiffrer le premier E avec la lettre M revient à résoudre l’équation 𝑥 + 26𝑞 = −8 où 𝑥 désigne un nombre entier compris entre 0 et 25 et 𝑞 un nombre entier relatif.
b) Montrer que l’équation précédente est équivalente à 𝑥 ≡ 18[26].
c) Transformer la feuille de calcul pour décoder le message.
Aide pour l’utilisation du tableur :
Obtenir le nombre correspondant à une lettre donnée =CODE(lettre en majuscule) − 65 Obtenir la lettre correspondant à un nombre donné =CAR(nombre + 65)
Reste de la division euclidienne de a par b =MOD(a ; b)
M O D U L O
x 12 14 3 20 11 14
Clé M A T H M A
y 12 0 19 7 12 0
z 24 14 22 1 23 14
Y O W B X O
Variables
x et y sont des nombres entiers Début algorithme
Pour x allant de 0 à ……… faire Pour y allant de 0 à ……… faire
Si ……… faire Afficher x Afficher y
Fin Si
Fin Pour Fin Pour Fin algorithme
