Enoncé A626 (Diophante) Une partition impossible
Quel est le plus grand entier naturel qui ne peut pas s’exprimer comme la somme de quatre nombres premiers distincts ? Justifiez votre réponse.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Le candidat des entiers pairs est 30. En effet, le nombre des termes impairs de la somme doit être pair ; la somme ayant 4 termes, le nombre des termes pairs est pair lui aussi, or c’est 0 ou 1 car 2 est le seul nombre premier pair. Les 3 plus petits nombres premiers impairs sont 3, 5 et 7, de somme 15. Pour un total de 30, le plus grand terme est ≥30/4> 7 et≤ 15 ; que ce soit 11 ou 13, il est impossible de compléter à 30 avec des nombres premiers distincts.
Les sommes de trois nombres premiers impairs pris parmi 3, 5, 7, 11 et 13 incluent les entiers impairs de 19 à 31. Soit 2nun entier pair>44, et supposons qu’il existe un nombre premierp compris entre 2n−31 et 2n−19. Alors 2n est somme de p(> 13) et de 3 des nombres 3, 5, 7, 11 et 13. Le premier entier pair > 44 à ne oas admettre de décomposition de ce type est 2n = 558. En réalité, le vivier des nombres premiers utilisables est alors assez bien fourni pour donner les expressions cherchées pour toutes les grandes valeurs des entiers pairs. Quant aux entiers pairs de 32 à 44, on les obtient facilement avec 4 des nombres premiers de 3 à 17.
Pour les entiers impairs, l’un des termes de la somme est 2. Avec 2 et trois nombres premiers pris parmi 3, 5, 7, 11 et 13, on obtient les impairs 17 et 21 à 33. 19 ne peut pas être obtenu. Avec deux nombres premiers pris parmi 3, 5, 7, 11 et 13, on obtient (notam- ment) tous les nombres pairs de 8 à 20 ; soit n un entier impair
>35, et supposons qu’il existe un nombre premierpcompris entre n−22 et n−10 ; alorsnest somme de 2, p et deux nombres pre- miers de 3 à 13. Le premier entier impair>35 à ne pas admettre de décomposition de ce type est n= 547. Là encore, il existe des expressions avec plus de nombres premiers >13. Quant à 35, on a les décompositions 2 + 3 + 13 + 17 = 2 + 5 + 11 + 17. Le plus grand candidat impair est donc 19.
En conclusion, le nombre cherché est 30.
1
