Nom :
Groupe : TMATHS4
Devoir maison n°2 PGCD
à préparer pour le : 05 / 03 / 21
Correction du DM n°2
1. D ( ) = { ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; }
D ( ) = { ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; }
2. PGCD ( ; ) =
Donc et sont premiers entre eux.
Donc, d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs et tels que = 3. On applique l'algorithme d'Euclide :
On remonte l'algorithme d'Euclide :
=
=
=
=
=
=
Finalement ( ; ) = ( ; ) ∈ Z est solution de l'équation = .
Par souci de concordance des unités de temps, on convertira les heures en minutes.
h = min
Un tramway de la ligne A passe toutes les min tandis qu'un tramway de la ligne B passe toutes les min.
On sait qu'à h une rame de chaque ligne s'arrête dans la gare.
Soient et les nombres de passages respectifs de chacun avant que les deux tramways ne rentrent de nouveau dans la gare simultanément.
Dans ce cas, et sont deux entiers naturels et ils sont solutions de l'équation :
(E) : = ⇔ = ⇔ =
divise et PGCD( ; ) =
Donc, d'après le théorème de Gauss, divise . On en déduit qu'il existe un entier relatif tel que = Dans ce cas, = ⇒ = ⇒ = Inversement, ∀ ∈ Z, = ⇒ (E) L'ensemble des couples de solutions de (E) dans Z est donc S = {( ; ) où ∈ Z }
On cherche l'heure à laquelle les deux tramways entreront en gare pour la première fois l'après-midi.
Pour cela, sachant que h = min, on résout : > ⇔ > ⇔ >
On obtient ≥ ce qui implique ≥ = min = h
Ainsi, les deux tramways entreront simultanément en gare à h.
210 -1 024 -512 -256 -128 -64 -32 -16 -8 -4 -2 -1 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024
310 -59 049 -19 683 -6 561 -2 187 -729 -243 -81 -27 -9 -3 -1 1 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 19 683 59 049
u v 210u+ 310v 1 210 310 1
210 310
59 049 = 57£1 024 + 681 1 024 = 1£681 + 343 681 = 1£343 + 338 343 = 1£338 + 5 338 = 67£5 + 3 5 = 1£3 + 2 3 = 1£2 + 1 1 = 3¡1£2
1 = 3¡1£[5¡1£3] 2£3¡1£5
1 = 2£[338¡67£5]¡1£5 2£338¡135£5
1 = 2£338¡135£[343¡1£338] 137£338¡135£343 1 = 137£[681¡1£343]¡135£343 137£681¡272£343 1 = 137£681¡272£[1 024¡1£681] 409£681¡272£1 024
1 = 409£[59 049¡57£1 024]¡272£1 024 409£59 049¡23 585£1 024
u v -23 585 409 2 210u+ 310v 1
6 360
12 21 u v
6
u v
360 + 12u 360 + 21v 12u 21v 4u 7v 7v
4k v k
v 4
4 4 7 1
4u 7v 4u 7£4k u 7k
7k 4k k
360 + 12u
720 12
720 12£7k 360 k 360 84
k 5 u 35
780 13
13 360 + 12£35
k 4£7k 7£4k
On sait que ≡ [ ] et ≡ [ ].
On en déduit qu'il existe deux entiers relatifs et tels que = et =
Par conséquent, et sont solutions de (E) : = ⇔ = ⇔ = divise et PGCD( ; ) = donc, d'après le théorème de Gauss, divise .
Ainsi, il existe un entier relatif tel que = Dans ce cas : = ⇒ =
Inversement, ∀ ∈ Z, = ⇒ (E)
On en déduit = = = où ∈ Z
Pour que soit compris entre et on résout :
≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤
On obtient = puis = =
PGCD( ; ) = et est un multiple de donc l'équation (E) : admet au moins un couple de solutions dans Z.
On commence par chercher un couple de solutions de l'équation (E') : On remarque que
Donc ( ; ) = ( ; ) est un couple de solutions de (E') dans Z.
On en déduit, en multipliant chacune par , que ( ; ) = ( ; ) est un couple de solutions de (E) dans Z.
Ainsi :
• d'une part
• d'autre part
On en déduit que (E) ⇔ ⇔
divise et est premier avec . Donc, d'après le théorème de Gauss, divise . On en déduit qu'il existe un entier relatif tel que = ⇔
Dans ce cas, ⇒ ⇒
Inversement, ∀ ∈ Z,
Donc l'ensemble des couples de solutions de (E) dans Z est S = { ( ; ) où ∈ Z }.
On cherche les solutions dans N. Pour cela on résout : ≥ et ≥ ⇔ ≥ et ≤ ⇔ ≥ et ≤ Or ≈ 25,4 et ∈ Z donc = ou =
Ainsi, l'ensemble des solutions de (E) dans N est S = { ( ; ) où ∈ [| ; |] } = { ( ; ) ; ( ; ) } x00 y00 -1
72
17 3 1 72 1 17x+ 3y= 72
17x+ 3y= 1 17£(-1) + 3£6 = 1
x0 y0 -72 6
432 17x+ 3y= 72
17£(-72) + 3£432 = 72
17x+ 3y= 17£(-72) + 3£432 17(x+ 72) = 3(432¡y)
17 3(432¡y) 17 3 17 432¡y
k 432¡y 17k
17(x+ 72) = 3£17k x+ 72 = 3k x= 3k¡72 k
y= 432¡17k 17(3k¡72) + 3(432 + 17k) = 51k¡1224 + 1296 + 51k= 72
432¡17k
3k¡72 k
k 1 n 780 + 15 795
n 60q+ 15 60£13k+ 15 780k+ 15
n 20 800
20 780k+ 15 800 5 780k 785
5
780 k 785 780
5q 13£5k q 13k n 15 60 n 15 156
q q0 n¡60q 15 n¡156q0 15
q q0 n¡60q n¡156q0 60q 156q0 5q 13q0
5 13q0 5 13 1 5 q0
k q0 5k k 5£13k 13£5k
k
3k¡72 0 432¡17k 0 k 72
3 k 432
17 k 24 k 432
432 17
17 k k 24 k 25
3k¡72 432¡17k k 24 25 0 24 3 7
