K ¹ 0 Activités : PGCD, Bézout et GAUSS

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Activités : PGCD, Bézout et GAUSS

Activité 1 :

une enseigne veut offrir à un concours des lots identiques comprenant des DVD et des CD.

Elle souhaite y consacrer au total 105 DVD et 180 CD.

1) Afin d’utiliser tous les DVD et CD disponible, combien l’enseigne peut-elle proposer de lots ? 2) Quel est le plus grand nombre de lots qu’elle peut proposer ?

Préciser alors le contenu d’un lot.

Activité 2 :

dans toute l’activité, 𝑎 et 𝑏 désignent deux nombres entiers naturels.

On note 𝐷₍ l’ensemble des diviseurs de 𝑎 et 𝐷(𝑎; 𝑏) l’ensemble des diviseurs commun à 𝑎 et 𝑏.

1) a) Déterminer 𝐷_,- et𝐷_.,.

b) En déduire 𝐷(42; 54) puis 𝑃𝐺𝐶𝐷(42; 54).

2) Désormais, 𝑎 désigne un nombre entier naturel quelconque.

a) Donner quatre éléments de 𝐷₍. b) Majorer le nombre d’élément de 𝐷₍.

c) En déduire que 𝐷(𝑎; 𝑏) est un ensemble non vide possédant un plus grand élément.

3) a) Montrer que si 𝑏 divise 𝑎, 𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝐷₆. En déduire 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏).

b) Établir la liste des diviseurs de 0.

En déduire 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 0).

c) Justifier la non existence de 𝑃𝐺𝐶𝐷(0; 0).

Activité 3 :

dans toute l’activité, 𝑎 et 𝑏 désignent deux nombres entiers naturels non nuls.

1) On note 𝑞 le quotient et 𝑟 le reste dans la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏.

a) On suppose que 𝑑 est un diviseur commun à 𝑎 et 𝑏.

Expliquer pourquoi 𝑑 divise 𝑎 − 𝑏𝑞.

En déduire que 𝑑 est un diviseur commun à 𝑏 et 𝑟.

b) On suppose que 𝑑 est un diviseur commun à 𝑏 et 𝑟.

Démontrer alors que 𝑑 est un diviseur commun à 𝑎 et 𝑏.

c) En déduire que 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑏; 𝑟).

2) a) Déterminer la valeur renvoyée par l’algorithme ci-contre.

b) Mettre en œuvre cet algorithme avec un tableur en complétant la feuille de calcul ci-dessous pour déterminer

𝑃𝐺𝐶𝐷(262 080; 34 398)

3) a) Programmer l’algorithme précédent sur une calculatrice.

On pourra utiliser la fonction !"# ou $"# qui renvoie la partie entière d’un nombre réel.

b) Déterminer : 𝑃𝐺𝐶𝐷(262 080; 34 398) ; 𝑃𝐺𝐶𝐷(37 352; 5 768) ; 𝑃𝐺𝐶𝐷(15 678 953; 589 357)

Variables

A, B et R sont des nombres entiers Début algorithme

Saisir A Saisir B Tant que

R prend la valeur du reste de la division euclidienne de A par B A prend la valeur B

B prend la valeur R Fin Si

Afficher A Fin algorithme

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Activité 4 :

1) Quelques essais

a) Anatole a deux seaux non gradués, l’un d’une contenance de 7 litres et l’autre de 3 litres et un récupérateur d’eau. En utilisant uniquement ces deux seaux, il souhaite obtenir 1 litre d’eau.

Comment doit-il s’y prendre en effectuant le moins d’étapes possible ? Comment traduire cette expérience par une égalité ?

b) Amélia a elle aussi deux seaux de contenances respectives 7 et 4 litres.

Comment peut-elle s’y prendre pour obtenir 1 litre d’eau en effectuant le moins d’étapes possibles ? Comment traduire cette expérience par une égalité ?

2) Un cas plus compliqué

Alfred dispose quant à lui d’un seau de 15 litres et d’un seau de 13 litres.

a) Trouver une méthode pour obtenir 1 litre.

b) Justifier que, pour résoudre le problème posé, il suffit de déterminer l’ensemble des couples de nombres entiers naturels (𝑥; 𝑦) solutions de l’équation (𝐸) : 15𝑥 + 13𝑦 = 1.

c) En utilisant la table de la calculatrice, faire afficher les valeurs de 𝑦 = ^C

CD−^C.

CD𝑥 pour 𝑥 compris entre 0 et 30. En déduire un couple solution.

En modifiant la démarche, déterminer le nombre minimal de manipulations à effectuer avec les deux seaux pour obtenir 1 litre d’eau.

3) Peut-on prendre des seaux de n’importe quelle contenance ?

Est-il possible d’obtenir 1 litre d’eau en utilisant un seau de 15 litres et un seau de 12 litres ? Justifier la réponse.