TS-spe Contrôle : PGCD, Bézout, Gauss
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Contrôle : PGCD, Bézout, Gauss
.E 1
.. correction1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N
tels que
N ≡ 5 (13) N ≡ 1 (17) (a) Vérifier que 239 est solution de ce système.
(b) Soit N un entier relatif solution de ce système.
Démontrer que N peut s'écrire sous la forme N=1+17x=5+13y où x et y sont deux entiers relatifs vérifiant la relation 17x−13y=4.
(c) Résoudre l'équation 17x−13y=4 où x et y sont des entiers relatifs.
(d) En déduire qu'il existe un entier relatif k tel que N=18+221k.
(e) Démontrer l'équivalence entre N≡18 (221) et
N ≡ 5 (13) N ≡ 1 (17)
.
2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Existe-t-il un entier naturel l tel que 10l≡18 (221)?
E 2
.. correction1. Montrer que deux entiers naturels consécutifs non nuls sont premiers entre eux.
2. Soit n un entier naturel non nul. Montrer que si on prend n+1 entiers compris entre 1 et 2n il y en a toujours deux qui sont premiers entre eux.
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Correction
.E 1
.. énoncé1. (a) 239=13×18+5 donc 239≡5 (13) 239=17×14+1 donc 239≡1 (17)
Donc 239 est solution du système.
(b) N≡5 (13) signifie : il existe y∈Z tel que N=13y+5; De même N≡1 (17) signifie : il existe x∈Z tel que N=17x+1. Toute solution N du système peut donc s'écrire de deux façons :
13y+5 ou 17x+1 et 13y+5=17x+1.
Or 13y+5=17x+1 équivaut à 17x−13y=4, avec (x;y)∈Z2. (c) Le couple (1 ; 1) est une solution évidente : 17×1−13×1=4.
17x−13y=4 ⇐⇒ 17x−13y−(17×1−13×1)=4−4
⇐⇒ 17(x−1)−13(y−1)=0
⇐⇒ 17(x−1)=13(y−1) On en déduit alors :
□
□
□ 17 étant premier avec 13, il divise, d'après le théorème de Gauss, (y−1); il existe donc k∈Z tel que y−1=17k, c'est à dire tel que y=17k+1;
□□
□ de la même manière, il existe k′∈Z tel que x=13k′+1.
Réciproquement, déterminons pour quelles valeurs de k et k′ x et y sont solu- tions.
17(
13k′+1)
−13 (17k+1)=0 ⇐⇒ k=k′
Les couples solutions s'écrivent sous la forme (13k+1 ; 17k+1), k∈Z. (d) Si N est solution du système alors il existe(x;y)
=(13k+1 ; 17k+1),k∈Z, tel que N = 17y+1 = 13y+5, c'est à dire tel que N = 17(13k+1)+1 = 221k+17+1=221k+18, k∈Z.
(e) On a déjà démontré ci-dessus que
N ≡ 5 (13)
N ≡ 1 (17) ⇒N≡18 (221).
Réciproquement :
Si N≡18 (221) alors il existe k∈Z tel que N=221k+18. Or 221k+18≡5 (13) donc N≡5 (13).
De la même manière, si N≡18 (221) alors N≡1 (17).
2. On a vu que 10ℓ≡18 (221)=⇒
10ℓ ≡ 5 (13) 10ℓ ≡ 1 (17) Or
• 100≡1 (13)
• 101≡ −3 (13)
• 102≡9 (13)
• 103≡ −1 (13)
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• 104≡3 (13)
• 105≡4 (13)
• 106≡1 (13)
Pour tout ℓ∈N, il existe un couple d'entiers naturels q et 0⩽r <6 tel que ℓ=6q+r. On a alors 10ℓ=(
106)q
×10r≡10r (13).
On en déduit que dans la division par 13, tous les nombres 10ℓ ont donc comme reste : −3 ;−1 ; 1 ; 3 ; 4 ; 9, mais jamais 5.
Conclusion : il n'existe pas d'entier ℓ tel que 10ℓ≡18 (221).
E 2
.. énoncé1. 1×(n+1)+(−1)×n=1, donc d'après le théorème de Bézout n et n+1 sont premiers entre eux.
2. Si on prend n+1 entiers compris entre 1 et 2n alors il y en a au moins deux qui sont consécutifs et qui sont donc premiers entre eux.
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