Vdouine – Terminale S – Chapitre 3 spé – Arithmétique – Théorèmes de Bézout et de Gauss

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Travaux pratiques Page 1

Codage & décodage d’une lettre

On considère l’équation   ^{E 11 x  26 y  1} où x et y désignent deux nombres entiers relatifs.

Déterminer un couple d’entier relatifs  x y 0 ; 0  solution de l’équation   ^E . Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation   ^E . Déterminer le coupe d’entiers relatifs  x y 1 ; 1  solution de   ^E tel que 0  x ₁  25 .

On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre entier comme l’indique le tableau suivant :

On code tout nombre entier x de la façon suivante : on calcule 11 x  8 , puis on calcule le reste de la division euclidienne de 11 x  8 par 26 que l’on appelle y . Ainsi y  11 x  8 (mod 26) . Démontrer que pour tous nombres entiers relatifs x et y on a y  11 x  8 (mod 26) si et seulement si x  ¹⁹  y  8 (mod 26)  . A l’aide de ce procédé, décoder « JUNSV ».

Proposer l’écriture en langage libre de deux algorithmes : le premier permettant de coder une lettre, le deuxième permettant de décoder une lettre à partir de son rang dans l’alphabet.

Codage & décodage d’un couple de lettres Savoir lire un algorithme

Que permet d’obtenir cet algorithme ? Soyez précis dans votre réponse. Faire fonctionner l’algorithme pour n  255 , n  202 , n  205 ,

104

n  , n  286 , n =101, n  68 , n  323 , 187

n  , n  209 , n  156 .

Variable : n est une variable entière positive

Entrée : Lire n

Traitement : Tant que n  26

n prend la valeur n  26

Sortie : Afficher n

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Travaux pratiques Page 2

Savoir compléter un algorithme

Ecrire en langage libre un algorithme permettant de coder un couple de lettres selon le chiffrement de Hill. Faire fonctionner l’algorithme pour le couple ST.

Savoir modifier un algorithme

Ecrire en langage libre un algorithme permettant de décoder un couple de lettres selon le

chiffrement de Hill. Faire fonctionner cet algorithme pour le couple YJ.

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Travaux pratiques Page 3

Deux exercices supplémentaires

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Travaux pratiques Page 4