Chap.7 :
PGCD, Théorèmes de BEZOUT & GAUSS
Partie 1 : PGCD de deux nombres entiers
a) Diviseurs communs à deux nombres entiers
Notation : on considère deux nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏. On note 𝐷(𝑎; 𝑏) l’ensemble des diviseurs communs à 𝑎 et 𝑏.
On a alors 𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝐷(𝑏; 𝑎) = 𝐷(∩ 𝐷* (avec 𝐷( l’ensemble des diviseurs de 𝑎 et 𝐷* l’ensemble des diviseurs de 𝑏).
Exemple : 𝐷+, = {−12; −6; −4; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 4; 6; 12} et 𝐷+5 = {−18; −9; −6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6; 9; 18}
Donc 𝐷(12; 18) = {−6; −3; −2−; −1; 1; 2; 3; 6}
Remarques : on considère deux nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏.
● 𝐷(𝑎; 𝑏) ⊂ 𝐷* et 𝐷(𝑎; 𝑏) ⊂ 𝐷( ● 𝐷(1; 𝑎) = {−1; 1} ● Si 𝑏 divise 𝑎, alors 𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝐷* ● 𝐷(𝑎; 0) = 𝐷( et 𝐷(𝑏; 0) = 𝐷* ● 𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝐷(|𝑎|; |𝑏|).
Propriété 1 : on considère deux nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏.
● Pour tout nombre entier relatif 𝑘, 𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝐷(𝑎 − 𝑘𝑏; 𝑏)
● Lorsque 𝑏 est non nul, si 𝑟 est le reste de la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏 alors 𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝐷(𝑏; 𝑟).
Démonstration :
● On considère un nombre entier 𝑑 ∈ 𝐷(𝑎; 𝑏).
𝑑 divise 𝑎 et 𝑏 donc 𝑑 divise toute combinaison linéaire à coefficients entiers de 𝑎 et 𝑏, en particulier, 𝑑 divise 𝑎 − 𝑘𝑏.
On en déduit que 𝑑 ∈ 𝐷(𝑎 − 𝑘𝑏; 𝑏) donc 𝐷(𝑎; 𝑏) ⊂ 𝐷(𝑎 − 𝑘𝑏; 𝑏).
On considère un nombre entier 𝑑 ∈ 𝐷(𝑎 − 𝑘𝑏; 𝑏)
𝑑 divise 𝑎 − 𝑘𝑏 et b donc 𝑑 divise toute combinaison linéaire à coefficients entiers de 𝑎 et 𝑏, en particulier, 𝑑 divise (𝑎 − 𝑘𝑏) + 𝑘𝑏 soit 𝑑 divise 𝑎.
On en déduit que 𝑑 ∈ 𝐷(𝑎; 𝑏) donc 𝐷(𝑎 − 𝑘𝑏; 𝑏) ⊂ 𝐷(𝑎; 𝑏).
Conclusion : pour tout nombre entier relatif 𝑘, 𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝐷(𝑎 − 𝑘𝑏; 𝑏).
● 𝑟 est le reste de la division euclidienne de 𝑎 par b donc il existe 𝑞 ∈ ℤ tel que𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟.
On a aussi 𝑟 = 𝑎 − 𝑏𝑞 et d’après le point précédent 𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝐷(𝑎 − 𝑏𝑞; 𝑏) = 𝐷(𝑟; 𝑏) = 𝐷(𝑏; 𝑟).
Remarques :
• En particulier, pour 𝑘 = 1, 𝐷(𝑎 ; 𝑏) = 𝐷(𝑎 − 𝑏 ; 𝑏).
• Pour démontrer que deux ensembles 𝐴 et 𝐵 sont égaux, on peut montrer que 𝐴 ⊂ 𝐵 et 𝐵 ⊂ 𝐴.
b) Définition et Propriétés
Propriété 2 : on considère deux nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 non nuls simultanément.
Alors 𝐷(𝑎; 𝑏) admet un plus grand élément.
Démonstration : on suppose que 𝑏 ≠ 0 quitte à intervertir les rôles de 𝑎 et 𝑏.
𝐷(𝑎; 𝑏) est une partie de ℝ non vide car elle contient 1 et elle est majorée par 𝑚𝑎𝑥(|𝑎|; |𝑏|).
On en déduit que 𝐷(𝑎; 𝑏) admet un plus grand élément.
Définition 1 : PGCD
On considère deux nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 non nuls simultanément.
Le plus grand élément de 𝐷(𝑎; 𝑏) est appelé plus grand diviseur commun de 𝑎 et 𝑏. On le note 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) ou 𝑎 ∧ 𝑏.
Exemple : on a vu que 𝐷(12; 18) = {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6} donc 𝑃𝐺𝐶𝐷(12; 18) = 6.
Remarques : on considère deux nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑏 ≠ 0.
● 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) ≥ 1 ● 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(|𝑎|; |𝑏|).
● 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 1) = 1. ● Si 𝑏 divise 𝑎, alors 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = |𝑏|.
● 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑏; 𝑎) ● 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 0) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑎) = |𝑎|.
Propriété 3 : on considère deux nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑏 ≠ 0.
Pour tout 𝑘 ∈ ℤ, 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 − 𝑏𝑘; 𝑏)
Démonstration : cette propriété est une conséquence immédiate de la propriété 1.
Remarque : en particulier, pour 𝑘 = 1, 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 − 𝑏; 𝑏).
c) Nombres premiers entre eux Définition 2 : nombres premiers entre eux.
On dit que deux nombres entiers relatifs sont premiers entre eux ou étrangers lorsque leur 𝑃𝐺𝐶𝐷 est égal à 1.
Remarque : cela revient à dire que leurs seuls diviseurs communs sont −1 et 1.
Proposition 2 : on considère deux nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 non nuls.
𝑑 = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) ssi il existe deux nombres entiers relatifs 𝑎′et 𝑏′ premiers entre eux tels que 𝑎 = 𝑑𝑎′ et 𝑏 = 𝑑𝑏′
Démonstration :
● Supposons que 𝑑 = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏). 𝑑|𝑎 et 𝑑|𝑏 donc il existe deux entiers relatifs 𝑎′ et 𝑏′ tels que 𝑎 = 𝑑𝑎′ et 𝑏 = 𝑑𝑏′.
On a alors : 𝑑 = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑑𝑎P; 𝑑𝑏′) = 𝑑 × 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎P; 𝑏′) car 𝑑 ≥ 0.
Et comme 𝑑 ≠ 0, on a 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎P; 𝑏′) = 1.
● Réciproquement, supposons qu’il existe deux entiers relatifs 𝑎′ et 𝑏′ tels que 𝑎 = 𝑑𝑎′ et 𝑏 = 𝑑𝑏′ vérifiant 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎′; 𝑏′) = 1.
On a : 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑑𝑎P; 𝑑𝑏′) = 𝑑 × 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎P; 𝑏′) = 𝑑.
Conséquence : tout nombre rationnel s’écrit sous forme irréductible (* où 𝑎 et 𝑏 sont des entiers premiers entre eux.
Partie 2 : Algorithme d’Euclide
a) Algorithme d’Euclide Proposition 1 : lemme d’Euclide
On considère un nombre entier relatif 𝑎 et un nombre entier naturel 𝑏 non nul.
Si 𝑟 est le reste de la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏, alors 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑏; 𝑟).
Démonstration : cette propriété est une conséquence immédiate de la propriété 1.
Théorème 1 : algorithme d’Euclide
On considère deux nombres entiers naturels 𝑎 et 𝑏 tels que 0 < 𝑏 ≤ 𝑎
L’algorithme suivant appelé algorithme d’Euclide permet, en un nombre fini d’étapes, de calculer le 𝑃𝐺𝐶𝐷 de 𝑎 et 𝑏 :
● Calculer le reste de la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏.
● Si 𝑟 = 0, alors 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑏
● Sinon remplacer 𝑎 par 𝑏, et 𝑏 par 𝑟, puis recommencer la première étape.
Le 𝑃𝐺𝐶𝐷 de 𝑎 et 𝑏 est le dernier reste non nul.
Démonstration : Divisions Euclidiennes PGCD
On divise 𝑎 par 𝑏. 𝑎 = 𝑏𝑞++ 𝑟+ et 0 ≤ 𝑟+< 𝑏 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑏, 𝑟+) 𝑟+≠ 0, on divise 𝑏 par 𝑟+. 𝑏 = 𝑟+𝑞,+ 𝑟, et 0 ≤ 𝑟,< 𝑟+ 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑏; 𝑟+) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟+; 𝑟,)
𝑟,≠ 0, on divise 𝑟+ par 𝑟,. 𝑟+ = 𝑟,𝑞U+ 𝑟U et 0 ≤ 𝑟U< 𝑟, 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟+; 𝑟,) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟,; 𝑟U)
… … …
On obtient une suite décroissante de nombres entiers naturels : 0 ≤ ⋯ < 𝑟U< 𝑟,< 𝑟+< 𝑏.
En un nombre fini d’opérations, on obtient donc 𝑟W≠ 0 et 𝑟WX+= 0.
𝑟WY,= 𝑟WY+𝑞W+ 𝑟W et 0 ≤ 𝑟W< 𝑟WY+
𝑟WY+= 𝑟W𝑞WX++ 0
𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟WY,; 𝑟WY+) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟WY+; 𝑟W) 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟WY+; 𝑟W) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟W; 0) = 𝑟W
Exemple : déterminer les PGCD de 8 856 et 1 676 par l’algorithme d’Euclide.
Étape Division Euclidienne a b r
1 0 ! 8 856 1 676 476
2 0 ! 1 676 476 248
3 0 ! 476 248 228
4 0 ! 248 228 20
5 0 ! 228 20 8
6 0 ! 20 8 4
7 8 4 0
On en déduit que 𝑃𝐺𝐶𝐷(8856; 1676) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(1676,476) = ⋯ = 𝑃𝐺𝐶𝐷(8; 4) = 4 b) Conséquences
Proposition 3 : on considère deux nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 tels que𝑏 ≠ 0.
Les diviseurs communs de 𝑎 et 𝑏 sont les diviseurs de leur 𝑃𝐺𝐶𝐷.
Démonstration :
● 1er cas : lorsque 𝑎 et 𝑏 sont des nombres entiers naturels, on utilise l’algorithme d’Euclide.
En reprenant les mêmes notations que la démonstration précédente, on a : 𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝐷(𝑏; 𝑟+) = 𝐷(𝑟+; 𝑟,) = ⋯ = 𝐷(𝑟W; 0) = 𝐷\]. Or 𝑟W= 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) donc 𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝐷^_`a((;*).
L’ensemble des diviseurs communs de 𝑎 et 𝑏 est donc l’ensemble des diviseurs de leur 𝑃𝐺𝐶𝐷.
● 2ème cas : lorsque 𝑎 et 𝑏 sont des nombres entiers relatifs, on se ramène au 1er cas en utilisant les propriétés : 𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝐷(|𝑎|; |𝑏|) et 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(|𝑎|; |𝑏|).
Propriété 4 : homogénéité du PGCD
On considère deux nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 tels que𝑏 ≠ 0.
Pour tout nombre entier relatif 𝑘 non nul, 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑘𝑎; 𝑘𝑏) = |𝑘| × 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏).
Démonstration :
● 1er cas : lorsque 𝑎 et 𝑏 sont des nombres entiers naturels, on utilise l’algorithme d’Euclide pour le calcul du PGCD de 𝑎 et 𝑏.
En multipliant toutes les égalités et inégalités par |𝑘|, on obtient l’algorithme d’Euclide du calcul du PGCD de |𝑘|𝑎 et |𝑘|𝑏.
On en déduit alors que 𝑃𝐺𝐶𝐷(|𝑘|𝑎 ; |𝑘|𝑏 ) = |𝑘|𝑟W= |𝑘| × 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏).
Or 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑘𝑎; 𝑘𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(|𝑘𝑎|; |𝑘𝑏|) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(|𝑘|𝑎; |𝑘|𝑏) On en déduit que 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑘𝑎; 𝑘𝑏) = |𝑘| × 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏).
● 2ème cas : lorsque a et b sont des nombres entiers relatifs, on a :
𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑘𝑎; 𝑘𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(|𝑘|𝑎; |𝑘|𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(|𝑘||𝑎|; |𝑘||𝑏|) = |𝑘|𝑃𝐺𝐶𝐷(|𝑎|; |𝑏|) = |𝑘|𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) d’après le 1er cas.
Exemple : 𝑃𝐺𝐶𝐷(48000; 36000) = 1000 × 𝑃𝐺𝐶𝐷(48; 36) = 1000 × 12 = 12000 476
5 676 1 856
8 = ´ + 476<1676
248 3 476 676
1 = ´ + 248<476
228 1 248
476= ´ + 228<248 20
1 228
248= ´ + 20<228 8
11 20
228= ´ + 8<20 4
2 8
20= ´ + 4<8
0 2 4 8= ´ +
Partie 3 : équations diophantiennes du 1
erdegré
Une équation diophantienne est une équation polynomiale à coefficients entiers dont on cherche les solutions entières.
Une équation diophantienne du 1er degré est une équation qui peut se mettre sous la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 (𝑬)
4 Le théorème de Bezout nous affirme qu’une équation (𝑬) admet des solutions si 𝑐 est un multiple de𝑃𝐺𝐶𝐷 (𝑎; 𝑏).
4 Le théorème de Gauss ainsi qu’une solution particulière nous permettent de trouver les solutions de cette équation (𝑬).
a) Théorème de Bézout Proposition 4 : identité de Bézout
On considère deux nombres entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 non nuls.
Si 𝐷 = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) alors il existe un couple de nombres entiers naturels (𝑢; 𝑣) tel que 𝐷 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣.
Démonstration : on suppose que 𝐷 = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) et on considère l’ensemble " des nombres entiers naturels non nuls s’écrivant sous la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 où (𝑥; 𝑦) est un couple de nombres entiers relatifs.
● " est une partie non vide de ℕ (elle contient |𝑎|), donc " admet un plus petit élément 𝑑 s’écrivant sous la forme : 𝑑 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 où (𝑢; 𝑣) est un couple de nombres entiers relatifs.
● 𝐷 divise 𝑎 et 𝑏 donc 𝐷 divise 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 𝑑 donc 𝐷 ≤ 𝑑.
● Montrons que 𝑑 divise 𝑎 et 𝑏.
La division euclidienne de 𝑎 par 𝑑 s’écrit 𝑎 = 𝑑𝑞 + 𝑟 où 0 ≤ 𝑟 < 𝑑.
On en déduit que 𝑟 = 𝑎 − 𝑑𝑞 = 𝑎 − (𝑎𝑢 + 𝑏𝑣)𝑞 = 𝑎(1 − 𝑢𝑞) + 𝑏(−𝑣𝑞)
Donc 𝑟 s’écrit sous la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 où (𝑥; 𝑦) est un couple de nombres entiers relatifs donc 𝑟 ∈ ".
Comme 0 ≤ 𝑟 < 𝑑, on a 𝑟 = 0 sinon 𝑑 ne serait pas le plus petit élément de ".
On en déduit que 𝑎 = 𝑑𝑞 et donc que 𝑑 divise 𝑎.
De même, on montre que 𝑑 divise 𝑏.
● On conclut que 𝑑 est un diviseur commun de 𝑎 et 𝑏 vérifiant 𝐷 ≤ 𝑑.
Comme 𝐷 est le plus grand diviseur commun de 𝑎 et 𝑏, on a 𝐷 = 𝑑.
Finalement, il existe bien un couple de nombres entiers naturels (𝑢; 𝑣) tel que 𝐷 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣.
Exemples : 𝑃𝐺𝐶𝐷(6; 15) = 3 et 3 = 6 × 3 − 15 × 1 = 15 × 3 − 6 × 7 ; 𝑃𝐺𝐶𝐷(22; 15) = 1 et 1 = 15 × 3 + 22 × (−2) Remarques :
a) Pour déterminer les coefficients de Bézout, on peut examiner les premiers diviseurs de 𝑎 et 𝑏.
b) Le premier exemple précédent montre que le couple (𝑢; 𝑣) cherché n’est pas unique.
c) Attention, la réciproque est fausse ! 15 × 30 + 22 × (−20) = 10 mais 𝑃𝐺𝐶𝐷(15; 22) ≠ 10.
Méthode : déterminer les coefficients de Bézout en utilisant l’Algorithme d’Euclide
Écrire l’Algorithme d’Euclide pour calculer le PGCD des deux valeurs puis, pour chaque étape, exprimer les restes en fonction ces deux valeurs.
Exemple : déterminer un couple de nombres entiers relatifs (𝑢; 𝑣) tels que 155𝑢 + 55𝑣 = 5.
Algorithme d’Euclide pour le
calcul du PGCD de 155 et 55 Détermination des coefficients de Bézout
On en déduit que 𝑃𝐺𝐶𝐷(155; 55) = 5 et que, pour 𝑢 = 5 et 𝑣 = −14, on a 155𝑢 + 55𝑣 = 5.
Théorème 2 : théorème de Bézout
Deux entiers relatifs non nuls 𝑎 et 𝑏 sont premiers entre eux ssi il existe deux entiers relatifs 𝑢 et 𝑣 tels que 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 1.
45 2 55
155= ´ + 45=155-55´2 10
1 45
55= ´ + 10=55-45´1=55-(155-55´2)´1=55´3-155 5
4 10
45= ´ + 5=45-10´4=155-55´2-(55´3-155)´4=155´5+55´(-14) 0
2 5 10= ´ +
Démonstration :
● Supposons que 𝑎 et 𝑏 soient premiers entre eux soit 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 1.
D’après l’identité de Bézout, il existe deux nombres entiers relatifs u et 𝑣 tels que 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 1.
● Réciproquement, supposons qu’il existe deux nombres entiers relatifs 𝑢 et 𝑣 tels que 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 1.
Tout diviseur commun de 𝑎 et 𝑏 divise 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 donc divise 1 et est alors égal à 1 ou −1.
On en déduit que 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 1 et finalement, 𝑎 et 𝑏 sont premiers entre eux.
b) Théorème de Gauss Théorème 3 : théorème de Gauss
On considère trois nombres entiers relatifs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 non nuls.
Si 𝑎 divise 𝑏𝑐 et 𝑎 est premier avec 𝑏 alors 𝑎 divise 𝑐.
Démonstration : si 𝑎 divise 𝑏𝑐 alors il existe 𝑘 ∈ ℤ tel que 𝑏𝑐 = 𝑎𝑘.
Si 𝑎 est premier avec 𝑏 alors, d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs 𝑢 et 𝑣 tels que 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 1.
En multipliant par 𝑐 les deux membres de l’égalité précédente, on a : 𝑐 = 𝑐𝑎𝑢 + 𝑐𝑏𝑣 = 𝑎𝑐𝑢 + 𝑎𝑘𝑣 = 𝑎(𝑐𝑢 + 𝑘𝑣) Or 𝑐𝑢 + 𝑘𝑣 ∈ ℤ donc 𝑎 divise 𝑐.
Proposition 5 : on considère trois nombres entiers relatifs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 non nuls.
Si 𝑎 et 𝑏 divisent 𝑐 et sont premiers entre eux alors leur produit 𝑎𝑏 divise 𝑐.
Démonstration : si 𝑎|𝑐 alors il existe 𝑘 ∈ ℤ tel que 𝑐 = 𝑎𝑘. Si 𝑏|𝑐 alors il existe 𝑘′ ∈ ℤ tel que 𝑐 = 𝑏𝑘′.
On en déduit que 𝑎𝑘 = 𝑏𝑘′ donc 𝑎|𝑏𝑘′ et comme 𝑎 est premier avec 𝑏, d’après le théorème de Gauss, 𝑎|𝑘′.
Il existe donc 𝑘′′ ∈ ℤ tel que 𝑘P = 𝑎𝑘′′ et comme 𝑐 = 𝑏𝑘′, on a 𝑐 = 𝑏𝑎𝑘′′ donc 𝑎𝑏|𝑐.
Exemple : 1 450 860 est divisible par 10 et par 3 ; comme 10 et 3 sont premiers entre eux, alors 1 450 860 est divisible par 10 × 3 = 30.
De plus 1 450 860 est divisible par 11 ; comme 11 et 30 sont premiers entre eux, alors 1 450 860 est divisible par 30 × 11 = 330.
Remarque : l’hypothèse « a et b sont premiers entre eux » est indispensable !
En effet, 60 est divisible par 6 et par 4 mais n’est pas divisible par leur produit 6 × 4 = 24.
Méthode : résoudre une équation du type 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐.
• Chercher une solution particulière (𝑥h; 𝑦h) de cette équation.
• Se ramener à l’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥h+ 𝑏𝑦h et trouver toutes les solutions en utilisant le théorème de Gauss.
Exemple : déterminer tous les couples (𝑥; 𝑦) de nombres entiers relatifs solution de l’équation 5𝑥 − 3𝑦 = 7.
1) Recherche d’une solution particulière.
On constate facilement que 5 × 2 − 3 × 1 = 7 donc le couple (2; 1) est une solution de l’équation.
2) Recherche de toutes les solutions.
Un couple (𝑥; 𝑦) est solution de l’équation 5𝑥 − 3𝑦 = 7 si et seulement si 5𝑥 − 3𝑦 = 5 × 2 − 3 × 1, soit 5(𝑥 − 2) = 3(𝑦 − 1).
Comme cette équation admet des solutions, 3 divise 5(𝑥 − 2) et comme 3 et 5 sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, 3 divise 𝑥 − 2 et il existe donc 𝑘 ∈ ℤ tel que 𝑥 − 2 = 3𝑘 soit 𝑥 = 2 + 3𝑘.
De 5(𝑥 − 2) = 3(𝑦 − 1), on déduit 5 × 3𝑘 = 3(𝑦 − 1) soit 5𝑘 = 𝑦 − 1 ou encore 𝑦 = 1 + 5𝑘.
Réciproquement, on vérifie facilement que les couples (𝑥; 𝑦) s’écrivant sous la forme 𝑥 = 2 + 3𝑘 et 𝑦 = 1 + 5𝑘 où 𝑘 ∈ ℤ sont bien les solutions de l’équation 5𝑥 − 3𝑦 = 7.
Finalement, les solutions de l’équation 5𝑥 − 3𝑦 = 7 sont les couples (𝑥; 𝑦) s’écrivant sous la forme 𝑥 = 2 + 3𝑘 et 𝑦 = 1 + 5𝑘 avec 𝑘 ∈ ℤ
On note 𝑆 = {(2 + 3𝑘; 1 + 5𝑘), 𝑘 ∈ ℤ}.
