a) Montrer que cela d´efinit bien une notion de longueur

2017-2018 M403-Feuille TD 2 Universit´e Lille 1 G´eom´etrie et ´equations diff´erentielles

Diff´eomorphismes

Exercice 1. On consid`ere Rⁿ muni d’une norme k · k quelconque. Pour toute courbe γ : [a, b]→Rⁿ de classeC¹, on d´efinit sa longueur par

`(γ) = Z b

a

kγ⁰(t)kdt.

a) Montrer que cela d´efinit bien une notion de longueur :

– `(γ)≥0 et `(γ) = 0 si et seulement si γ est une courbe constante ;

– la longueur est additive pour l’op´eration de concat´enation (lorsque celle-ci est d´efinie dans la classe des applications C¹) ;

– la longueur est invariante par changement de param´etrisation, c’est-`a-dire que si γ : [a, b] → Rⁿ et ˜γ : [c, d] → Rⁿ sont deux courbes C¹, telles qu’il existe un diff´eomorphisme ϕ: [a, b]→[c, d] satisfaisant γ = ˜γ◦φ, alors

`(γ) =`(˜γ).

b) Montrer que le plus court chemin entre deux points est r´ealis´e par le segment de droite les reliant.

Exercice 2. a) Montrer que la projection st´er´eographique p_N :Sⁿ⁻¹\ {N} ⊂Rⁿ→Rⁿ⁻¹

est un hom´eomorphisme dont l’application r´eciproque est diff´erentiable. Quel est le rang de sa diff´erentielle ?

b) Calculer la composition pS◦p⁻¹_N : Rⁿ⁻¹ \ {0} → Rⁿ⁻¹ \ {0} et montrer que c’est un diff´eomorphisme. Ici,p_S d´esigne la projection st´er´eographique relativement au pˆole sud.

c) Montrer que S³ est la suspension deS². Exercice 3. Montrer que l’application

f :R²\ {0_R2} → R²\ {0_R2} (x, y) 7→ (x²−y²,2xy)

est un diff´eomorphisme local au voisinage de tout point, mais n’est pas un diff´eomorphisme global.

Exercice 4. Nous allons d´emontrer le th´eor`eme du point fixe :

1

Soit F un ferm´e non vide de Rⁿ etT :F →F une application telle qu’il existe0< k <1 tel que pour tout x, y∈F on ait

kT(x)−T(y)k ≤k· kx−yk.

Alors il existe un unique point x0 ∈F tel que T(x0) =x0.

a) Montrer qu’un point fixe, s’il existe, est n´ecessairement unique.

b) Choisissonsy0 ∈F un point quelconque. Montrer que la suite{Tⁿ(y0)}_nest de Cauchy et donc convergente vers un point x0 ∈F.

c) Montrer que T(x₀) =x₀.

Exercice 5. Montrer que f est un diff´eomorphisme de U sur f(U) si et seulement sif est injective, de classe C¹ etdfx est inversible pour toutx∈U.

Exercice 6. Soit f : Rⁿ → Rⁿ une application de classe C¹ telle qu’il existe k > 0 v´erifiant

kf(x)−f(y)k ≥kkx−yk pour tous x, y∈Rⁿ.

a) D´emontrer quef(Rⁿ) est un ferm´e.

b) D´emontrer quedf_x est inversible en tout pointx∈Rⁿ. c) En d´eduire que f est unC¹-diff´eomorphisme deRⁿ surRⁿ.

Exercice 7. Montrer le th´eor`eme des fonctions implicites `a l’aide du th´eor`eme d’inversion locale : ´etant donn´ee une application f : U ⊂ R^p ×Rⁿ → Rⁿ de classe C¹ et un point z₀ = (x₀, y₀)∈U tels quef(x₀, y₀) = 0 et la matrice

∂f

∂y1

(z0). . . ∂f

∂yn

(z0)

soit inversible, alors il existe un voisinageU⁰ouvert dez₀dansU de la formeU⁰=V₁⁰×V₂⁰⊂ R^p×Rⁿ et une application ϕ:V₁⁰ →Rⁿ de classeC¹ telle que

z= (x, y)∈U⁰avecf(z) = 0⇔y=ϕ(x).

Exercice 8. a) D´emontrer que si {L_t}_t∈[0,1] est une d´eformation par des ´el´ements de L(R^p,Rⁿ) d’une application L₀ injective (respectivement surjective), alors, pour t suffi- samment petit, l’application lin´eaireL_t est aussi injective (respectivement surjective).

b) Prouver que lorsque r < min{p, n}, la propri´et´e pour une application lin´eaire de L(R^p,Rⁿ) d’ˆetre de rang r n’est pas stable par perturbation.

Exercice 9. Soit f :U → Rⁿ une application de classe C¹, qui soit une submersion en x₀ ∈U. Montrer qu’il existe des voisinages ouverts U⁰ de x₀, ainsi qu’un diff´eomorphisme φ:U⁰→φ(U⁰) tel que

f ◦φ⁻¹(x₁, . . . , x_p) = (x₁, . . . , x_n) pour tout x∈U⁰.

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