Cet exercice vise à calculer la limite d’une somme infinie classique qui est 1−

Cet exercice vise à calculer la limite d’une somme infinie classique qui est 1−¹2+¹₃−¹4+· · ·+_2n¹₋₁−2n¹,et plus précisément de montrer que cette limite est ln(2). (vous pourrez évaluer la vitesse de convergence en calculant quelques valeurs pour des ndifférents)

Au passage, on montrera d’ailleurs que la somme infinie1−¹3+¹₅−¹7+· · ·−4n¹−1+_4n+1¹ a aussi une limite quie est cette fois

π

4 .Vous pourrez au passage calculer quelques approximations successives de π et constater que, comme la précédente, elle ne converge pas très vite, (pour n= 100, la deuxième décimale de π n’est toujours pas la bonne !!!)

On pose pour tout entier nayurelnnon nul : Z ^π₄

0

tanⁿ(x)dx.

1.a. Justifier l’existence deI_n.

1.b. Sans calculerI_n, démontrer que la suite(I_n)est une suite décroissante à termes positifs.

2.a. Calculer, pour toutn,la dérivée de la fonctionφ: x7−→tanⁿ⁺¹(x).

En déduire que,∀n∈N^∗, I_n+I_n+2= _n+1¹ . 2.b. Montrer que ,∀n∈N^∗,_2(n+1)¹ ≤In≤n+1¹ .

2.c. En déduire la limite deI_n lorsquentend vers l’infini.

2.d. On définit la fonctionf :N^∗→Rparf(n) =I_n+4−I_n. Calculerf(n)en fonction den.

3.a. CalculerI₂.

3.b.On pose,∀n∈N^∗, Sn=f(2) +f(6) +f(10) +· · ·+f(4n−2).Montrer que :Sn=I4n+2−I2

3.c. En déduire la limite de1−¹3+¹₅−¹7+· · ·−4n¹−1+_4n+1¹ lorsquentend vers l’infini.

4.a. Calculer la dérivée de la fonction féfinie sur£ 0;^π₄¤

par : x7−→ln (cos(x)).En déduireI1. 4.b. On pose,∀n∈N^∗, T(n) =f(1) +f(5) +f(9) +· · ·+f(4n−3).Montrer que :T(n) =I_4n+1−I₁ 4.c. En déduire la limite de1−¹₂+¹₃−¹₄+· · ·+_2n¹

−1−_2n¹ lorsquentend vers l’infini.