Exercice 1. Nature et somme de

UPMC LM250

PeiP2 2013-2014

TD 3 : S´ eries num´ eriques

Exercice 1. Nature et somme de

1.

X

T G

1

k(k + 1)(k + 2) ,

2.

X

T G

1 k ² − 1 , 3.

X

T G

ln

1 − 1 k ²

,

4.

X

T G

ln

cos α 2 ^k

,

5.

X

T G

arctan 1 1 + k + k ²

.

Exercice 2. Nature de

1.

X

T G

1 + 1

n n

− e,

2.

X

T G

1 n ^α ln(n) ^β ,

3.

X

T G

n ² (1 + n ² ) ² ,

4.

X

T G

(n!) ² (2n)! ,

5.

X

T G

n ² n ³ + 1 ,

6.

X

T G

P n k=1 k P n

k=1 k ² .

Exercice 3. Comme pour les fonctions

Soit u _n une suite d´ ecroissante dont la s´ erie converge, montrer que u _n = o(1/n).

1

Exercice 4. Nature de la s´ erie de terme g´ en´ eral

1. (−1) ⁿ

n ^α + (−1) ⁿ ,

2. (−1) ⁿ

√ n ² + n ,

3.

ln

1 + (−1) ⁿ p n(n + 1)

,

4.

n n + 1

− 1,

5.

f a + 1

n

+ f a − 1

n

− 2f (a),

o` u f est C ² au voisinage de a, 6.

sin(n!πe),

on pensera ` a utiliser les r´ esultats du TD1,

7.

e ^niθ

√ n + e ^niϕ .

Exercice 5. CS

1. Soit (u n ) n∈ N et (v n ) n∈ N deux suites telles que P

u ² _n et P

v _n ² convergent. Mon- trer que P

u _n v _n converge.

2. Soit (u _n ) n∈ N une suite positive telle que P ₁

1+n

u

converge. Montrer que P u _n diverge.

Exercice 6. CSI

Donner un ´ equivalent de

2n

X

k=n+1

√ 1 k .

Exercice 7. Raabe-Duhamel

1. Soit u _n une suite ` a termes positifs telle que u _n+1

u _n = 1 − α

n + O( 1 n ² ).

Montrer qu’il existe une constante A > 0 telle que u _n ∼ An ^−α . En d´ eduire la nature de la s´ erie des u _n .

2. ´ Etudier la s´ erie d’une suite d´ efinie par u _n+1

u _n = n + a n + b .

2