© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville
Comparaison de fonctions
Croissances comparées Au voisinage de+∞
• Soitα, β ∈ ℝ. Alorsα < β ⟺ 𝑥α =
𝑥→+∞𝑜(𝑥β).
• Soit𝑎, 𝑏 ∈ ℝ∗+. Alors𝑎 < 𝑏 ⟺ 𝑒𝑎𝑥 =
𝑥→+∞𝑜(𝑒𝑏𝑥).
• Soitα, β ∈ ℝ∗+. Alors(ln𝑥)α =
𝑥→+∞𝑜(𝑥β).
• Soitα, β ∈ ℝ∗+. Alors𝑥α =
𝑥→+∞
𝑜(𝑒α𝑥).
Au voisinage de0
• Soitα, β ∈ ℝ. Alorsα > β ⟺ 𝑥α =
𝑥→0𝑜(𝑥β).
• Soitα, β ∈ ℝ∗+. Alors|ln𝑥|α =
𝑥→0𝑜 ( 1 𝑥β).
Au voisinage de−∞
• Soitα, β ∈ ℝ∗+. Alors𝑒α𝑥 =
𝑥→−∞
𝑜 ( 1
|𝑥|β).
• Soit𝑎, 𝑏 ∈ ℝ∗+. Alors𝑎 > 𝑏 ⟺ 𝑒𝑎𝑥 =
𝑥→−∞
𝑜(𝑒𝑏𝑥).
Équivalents usuels
Logarithme, exponentielle, puissance
Un polynôme est équivalent en0(resp. en±∞) à son monôme de plus bas (resp. haut) degré.
ln(1 + 𝑥) ∼
𝑥→0𝑥 i.e. ln(1 + 𝑥) =
𝑥→0𝑥 + 𝑜(𝑥) 𝑒𝑥− 1 ∼
𝑥→0𝑥 i.e. 𝑒𝑥 =
𝑥→01 + 𝑥 + 𝑜(𝑥) (1 + 𝑥)α− 1 ∼
𝑥→0
α𝑥 i.e. (1 + 𝑥)α =
𝑥→0
1 + α𝑥 + 𝑜(𝑥) Fonctions circulaires
sin(𝑥) ∼
𝑥→0𝑥 i.e. sin𝑥 =
𝑥→0𝑥 + 𝑜(𝑥) 1 −cos(𝑥) ∼
𝑥→0
𝑥2
2 i.e. cos𝑥 =
𝑥→01 − 𝑥2
2 + 𝑜(𝑥2) tan(𝑥) ∼
𝑥→0𝑥 i.e. tan𝑥 =
𝑥→0𝑥 + 𝑜(𝑥) Fonctions circulaires réciproques
arcsin(𝑥) ∼
𝑥→0𝑥 i.e. arcsin𝑥 =
𝑥→0𝑥 + 𝑜(𝑥) arctan(𝑥) ∼
𝑥→0
𝑥 i.e. arctan𝑥 =
𝑥→0
𝑥 + 𝑜(𝑥) Fonctions hyperboliques
sh(𝑥) ∼
𝑥→0𝑥 i.e. sh𝑥 =
𝑥→0𝑥 + 𝑜(𝑥) ch(𝑥) − 1 ∼
𝑥→0
𝑥2
2 i.e. ch𝑥 =
𝑥→01 + 𝑥2
2 + 𝑜(𝑥2) th(𝑥) ∼
𝑥→0𝑥 i.e. th𝑥 =
𝑥→0𝑥 + 𝑜(𝑥)
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