L - Les fonctions. Savoir L.2 : Interprétation et comparaison de plusieurs graphiques *

L - Les fonctions

Savoir L.1 : Interprétation d'un graphique *

Savoir L.2 : Interprétation et comparaison de plusieurs graphiques * Savoir L.3 : Antécédent et image à partir d'un graphique *

Savoir L.4 : Graphiques, intersections et appartenance *

Savoir L.5 : Construire la représentation graphique d'une fonction à partir d'un tableau de valeur

Savoir L.6 : Calculer l'image d'un nombre à partir de l'expression littérale d'une fonction

Savoir L.7 : Construire la représentation graphique d'une fonction affine Savoir L.8 : Antécédent et image à partir d'un tableau de valeurs

Savoir L.9 : Reconnaître si un point appartient à une courbe

Savoir L.10 : Antécédent et image à partir de la notation f(x) = y Savoir L.11 : Coefficient directeur et ordonnée à l'origine *

3 3 ^{e e}

2009 - 2010 2009 - 2010

Co rr ig és Co rr ig és

C o rr ig é s

C o rr ig é s

L - Les fonctions

Savoir L.12 : Tracer une fonction affine connaissant son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine

L.12.1

Comme les trois fonctions sont des fonctions affines, alors leurs représentations graphiques

C

_{f ,}

C

_{g et}

C

h sont des droites.

La fonction ffff a comme ordonnée à l'origine – 2, donc

C

f passe par le point (0 ; – 2).

Le coefficient directeur de ffff est 3. Cela veut dire quand l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée doit augmenter de 3, donc

C

f doit aussi passer par le point (1 ; – 2 + 3), c'est à dire (1 ; 1).

La fonction ggg a comme ordonnée à l'origine 3, donc g

C

_gpasse par le point (0 ; 3).

Le coefficient directeur de ggg est 0. Cela veut dire que quand l'abscisse augmente de 1,g l'ordonnée ne change pas, donc

C

g doit aussi passer par le point (1 ; 3).

La fonction hhh a comme ordonnée à l'origine 2, donc h

C

h passe par le point (0 ; 2).

Le coefficient directeur de hhh est 0,25. Cela veut dire que quand l'abscisse augmente de 1,h l'ordonnée doit augmenter de 0,25.

Donc quand l'abscisse augmente de 4, l'ordonnée doit augmenter de 1, donc

C

h doit aussi passer par le point (4 ; 2 + 1), c'est à dire (4 ; 3).

– Page 2 –

0 1

1

c c c c

f

c c c c

g

c c c c

h

2 3

–2

L.12.2

Comme les trois fonctions sont des fonctions affines, alors leurs représentations graphiques

C

_{f ,}

C

_{g et}

C

h sont des droites.

La fonction ffff a comme ordonnée à l'origine 3, donc

C

f passe par le point (0 ; 3).

Le coefficient directeur de ffff est – 2. Cela veut dire quand l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée doit diminuer de 2, donc

C

f doit aussi passer par le point (1 ; 3 – 2), c'est à dire (1 ; 1).

La fonction ggg a comme ordonnée à l'origine 0, donc g

C

g passe par le point (0 ; 0).

Le coefficient directeur de gggg est 1. Cela veut dire quand l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée doit augmenter de 1, donc

C

g doit aussi passer par le point (1 ; 0 + 1), c'est à dire (1 ; 1).

La fonction hhh a comme ordonnée à l'origine –1, donc h

C

h passe par le point (0 ; –1).

Le coefficient directeur de hhhh est 0,5. Cela veut dire que quand l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée doit augmenter de 0,5.

Donc quand l'abscisse augmente de 2, l'ordonnée doit augmenter de 1, donc

C

h doit aussi passer par le point (2 ; – 1 + 1), c'est à dire (2 ; 0).

– Page 3 –

0 1

1

c c c c

h

c c c c

g

c c c c

h

3

–1

L - Les fonctions

Savoir L.13 : Calculer l'antécédent d'un nombre à partir de l'expression littérale d'une fonction affine

L.13.1

^a)a)a)a) Pour trouver l'antécédent du nombre 10 par la fonction ffff, il faut trouver le nombre £ tel que 2£ + 3 soit égal à 10.

C'est à dire tel que 2×£ soit égal à 7.

Donc l'antécédent du nombre est 10 est le nombre 7

2 , c'est à dire 3,5.

b) b) b)

b) Pour trouver l'antécédent du nombre 15 par la fonction ggg, il faut trouver le nombre £ telg que – 5×£ soit égal à 15.

Donc l'antécédent du nombre est 15 est le nombre – 3.

c)c)

c)c) La fonction hhh est la fonction constante. La seule valeur que la fonction atteigne est 3, donch le nombre 6 n'a pas d'antécédent.

L.13.2

^a)a)a)a) Pour trouver l'antécédent du nombre 8 par la fonction ffff, il faut trouver le nombre £ tel que – 3£ + 1 soit égal à 8.

C'est à dire tel que – 3×£ soit égal à 7.

Donc l'antécédent du nombre est 8 est le nombre −7 3 . b)

b) b)

b) Pour trouver l'antécédent du nombre 18 par la fonction ggg, il faut trouver le nombre £ telg que 4×£ soit égal à 18.

Donc l'antécédent du nombre est 15 est le nombre 18

4 , c'est à dire 4,5.

c)c)

c)c) La fonction hhhh est la fonction constante. Tous les nombres ont la même image : 5. Donc le nombre 5 a une infinité d'antécédent.

Savoir L.14 : Déterminer l'expression littérale d'une fonction affine à partir des coordonnées de deux de ses points

L.14.1

La fonction ffff1111 est une fonction affine, donc elle est de la forme ffff1111(£) = aaaa×£ + bbbb et je dois trouver les nombres a a a a et bbbb.

Comme les points A et B appartiennent à la représentation graphique de la fonction ffff11¹1, cela veut dire que l'on doit avoir : ffff1111(3) = 1 et ffff1111(–2) = –9. Donc les nombres aaaa et bbbb doivent vérifier les équations suivantes : aaa×3 + ba bb = 1b

a aa

a×(– 2) + bbbb = – 9

De ces deux équations, on déduit que l'on doit avoir : bbbb = 1 – aaaa×3 b

b b

b = – 9 – aaaa×(– 2) Donc finalement, on peut résoudre l'équation : 1 – aaaa×3 = – 9 – aaaa×(– 2)

1 – 3aaaa = – 9 + 2aaaa 1 = – 9 + 2aaaa + 3aaaa 1 = – 9 + 5aaaa – Page 4 –

1 + 9 = 5aaaa

10 = 5×aaaa d'où aaa = 10 ÷ 5 = 2a Comme bbbb = 1 – aaaa×3, on obtient : bbb = 1 – 2×3 = 1 – 6 = – 5b

Donc l'expression littérale de la fonction ffff1111 est : ffff1111(£) = 2£ – 5

La fonction gggg1111 est une fonction linéaire, donc elle est de la forme gggg1111(£) = aaaa×£ et je dois trouver le nombre aaaa.

Comme le point C appartient à la représentation graphique de la fonction gggg1111, cela veut dire que l'on doit avoir : gggg1111(2) = – 6.

Donc le nombre aaaa doit vérifier l'équation suivante : aaaa×2 = – 6 d'où aaaa = – 6 ÷ 2 = – 3 Donc l'expression littérale de la fonction gggg1111 est : gggg1111(£) = – 3£

La fonction hhhh1111 est une fonction constante, donc elle est de la forme hhhh1111(£) = bbbb et je dois trouver le nombre bbbb.

Comme le point D appartient à la représentation graphique de la fonction hhhh1111, cela veut dire que l'on doit avoir : hhhh1111(4) = 8. Donc le nombre bbbb doit vérifier l'équation suivante : bbbb = 8 Donc l'expression littérale de la fonction hhhh1111 est : hhhh1111(£) = 8

L.14.2

La fonction ffff2222 est une fonction affine, donc elle est de la forme ffff2222(£) = aaaa×£ + bbbb et je dois trouver les nombres a a a a et bbbb.

Comme les points A et B appartiennent à la représentation graphique de la fonction ffff2222, cela veut dire que l'on doit avoir : ffff2222(2) = 6 et ffff2222(–3) = – 19. Donc les nombres aaaa et bbbb doivent vérifier les équations suivantes : aaa×2 + ba bb = 6b

aaa

a×(– 3) + bbbb = – 19

De ces deux équations on déduit que l'on doit avoir : bbbb = 6 – aaaa×2 bb

bb = – 19 – aaaa×(– 3) Donc finalement, on peut résoudre l'équation : 6 – aaaa×2 = – 19 – aaaa×(– 3)

6 – 2aaaa = – 19 + 3aaaa 6 = – 19 + 3aaaa + 2aaaa 6 = – 19 + 5aaaa 6 + 19 = 5aaaa

25 = 5×aaaa d'où aaa = 25 ÷ 5 = 5a Comme bbbb = 6 – aaaa×2, on obtient : bbb = 6 – 5×2 = 6 – 10 = – 4b

Donc l'expression littérale de la fonction ffff2222 est : ffff2222(£) = 5£ – 4

La fonction gggg2222 est une fonction linéaire, donc elle est de la forme gggg2222(£) = aaaa×£ et je dois trouver le nombre aaaa.

Comme le point C appartient à la représentation graphique de la fonction gggg2222, cela veut dire que l'on doit avoir : gggg2222(5) = 20.

Donc le nombre aaaa doit vérifier l'équation suivante : aaaa×5 = 20 d'où aaaa = 20 ÷ 5 = 4 Donc l'expression littérale de la fonction gggg2222 est : gggg2222((((£) = 4£

La fonction hhhh2222 est une fonction constante, donc elle est de la forme hhhh2222(£) = bbbb et je dois trouver le nombre bbbb.

– Page 5 –

L - Les fonctions

Comme le point D appartient à la représentation graphique de la fonction hhhh2222, cela veut dire que l'on doit avoir : hhhh2222(3) = – 2. Donc le nombre bbb doit vérifier l'équation suivante : bb bb = – 2b Donc l'expression littérale de la fonction hhhh2222 est : hhhh2222(£) = – 2

L.14.3

La fonction ffff3333 est une fonction affine, donc elle est de la forme ffff3333(£) = aaaa×£ + bbbb et je dois trouver les nombres a a a a et bbbb.

Comme les points A et B appartiennent à la représentation graphique de la fonction f3, cela veut dire que l'on doit avoir : ffff3333(4) = – 1 et ffff3333(–5) = 8. Donc les nombres aaaa et bbbb doivent vérifier les équations suivantes : aaa×4 + ba bb = – 1b

aaa

a×(– 5) + bbbb = 8

De ces deux équations on déduit que l'on doit avoir : bbbb = – 1 – aaaa×4 b

b b

b = 8 – aaaa×(– 5) Donc finalement, on peut résoudre l'équation : – 1 – aaaa×4 = 8 – aaaa×(– 5)

– 1 – 4aaaa = 8 + 5aaaa – 1 = 8 + 5aaaa + 4aaaa – 1 = 8 + 9aaaa – 1 – 8 = 9aaaa

– 9 = 9×aaaa d'où aaa = – 9 ÷ 9 = – 1a Comme bbbb = – 1 – aaaa×4, on obtient : bbbb = – 1 – (–1)×4 = – 1 + 4 = 3

Donc l'expression littérale de la fonction ffff3333 est : ffff3333(£) = – £ + 3

La fonction gggg3333 est une fonction linéaire, donc elle est de la forme gggg3333(£) = aaaa×£ et je dois trouver le nombre aaaa.

Comme le point C appartient à la représentation graphique de la fonction gggg3333, cela veut dire que l'on doit avoir : gggg3333(2) = – 9.

Donc le nombre aaaa doit vérifier l'équation suivante : aaaa×2 = – 9

d'où aaaa = – 9 ÷ 2 = – 4,5 Donc l'expression littérale de la fonction gggg3333 est : gggg3333(£) = – 4,5£

La fonction hhhh3333 est une fonction constante, donc elle est de la forme hhhh3333(£) = bbbb et je dois trouver le nombre bbbb.

Comme le point D appartient à la représentation graphique de la fonction hhhh3333, cela veut dire que l'on doit avoir : hhhh3333(0) = 4. Donc le nombre bbbb doit vérifier l'équation suivante : bbbb = 4 Donc l'expression littérale de la fonction hhhh3333 est : hhhh3333(£) = 4

– Page 6 –

Savoir L.15 : Déterminer les caractéristiques d'une fonction à partir de sa courbe L.15.1

Tu dois faire apparaître les pointillés qui indique tes lectures sur le graphique.

a) a)

a) a) Cette fonction semble être définie de – 3 à 3.

b) b) b)

b) Le tableau de variation :

£ – 3 – 1 1 3

hh hh1111 (£)

2

– 2,6

2,5

– 2 c)

c) c)

c) Le tableau de signe :

£ – 3 – 2,2 0,2 1,6 3

– Page 7 –

0 0

0 0 1 1 1 1 1

1 1 1

h h h h

₁₁₁₁

– – –

– 3333 – – 2,2– – 2,22,22,2

– – – – 1111

0,2 0,2 0,2 0,2

1,61,6

1,61,6 3333

L - Les fonctions

h h h

h1111 (£) 2

+ + + +

⁰

– – – –

⁰

+ + + +

⁰

– – – –

^{(– 2)}

L.15.2

Tu dois faire apparaître les pointillés qui indique tes lectures sur le graphique.

a) a) a)

a) Cette fonction semble être définie de – 6 à 6.

b) b) b)

b) Le tableau de variation :

£ – 6 – 2 2 6

h h h h1111 (£)

20

– 20

27

0 c)

c) c)

c) Le tableau de signe :

£ – 6 – 2,8 – 0,6 6

h h h h1111 (£)

2 + 0 – 0 + 0

– Page 8 –

0 0 0

0 2 2 2 2 10

10 10 10

h h h h

₂₂₂₂

– – –

– 6666 – – 2,8– – 2,82,82,8

– –

– – 2222 – – – – 0,60,60,60,6

Savoir L.16 : Calculer les coordonnées du point d'intersection de deux fonctions affines

L.16.1

^a)a)a)a) Si ce point d'intersection existe, alors ses coordonnées (£I ; µI) doivent vérifier à la fois ffff1111(£I) = µI et ffff2222(£I) = µI.

Donc on doit avoir : ffff¹111(£I) = ffff²222(µI) C'est à dire : 3£I + 4 = 2£I – 1

3£I + 4 – 2£I = – 1

£I + 4 = – 1

£I = – 1 – 4

£I = – 5

Comme µI = f1(£I) , cela donne : µI = f1(– 5) = 3×(– 5) + 4 = – 15 + 4 = – 11.

Donc les coordonnées du point d'intersection des représentations graphiques des fonctions ffff1111

et ffff²222 sont (– 5 ; – 11).

b)b)

b)b) Si ce point d'intersection existe, alors ses coordonnées (£I ; µI) doivent vérifier à la fois g

g g

g1111(£I) = µI et gggg2222(£I) = µI.

Donc on doit avoir : gggg1111(£I) = gggg2222(µI) C'est à dire : 6£I = 3

6×£I = 3

£I = 3 ÷ 6 = 0,5

Comme µI = gggg2222(£I) , cela donne : µI = gggg2222(0,5) = 3.

Donc les coordonnées du point d'intersection des représentations graphiques des fonctions g

g g

g1111 et gggg2222 sont (0,5 ; 3).

c)c)

c)c) Si ce point d'intersection existe, alors ses coordonnées (£I ; µI) doivent vérifier à la fois ffff1111(£I) = µI et gggg2222(£I) = µI.

Donc on doit avoir : ffff1111(£I) = gggg2222(£I) C'est à dire : 3£I + 4 = 3

3×£I = 3 – 4

£I = – 1 ÷ 3 = −1 3

Comme µI = gggg2222(£I) , cela donne : µI = gggg2222



⁻¹3



^{= 3.}

Donc les coordonnées du point d'intersection des représentations graphiques des fonctions ffff¹111

et gggg2222 sont



⁻¹3 ;3



^.

– Page 9 –

M - Définitions et constructions

M - Définitions et constructions

Savoir M.1 : Configuration de Thalès et fractions associées M.1.1

Seule les deux premières configurations

sont des configurations de Thalès. La troisième ne l'est pas car les points F, H et J ne sont pas alignés.

Les trois fractions correspondantes sont:

Configuration 1: KL

KM = KO

KN = LO MN

Configuration 2: DB

DC = DA

DE = BA CE

M.1.2

Seule les deux dernières configurations sont des configurations de Thalès. La première ne l'est pas car les points P, N et G ne sont pas alignés.

Les trois fractions correspondantes sont:

Configuration 2: BH

BK = BL

BE = HL KE

Configuration 3: MI

DI = IJ

IC = MJ DC

Savoir M.2 : Vocabulaire & Triangle rectangle

M.2.1

^a)a)a)a) Le côté adjacent à l’angle A est [AB].

b) b) b)

b) Le côté opposé à l’angle C est [AB]. c)c)

c)c) Le côté opposé à l’angle HFG est [GH].

d) d)

d) d) Le côté adjacent à l’angle E est : [HE] dans EFH et [EF] dans EFG. e)

e) e)

e) Dans le triangle rectangle EFG, le côté [FG] est le côté opposé à l'angle E et le côté adjacent à l'angle G . Dans le triangle rectangle EFG, c'est l'hypoténuse.

f)f)

f)f) [AC] est l'hypoténuse du triangle rectangle ABC, [GF] celle de FGH, [GE] celle EFG et [FE] celle de FHE.

M.2.2

^a)a)a)a) Le côté adjacent à l’angle F est [FH]. b)

b) b)

b) Le côté opposé à l’angle G est [FH]. c)

c) c)

c) Le côté opposé à C est [AB] dans ABC. d) d)

d) d) Le côté adjacent à l’angle A dans le triangle rectangle AED est [AE] et dans le triangle ABC, c'est [AB].

e) e) e)

e) Dans le triangle ABC, le côté [BC] est le côté opposé à l'angle A et le côté adjacent à l'angle C .

f) f) f)

f) [AD] est l'hypoténuse du triangle rectangle AED, [AC] celle de ABC et [GF] celle de FGH.

– Page 10 –

Savoir M.3 : Triangle équilatéral & Coefficients trigonométriques

(AB) est une hauteur du triangle ABC. Comme ce triangle est rectangle, cette hauteur est aussi une médiane et donc le point H est le milieu du segment [CB] : HB = CB ÷ 2 = 5 cm

En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AHB, on trouve : AH =



^{75 ≈ 8,7}

10 × 0,5 = 5 donc Cos (60°)

Donc Cos (60°) permet de calculer le côté de 5 cm à partir du côté de 10 cm.

10 × 0,866 ≈ 8,7

Donc Sin (60°) permet de calculer le côté de 8,7 cm à partir du côté de 10 cm.

5 × 1,732 ≈ 8,7 Tan (60°)

Donc Tan (60°) permet de calculer le côté de 8,7 cm à partir du côté de 5 cm.

Savoir M.4 : Triangle équilatéral & Coefficients trigonométriques

M.4.1 M.4.2

– Page 11 –

B A

H

60°

Cos (60°) 10 cm

5 cm 8,7 cm

Tan (60°)

Sin (60°)

E

G

F Sin (E) Cos (E)

Tan (E)

Cos (C ) Tan (C)

B

A C

Sin (C)

S R

T

M K

L Cos (E) Sin (E)

Tan (E)

Tan (E)

Sin (E)

Cos (E)

M - Définitions et constructions

Savoir M.5 : Définition des coefficients trigonométriques M.5.1

cos (A ) = AB

AC sin ( A ) = BC

AC tan ( A ) = BC

AB cos (G ^{) = GH}

GF = GF

EG sin (G^{) = HF}

GF = EF

EG tan (G^{) = HF}

HG = EF GF

M.5.2

cos (A ) = AE

AD = AB

AC sin ( A ) = ED

AD = BC

AC tan ( A ) = ED

AE = BC AB cos (G ) =  GH

GF sin (G ) =  HF

FG tan (G ) =  HF

HG

Savoir M.6 : Polygones réguliers

M.6.1 M.6.2

Savoir M.7 : Inégalité, intervalle et droite graduée *

M.7.1

Encadrement Intervalle Représentation graphique

−2x3 ]– 2 ;3]

3x5 [3 ;5[

−8x−2 [– 8 ;– 2]

£ < 0 ]– ∞ ;0]

M.7.2

Encadrement Intervalle Représentation graphique

x10 [10; + ∞[

x≥−2 ]–2; + ∞[

x−1 ]– ∞ ; – 1]

3x7 ] 3 ; 7 [

– Page 12 –

A

O 4 cm

360 ÷ 9 = 40°

3

– 2 10

5 3

–2 –8

0

– 1 7 3

–2

O A

3 cm

360 ÷ 6 = 60°

12 cm 17 cm

7 cm

20 cm

11 cm

N - Espace

Savoir N.1 : Les surfaces en 6e, 5e et 4e

a) a) a) a)

L'aire de la surface du cylindre est donc égale à :

A

_{= 2 × (}

_π

_{× 8}² _{) + 2 ×}

_π

_{× 8 × 35}

A

_{= 128}

_π

_{+ 560}

_π

_{= 688}

_π

cm² ≈ 2 161 cm²

b) b) b) b)

Savoir N.2 : Les volumes en 6e, 5e et 4e

a) a) a)

a) b)b)b)b)

V

₌ ¹

3×7×17×12 = 476 cm³

V

₌

_π

_{× (11÷2)}² _{× 20}

– Page 13 – 16 cm

35 cm

Aire des deux disques : 2 × (

π

^{× 82)}

Aire du rectangle : 2 ×

π

^{× 8 × 35}

8 cm

35 cm 2 ×

π

^{× 8}

5 cm

A

_{= 6 × 5}² = 6 × 25 = 150 cm²

Base

Hauteur

Base

Hauteur

N - Espace

V

₌

_π

_× ¹²¹

4 × 20 = 605

π

cm³ ≈1 901 cm³

Savoir N.3 : Surface d'une sphère

a) a)a) a)

A

_{= 4}

_π

_{× (17/2)}²

A

_{= 4}

_π

_× ²⁸⁹

4 = 289

π

cm²

≈ 908 cm²

b) b)b) b)

A

_{= 4}

_π

_{× (12)}²

A

_{= 4}

_π

× 144 = 576

π

cm²

≈ 1 810 cm²

Savoir N.4 : Volume d'une sphère

a)a)a) a)

V

₌ ⁴

3 ×

π

^{× (16/2)3}

V

₌ ⁴

3 ×

π

^{× 4096}₈ ^{= 2048}₃ ^×

π

^cm3

≈2 145 cm³

a)a)a) a)

V

₌ ⁴

3 ×

π

^{× 73}

V

₌ ⁴

3 ×

π

× 343 = 1372

3

π

cm³ ≈1 437 cm³

17 cm 12 cm

16 cm 7 cm

Savoir N.6 : Agrandissement et réduction

1) 1) 1) 1)

1. a) 1. a)1. a)

1. a) Le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au plus petit est donné par la fraction

SO ' SO = 3

7

b)b)b) b)

V

_{petit cône =}

V

_{grand cône × (3/7)}³

= 343 × (3/7)³

= 343 × 27

343 = 27 cm³

2) 2) 2) 2) 1. a) 1. a) 1. a)

1. a) Le coefficient d'agrandissement qui permet de passer de la petite pyramide à la plus grande est donné par la fraction SH

SH ' = 10 6 = 5

3

b) b) b) La hauteur SH de la plus grande pyramide est: b) SH = SH' × 5

3 = 5,1 × 5

3 = 8,5 cm

– Page 15 – c) La section d'un cylindre par un plan parallèle à

La section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à sa base est un rectangle dont l'une des dimensions varie suivant la position du plan par rapport à ce cylindre.

S O M

O'

3 cm

7 cm 10 cm

S

H'

H A'

D C

A B

B' D' C'

10 cm

6 cm

SH' = 5,1 cm

N - Espace

c) c) c) c)

V

grande pyramide =

V

petite pyramide× (5/3)³

= 63 × (5/3)³

= 63 × 125

27 = 875 3 cm³

– Page 16 –

O - Déterminer une longueur ou un angle

Savoir O.1 : Avec le théorème de Pythagore – Niveau 1

O.1.1

Le triangle MAP est rectangle en P.

Je peux donc appliquer le théorème de Pythagore : MA² = MP² + PA²

MA² = 9² + 5² MA² = 81 + 25 MA² = 106

Valeur exacte : MA =



106 cm

Valeur approchée au millimètre : MA ≈ 10,3 cm

TEX est un triangle rectangle en T.

Je peux donc utiliser le théorème de Pythagore : XE² = XT² + TE²

13² = 5² + TE² 169 = 25 + TE² donc TE² = 169 – 25 = 144 d'où TE = 12 cm

Je ne sais pas si le triangle HOU est rectangle, donc je ne peux pas calculer laje ne peux pas calculer laje ne peux pas calculer laje ne peux pas calculer la longueur HU.

longueur HU.longueur HU.

longueur HU.

– Page 17 – A

P M

5 cm

9 cm

81 cm² 25 cm²

? cm²

25 cm²

? cm²

X E T

5 cm

13 cm

169 cm²

O - Déterminer une longueur ou un angle

O.1.2

Je ne sais pas si le triangle PAX est rectangle, donc je ne peux pas calculer la longueur PA.je ne peux pas calculer la longueur PA.je ne peux pas calculer la longueur PA.je ne peux pas calculer la longueur PA.

Le triangle MOT est rectangle en O donc je peux donc appliquer le théorème de Pythagore : MT² = MO² + OT²

5² = 2² + OT²

25 = 4 + OT² donc OT² = 21 d'où OT =



^{21 cm}

OT ≈ 4,6 cm

Comme les droites (RI) et (IU) sont perpendiculaires, le triangle RIU est un triangle rectangle en I donc je peux utiliser le théorème de Pythagore : RU² = RI² + IU²

RU² = 7² + 8² RU² = 49 + 64 RU² = 113

donc RU =



^113cm

RU ≈ 10,6 cm

Savoir O.2 : Avec le théorème de Pythagore – Niveau 2

O.2.1

Le triangle APS triangle APS triangle APS est rectangle en Ptriangle APS rectangle en Prectangle en Prectangle en P.

D’après le théorème de Pythagore, on a donc : AS² = AP² + PS²

10² = 5² + PS² (car AS = AT + TS = 7 + 3 = 10 cm) 100 = 25 + PS²

PS² = 100 – 25 = 75 PS =

PS = PS =

PS =



^{75 cm} cm (valeur exacte) ^{cm cm} PS

PS PS

PS ≈≈≈≈ 8,7 cm8,7 cm8,7 cm8,7 cm (valeur approchée)

O.2.2

Le triangle ADB est rectangle en D donc je peux utiliser le théorème de Pythagore : AB² = AD² + DB² AB² = 6² + 6² AB² = 36 + 36 = 72 AB =

AB = AB =

AB =



^{72 cm} cm cm cm valeur exacte

AB AB AB

AB ≈≈≈≈ 8,5 cm 8,5 cm 8,5 cm 8,5 cm valeur approchée

Le triangle JBC est rectangle en B donc je peux utiliser le théorème de Pythagore : JC² = JB² + BC² Comme J est le milieu de [DB], on a JB = DB ÷ 2 = 3 cm

10² = 3² + BC² 100 = 9 + BC² BC² = 100 – 9 = 91 BC =

BC = BC =

BC =



91 cm cm cm cm valeur exacte

BC BC BC

BC ≈≈≈≈ 9,5 cm 9,5 cm 9,5 cm 9,5 cm valeur approchée

– Page 18 – P

S T A

5 cm

3 cm 7 cm

A

B

C D

J

6 cm

10 cm

Savoir O.3 : Calculer une longueur à l'aide de Thalès – Niveau 1 O.3.1

Calcul de EF : EF = 6×7,3

15 = 2,92 cm valeur exacte

EF ≈ 2,9 cm valeur approchée

Les droites (FH) et (ED) sont sécantes en G et les droites (EF) et (HD) sont parallèles.

Je peux donc utiliser le théorème de Thalès, les côtés des triangles EFG et GDH ont des longueurs proportionnelles :

EG GF EF _{Ce qui}

donne

5,8 6 EF

GD GH DH GD 15 7,3

Calcul de GD : GD = 15×5,8

6 = 14,5 cm valeur exacte

O.3.2

Les droites (ST) et (UV) sont sécantes en R et les droites (US) et (VT) sont parallèles.

Je peux donc utiliser le théorème de Thalès, les côtés des triangles RSU et RTV ont des longueurs proportionnelles :

RS RU SU _{Ce qui}

donne

RS 2,5 4

RT RV TV 3 RV 5

Calcul de RS : RS = 3×4

5 = 2,4 cm valeur exacte

Calcul de RV : RV = 2,5×5

4 = 3,125 cm valeur exacte

RV ≈ 3,1 cm valeur approchée

Savoir O.4 : Calculer une longueur à l'aide de Thalès – Niveau 2 O.4.1

suite de la correction sur la page suivante

1)1)

1)1) les droites (EF) et (DD’) sont parallèles donc je peux donc utiliser le théorème de Thalès:

AF AD '=AE

AD= EF

DD ' d'où 1,06 AD '=AE

3 =1,59 3,18

comme DD'BC est un rectangle, on a DD'=BC

Calcul de AD' : AD' = 1,06×3,18

1,59 = 2,12 m Calcul de AE : AE = 3×1,59

3,18 = 1,5 m

– Page 19 – T

S

V U R

5 cm 4 cm

2,5 cm 3 cm

E

H

G D

F

5,8 cm 6 cm

15 cm

7,3 cm

D C

E

A F D' B

1,59 m 3,18 m

2,12 m

1,06 m 3 m

O - Déterminer une longueur ou un angle 2)2)

2)2) FB = FD' + D'B

comme DD'BC est un rectangle, on a D'B=DC et FD' = AD' – AF

FB = AD' – AF + DC FB = 2,12 – 1,06 + 2,12 FB = 3,18 m

O.4.2

Comme ACEF est un rectangle, on a:

AC = EF = 8 cm et CE = AF = 6 cm G est un point du segment [FC] situé à 2 cm de F

donc FG = 2 cm Calcul de BG:

Comme les droites (BG) et (AF) sont parallèles, je peux utiliser le théorème de Thalès:

CB CA=CG

CF=BG AF d'où CB

8 =10 – 2

10 =BG 6

car CG = FC – FG= 10 – 2 = 8

GB = 8×6

10 = 4,8 cm

Calcul de AB:

AB = AC – BC

Or, en utilisant les rapports écrits ci dessus, on a : BC = 8×8

10 = 6,4 cm Donc : AB = 8 – 6,4 = 1,6 cm

Savoir O.5 : Calculer une longueur à l'aide de la trigonométrie – Niveau 1 O.5.1

ABD est un triangle rectangle en D, donc je peux

utiliser les formules trigonométriques : Calcul de AB:

Sin(ABD) = AD AB

ce qui donne : Sin (35°) = 7 AB D'où : AB = 7

sin35 ° cm valeur exacte

AB ≈ 12,2 cm valeur approchée

Calcul de DB:

Tan(ABD ) = AD DB

ce qui donne : Tan (35°) = 7 DB D'où : DB = 7

tan35° cm valeur exacte

DB ≈ 10 cm valeur approchée

– Page 20 – A

E D B C

F

G 2 cm

10 cm

6 cm 6 cm

8 cm 8 cm

D A

B

7 cm 35°

Tan (3 5°) Sin ( 35°)

O.5.2

ACF est un triangle rectangle en A, donc je peux utiliser les formules trigonométriques :

Calcul de AC:

sinAFC=AC CF

ce qui donne : Sin(65°) = AC 10

D'où : AC = sin65×10 valeur exacte

AC ≈ 9,1 cm valeur approchée

Calcul de AF:

cosAFC=AF CF

ce qui donne : Cos(65°) = AF 10

D'où : AF = cos65×10 valeur exacte

AF ≈ 4,2 cm valeur approchée

Savoir O.6 : Calculer une longueur à l'aide de la trigonométrie – Niveau 2

O.6.1

ARP est un triangle rectangle en R, donc, donc je peux utiliser les formules trigonométriques : Tan ( P) = AR

RP ⇒ Tan (70°) = 8

RP ⇒ RP = 8

tan70° ≈ 2,9 cm Donc on obtient : MR = MP − RP =



^{13,5−tan870°}



^cm

MR ≈ 13,5 cm − 2,9 cm MR ≈ 10,6 cm

O.6.2

Calcul de UY :

AUY est un triangle rectangle en U, donc je peux utiliser les formules trigonométriques : Tan A = UY

AU ⇒ tan60°

1 =UY

5 ⇒ UY = 5 × Tan(60°)

UY ≈ 8,7 cm Calcul de LY :

Dans le triangle AUY, la somme des angles est égale à 180°, donc : Y = 180 − U − A = 180° − 90° − 60° = 30°

LKY est un triangle rectangle en K, donc je peux utiliser les formules trigonométriques : cos ( Y ) = YK

YL

⇒ cos30°

1 = 4

LY

⇒ LY = 4

cos30°cm LY ≈ 4,6 cm

– Page 21 –

C A

65°

10 cm

)° 56( s oC

Sin ( 65°)

F

O - Déterminer une longueur ou un angle

Savoir O.7 : Déterminer un angle à l'aide de la trigonométrie – Niveau 1

O.7.1

Comme le triangle RST est rectangle en T, je peux utiliser les formules trigonométriques.

Je connais la longueur du côté adjacent à l’angle

RST et celle de son côté opposé, donc je vais utiliser la tangente : tan (RST ) = RT

TS tan (RST ) = 6

10 J'en déduis : RST = tan^{- 1}



¹⁰⁶



^{≈ 31°}

Le triangle DEF n'est pas un triangle rectangle, je ne peux donc pas utiliser les formules de trigonométrie.

Dans le triangle GHI rectangle en I, je peux utiliser les formules trigonométriques.

Comme je connais la longueur de l’hypoténuse et celle du côté opposé à l’angle H , donc je vais utiliser le sinus : sin (H ) =  GI

GH sin (H ) =  7

12 J'en déduis : H = sin ^–1 7

12 ≈ 36°

O.7.2

Dans le triangle DEF rectangle en F, je peux utiliser les formules trigonométriques. Je connais la longueur de l’hypoténuse et celle du côté adjacent à l’angle D , donc je vais utiliser le cosinus :

cos (D ) = DF DE cos(D ) =  10

25

J'en déduis : D = cos ^–110

25 ≈ 66°

Dans le triangle ABC rectangle en B, je peux utiliser les formules trigonométriques. Je connais la longueur de l’hypoténuse et celle du côté opposé à l’angle C , donc je vais utiliser le sinus :

sin (C ) =  AB AC sin (C ) =  3

5 J'en déduis : C ≈ 37° Le triangle IGH n’est pas un triangle rectangle, je ne peux pas utiliser les formules trigonométriques, donc je ne peux pas calculer l'angle H . 

– Page 22 –

6 cm

Tan ( R ST)

R

T S

10 cm

H G

7 cm I Sin ( H )

12 cm

Sin ( BCA)

C

A B

5 cm

3 cm

Cos ( D ) D F

E

25 cm 10 cm

Savoir O.8 : Déterminer un angle à l'aide de la trigonométrie – Niveau 2 O.8.1

Comme le triangle IJM est rectangle en J, on a : sin (JIM ) = JM

IM = 3 6 = 0,5 On a donc : JIM = sin^{– 1} (0,5)

JIM ≈ 30°

Comme le triangle JKL est rectangle en L, on a : cos (JKL ) = LK JK = 12

13

On a donc : JKL = cos^{– 1}



¹²¹³



JKL ≈ 23°

Comme le triangle JML est rectangle en M, on a : tan (JLM ) = JM ML = 3

4 = 0,75 On a donc : JLM = tan^{– 1} (0,75)

JLM ^{≈ 37°}

O.8.2

M est le milieu de [DC] donc : DM = MC = DC ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 cm

Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu, donc : DO = DB ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 cm Comme le triangle MDO est rectangle, on a :

cos (CDO ) = DM

DO Þ cos (CDO ) = 4 5

On a donc : CDO = cos^{– 1}



⁴⁵



( valeur exacte )

CDO ≈ 37° ( valeur approchée au degré près ) Comme ABCD est un rectangle, alors le triangle DAC est rectangle et on a :

sin (DAC) = DC AC = 8

10

On a donc : DAC = sin^{– 1}



¹⁰⁸



DAC ≈ 53°

Comme le triangle MOC est rectangle, on a : tan (MOC ) = MC MO = 4

3

On a donc : MOC = tan^{– 1}



⁴³



MOC ≈ 53°

Savoir O.9 : Angles inscrits et angles au centre

O.9.1

Puisque les angles CAB et BOC interceptent le même arc de cercle, on peut utiliser le théorème de l’angle au centre : BOC = 2 × CAB = 46°

Puisque les angles EFD ^et DPE interceptent le même arc de cercle, on peut utiliser le théorème de l’angle au centre : EFD = 1

2 × DPE = 29°

– Page 23 –

O - Déterminer une longueur ou un angle

O.9.2

Puisque les angles RKL et LMR interceptent le même arc de cercle, on peut utiliser le théorème de l’angle au centre : RKL = 2 × LMR = 148°

Puisque les angles SLR et RKS interceptent le même arc de cercle, on peut utiliser le théorème de l’angle au centre : SLR = 1

2 × SLR = 23°

P - Caractériser un point

Q - Caractériser une droite ou un segment

Savoir Q.1 : Droites parallèles & Thalès – Niveau 1

Q.1.1

^a)a)a)a) [GM] et [HL] sont sécants en F et on a : D'une part : FL

FH=6,5 5 =1,3 D'autre part : FK

FG=2,6 2 =1,3

Donc les rapports FL

FH et FK

FG sont égaux. Et comme les points G, F et K sont alignés dans le même ordre que les points H, F, et L, alors d’après la réciproque du théorème de Thalès les droites (GH) et (ML) sont donc parallèles.

b) b) b)

b) [MR) et [OP) sont sécantes en N et on a : D'une part : NM

NR = 42

33,6=1,25 D'autre part : NO

NP=33,5 27 ≈1,24

Comme les rapports et ne sont pas égaux, la contraposée du théorème de Thalès nous permet de dire que les droites (RP) et (OM) ne sont donc pas parallèles.

Q.1.2

_a)a)a)a) On a d’une part : JI

JL=9 – 3 3 =6

3=2 Et d’autre part :JM JK=4

2=2 Donc les rapports JI

JL et JM

JK sont égaux. Et comme les points I, J et L sont alignés dans le même ordre que les points M, J, et K, alors la réciproque du théorème de Thalès nous permet de dire que les droites (IM) et (KL) sont parallèles.

b)b)b)

b) On a d’une part : SR SP= 6

14=3 7 Et d’autre part : SN

SO= 8 20=2

5 Comme les rapports SR

SP et SN

SO ne sont pas égaux, la contraposée du théorème de Thalès nous permet de dire que les droites (RN) et (PO) ne sont pas parallèles.

– Page 24 –

Savoir Q.2 : Droites parallèles & Thalès – Niveau 2 Q.2.1

On a d’une part : DB

DF= 8

3,5 ≈ 2,3 Et d’autre part : DA

DE=55 4 =10

4=2,5 Donc les rapports et ne sont pas égaux.

Variante 1 : Variante 1 :Variante 1 : Variante 1 :

Si les droites (AB) et (EF) étaient parallèles, alors on pourrait appliquer le théorème de Thalès et on devrait avoir : DB

DF=DA DE=AB

FE

Or ce n’est pas le cas, donc les droites (AB) et (EF) ne sont pas parallèles.

Variante 2 : Variante 2 : Variante 2 : Variante 2 :

Comme les rapports DB

DF et DA

DE ne sont pas égaux, la contraposée du théorème de Thalès nous permet de dire que les droites (AB) et (EF) ne sont pas parallèles.

Q.2.2

On a d’une part : CG

CF=15 – 5 15 =10

15=2

3 Et d’autre part CD CE=6

9=2 3 Donc, les rapports JI

JL et JM

JK sont égaux. Et comme les points C, G et F sont alignés dans le même ordre que les points C, D, et E, alors la réciproque du théorème de Thalès nous permet de dire que les droites (GD) et (EF) sont parallèles.

Savoir Q.3 : Droites parallèles & Savoirs de 6e, 5e et 4e Q.3.1

Les codages de la figures nous indique que l'on a : (AE) ⊥ (EC)

(BD) ⊥ (EC)

Les droites (AE) et (BD) sont parallèles car elles sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (EC).

Q.3.2

On a d'une part : AC² = 100

Et d'autre part : AE² + EC² = 36 + 64 = 100

Comme AC² = AE² + EC², la réciproque du théorème de Pythagore nous permet de dire que le triangle AEC est rectangle en E. Donc les droites (AE) et (EC) sont perpendiculaires.

Ainsi, les droites (AE) et (BD) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (EC).

Q.3.3

Le point B appartient au cercle

C

dont [AC] est l'un des diamètres, donc le triangle ABC est rectangle en B ce qui fait que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.

Ainsi, les droites (BC) et (DE) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (EB).

– Page 25 –

Q - Caractériser une droite ou un segment

Q.3.4

ABCD est un parallélogramme, donc on a : (AD) // (BC) De plus, I est le milieu de [CE] et de [BB'].

Or, un quadrilatère dont les diagonales se croisent en leur milieu est un parallélogramme.

Donc BEB'C est un parallélogramme et donc, (BC) // (EB') Ainsi, on a : (BC) // (EB')

(AD) // (BC)

Donc les droites (AD) et (B'E) sont parallèles car elles sont toutes les deux parallèles à la même droites (BC).

Q.3.5

ABCD est un quadrilatère dont les côtés opposés sont égaux deux à deux, c'est donc un parallélogramme.

Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles.

Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Q.3.6

ABCD est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu, c'est donc un parallélogramme.

Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles.

Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Q.3.7

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.

Donc, dans le triangle ABD, on a : B = 180° – 70° – 20° = 90°

On en conclut que le triangle ABD est rectangle et que les droites (AB) et (FD) sont perpendiculaires.

Donc les droites (EF) et (AB) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (FD).

R - Caractériser un polygone

Savoir R.1 : Avec la réciproque du théorème de Pythagore – Niveau 1 R.1.1

Dans le triangle BOT, le plus grand côté est [OT]. Je compare :

D’une part : OT² = 15² = 225225225225

D’autre part : OB² + BT² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225225225225

On a donc OT² = OB² + BT² OT² = OB² + BT² OT² = OB² + BT² OT² = OB² + BT² et la réciproque du théorème de Pythagore me permet de conclure que le triangle BOT est rectangle en B.

Dans le triangle PAF, le plus grand côté est [PF]. Je compare : D’une part : PF² = 7² = 49494949

D’autre part : PA² + AF² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29292929

On a donc PF² PF² PF² ≠ PA² + AF²PF² PA² + AF²PA² + AF²PA² + AF² et la contraposée du théorème de Pythagore me permet de conclure que le le triangle PAF n’est pas rectangle. le triangle PAF n’est pas rectangle. le triangle PAF n’est pas rectangle. le triangle PAF n’est pas rectangle.

– Page 26 –

R.1.2

Dans le triangle ABC, le plus grand coté est [AC]. Je compare : D’une part : AC² = 6² = 36363636

D’autre part : AB² + BC² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34343434

On a donc AC²AC²AC²AC²≠ AB² + BC²AB² + BC²AB² + BC²AB² + BC² et la contraposée du théorème de Pythagore me permet de conclure que le triangle ABC n’est pas rectangle.

Dans le triangle DEF, de plus grand côté [DE], je compare : D’une part : DE² = 13² = 169169169169

D’autre part : DF² + FE² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169169169169

On a donc DE² = DF² + FE²DE² = DF² + FE²DE² = DF² + FE² et la réciproque du théorème de Pythagore me permet deDE² = DF² + FE² conclure que le triangle DEF est rectangle en F. le triangle DEF est rectangle en F. le triangle DEF est rectangle en F. le triangle DEF est rectangle en F.

Savoir R.2 : Avec la réciproque du théorème de Pythagore – Niveau 2 R.2.1

^{a) a) a)} a) Dans le triangle PAT, de plus grand côté [PA], je compare :

D’une part : PA² = 7,8² = 60,8460,8460,8460,84

D’autre part : PT² + TA² = 3² + 7,2² = 9 + 51,84 = 60,8460,8460,8460,84 car TA = SA – ST = 10,8 – 3,6 = 7,2 cm

On a donc PA² = PT² + TA²PA² = PT² + TA²PA² = PT² + TA² et je peux utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pourPA² = PT² + TA² conclure que le triangle TAP est rectangle en T.

b) b) b)

b) Dans le triangle JGC, de plus grand côté [JG], je compare:

D’une part : JG² = 8² = 64646464

D’autre part : JC² + CG² = 4² + 7² = 16 + 49 = 65656565 car CG = CB + BG = 5 + 2 = 7 cm On a donc JG²JG²JG²JG² ≠≠≠≠ JC² + CG² JC² + CG² JC² + CG² JC² + CG² et la contraposée du théorème de Pythagore, me permet de conclure que le triangle JGC n’est pas rectanglele triangle JGC n’est pas rectanglele triangle JGC n’est pas rectanglele triangle JGC n’est pas rectangle

R.2.2

^a)a)a)a) Dans le triangle DEA, de plus grand côté [DE], je compare :

D’une part : DE² = 6,5² = 42,2542,2542,2542,25 car DE = BE – BD = 17 – 10,5 = 6,5 m D’autre part : DA² + AE² = 5,2² + 3,9² = 27,04 + 15,21 = 42,2542,2542,2542,25

On a donc: DE² = DA² + AE²DE² = DA² + AE²DE² = DA² + AE²DE² = DA² + AE² et la réciproque du théorème de Pythagore me permet de conclure que le triangle DAE est rectangle en ADAE est rectangle en ADAE est rectangle en ADAE est rectangle en A.

b)b)

b)b) [Pour appliquer Pythagore dans le triangle FGI, il manque la longueur GI. Mais on peut montrer que le triangle FGH est rectangle en F… et du coup FGI le sera aussi.]

Dans le triangle FGH, de plus grand côté [GH], je compare : D’une part : GH² = 10² = 100100100100

D’autre part : GF² + FH² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100100100100 car FH = FI – IH = 6 + 2 = 8 m On a donc : GH² = GF² + FH²GH² = GF² + FH²GH² = GF² + FH²GH² = GF² + FH² et la réciproque du théorème de Pythagore me permet de conclure que le triangle FGH est rectangle en F. Donc le triangle FGI est rectangle en F.le triangle FGH est rectangle en F. Donc le triangle FGI est rectangle en F.le triangle FGH est rectangle en F. Donc le triangle FGI est rectangle en F.le triangle FGH est rectangle en F. Donc le triangle FGI est rectangle en F.

– Page 27 –

R - Caractériser un polygone

Savoir R.3 : Triangles rectangles & Savoirs de 6e, 5e et 4e

R.3.1

D'après les codages de la figure, les quatre côtés du quadrilatère ABCD ont la même longueur, donc c'est un losange. Or, les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, donc le triangle ATB est un triangle rectangle.

R.3.2

Le point C appartient au cercle

C

dont un des diamètres est [AC], donc le triangle ABC est rectangle en B.

R.3.3

ACDE est un parallélogramme, donc ses angles opposés sont de même mesure : C =  E = 65°

Dans le triangle BCD, la somme des angles vaut 180°, donc on a : B = 180 −  D −  C B = 180 − 25 − 65 = 90° Le triangle BCD est donc un triangle rectangle.

R.3.4

Comme ABC est isocèle en B, alors AB = BC.

Comme A’ est le symétrique de A par rapport à B, alors AB = BA’.

Donc : BA = BC = BA’

Donc, les points A, C et A’ sont sur un même cercle de centre B (car ils sont tous à la même distance de B).

A, C et A’ sont sur un même cercle, et, comme B est le milieu de [AA’], [AA’] est donc un diamètre de ce cercle.

Or, si les trois sommets d’un triangle appartiennent à un même cercle et qu’un côté forme un diamètre, alors ce triangle est rectangle.

Donc ACA’ est un triangle rectangle en C.

R.3.5

A’ et B’ appartiennent au cercle de diamètre [AB], donc les triangles ABA’ et ABB’ sont des triangles rectangles respectivement en A' et B’.

Dans le triangle ABC, (AA’) et (BB’) sont deux hauteurs, se coupant en D.

Or, les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre.

Donc, D est l’orthocentre du triangle ABC.

Par conséquent, la droite (CD) (passant par D), est aussi une hauteur de ABC.

Comme le triangle ABC est isocèle en C, la hauteur issue de C est aussi une médiane.

Donc, (CD) passe par O, qui est le milieu de [AB].

Et donc, comme (CD) est aussi une hauteur de ABC, (DO) est perpendiculaire à (AB) et le triangle BDO est un triangle rectangle en O.

S - Transformations

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T - Proportionnalité & Pourcentage

Savoir T.1 : Calcul d’un pourcentage de tête

T.1.1

50% de 80 :50% de 80 :50% de 80 :50% de 80 : 50 c'est la moitié de 100, donc il suffit de prendre la moitié de 80, c'est à dire 40.

25% de 240 : 25% de 240 : 25% de 240 :

25% de 240 : 25 est le quart de 100, donc il suffit de prendre le quart de 240, c'est à dire 60.

30% de 200 : 30% de 200 : 30% de 200 :

30% de 200 : pour 100, on obtient 30, donc pour 200, on obtient deux fois plus, c'est à dire 60.

6% de 300 : 6% de 300 : 6% de 300 :

6% de 300 : pour 100 on obtient 6, donc pour 300 on obtient trois fois plus, c'est à dire 18.

T.1.2

75% de 60 :75% de 60 :75% de 60 :75% de 60 : au choix...

● 75 c'est la moitié de 100 à laquelle j'ajoute le quart de 100, donc il suffit de prendre la moitié de 60, c'est à dire 30, et d'y ajouter le quart de 60, c'est à dire 15. Cela donne 45.

● 75 c'est les trois quarts de 100 et il est bien connu que trois quart d'heure (donc de 60 minutes) font 45 minutes.

● 75 c'est 100 auquel j'enlève un quart de 100, donc il suffit d'enlever un quart de 60, c'est à dire 15, à 60. Cela donne aussi 45.

50% de 86 : 50% de 86 : 50% de 86 :

50% de 86 : 50 la moitié de 100, donc il suffit de prendre la moitié de 86, c'est à dire 43.

42% de 50 : 42% de 50 : 42% de 50 :

42% de 50 : pour 100, on obtient 42, donc pour 50, on obtient deux fois moins, c'est à dire 21.

13% de 400 : 13% de 400 : 13% de 400 :

13% de 400 : pour 100 on obtient 13, donc pour 400 on obtient quatre fois plus, c'est à dire 52.

Savoir T.2 : Appliquer un taux de pourcentage

T.2.1

_a)a)a)a) Pour calculer 73% de 45, je dois faire le calcul 45× 73

100 qui donne 32,85.

b) b)

b)b) Il faut calculer 95% de 280 : 280× 95

100 = 266

Donc 266 élèves pensent qu’il faut travailler régulièrement pour progresser.

T.2.2

_a)a) Pour calculer 14% de 1 500, je dois faire le calcul 1 500×_a)a) 14

100 qui donne 210.

[C'est faisable mentalement : 14 % de 1 000 = 140, 14% de 500 = 70 d'où 14% de 1500 = 210]

b)b)b)

b) Il faut calculer 20% de 11 375 : 11 375× 20

100 = 2 275

Mme Hémoi a obtenu 2 275 voix sur les 11 375 suffrages exprimés.

Savoir T.3 : Calculer un pourcentage

T.3.1

^{1) a)1) a)1) a)}1) a) La proportion 3 pour 10 correspond à la proportion 30 pour 100, c'est à dire à 30%.

1) 1) 1)

1) b)b)b)b) La proportion de 4 pour 5 correspond à la proportion 4×20 pour 5×20, c'est à dire 80%.

2) 2) 2)

2) Nous sommes dans une situation de proportionnalité : Nombre d'élèves qui font leurs

devoirs au dernier moment 90 P

P = 90×100 600 = 15

Nombre total d'élèves 600 100

Donc 15% des élèves font leurs devoirs au dernier moment.

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T - Proportionnalité & Pourcentage

T.3.2

^{1) a)1) a)1) a)}1) a) La proportion de 15 pour 20 correspond à la proportion 15×5 pour 20×5, c'est à dire à 75%.

1) 1) 1)

1) b)b)b)b) La proportion de 5 pour 25 correspond à la proportion 5×4 pour 25×4, c'est à dire à 20%.

2) 2) 2)

2) Nous sommes dans une situation de proportionnalité :

Votes pour M. Khan Didat 1820 P

P = 1 820×100 11 375 = 16

Suffrages exprimés 11375 100

Donc M. Khan Didat a obtenu 16% des suffrages exprimés.

Savoir T.4 : Comparaison de pourcentages

T.4.1 Problème A

Nous sommes dans une situation de proportionnalité :

Votes pour M. Arthur 6 P

P = 6×100 25 = 24

Total des voix 25 100

Donc Arthur a obtenu 24% des voix.

Votes pour M. Arthur 2 P 5 × 20 = 100

donc P = 2 × 20 = 40

Total des voix 5 100

Donc Guenièvre a obtenu 40% des voix.

Lancelot ayant obtenu 36% des voix, c'est Guenièvre qui a été élue déléguée.

Problème B

Je dois calculer ce que représente 30% des élèves 120 élèves de 5^e : 120× 30 100 = 36 Je dois calculer ce que représente 25% des élèves 144 élèves de 4^e : 144× 25

100 = 36 Il y a donc autant d'élèves de 5^e que de 4^e qui participent aux clubs du foyer socio éducatif.

T.4.2 Problème A

Nous sommes dans une situation de proportionnalité :

Savoirs réussis par Xavier 15 P

P = 15×100 20 = 75

Nombre de Savoirs 20 100

Donc Xavier à 75% de réussite.

Savoirs réussis par Marion 4 P 5 × 20 = 100

donc P = 4 × 20 = 80

Nombre de Savoirs 5 100

Donc Marion a 80% de réussite.

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Sébastien ayant 60% de réussite, c'est Marion qui a le mieux réussi.

Problème B

Je dois calculer ce que représente 25% de 52 € : 52× 25

100 = 13€

Je dois calculer ce que représente 30% de 65€ : 65× 30

100 = 19€50

La remise la plus grande est donc pour l'article de 65€.

52€ – 13€ = 39€

65€ – 19€50 = 45€50 L'article le moins cher sera celui qui était à 52€ au départ.

Savoir T.5 : Augmenter et diminuer une grandeur d’un pourcentage donné T.5.1

Je dois calculer ce que représente 20% de 260 élèves : 260× 20

100 = 52.

L'effectif pour les garçons a augmenté de 52 élèves, donc il y a 312 garçons inscrits au collège cette année.

Je dois calculer ce que représente 10% de 320 élèves : 320× 10

100 = 32.

L'effectif pour les filles a diminué de 32 élèves, donc il y a 288 filles inscrites au collège cette année.

T.5.2

Je dois calculer ce que représente 30% de 80 joueurs : 80× 30

100 = 24.

L'effectif pour les garçons a augmenté de 24 joueurs, donc il y a 104 garçons inscrits à ce club cette année.

Je dois calculer ce que représente 15% de 120 joueuses : 120× 15

100 = 18.

L'effectif pour les filles a diminué de 18 joueuses, donc il y a 102 filles inscrites à ce club de cette année.

Savoir T.6 : « Somme de pourcentage »

T.6.1

Je dois calculer ce que représente 15% de 20 élèves : 20× 15 100 = 3.

Je dois calculer ce que représente 40% de 30 élèves : 30× 40

100 = 12.

Il y a donc 3 élèves qui n'arrivent pas à faire des calculs avec des fractions dans la classe de Mme Cabrol et 12 élèves dans la classe de M. Gasc.

Donc dans le car, il y a 15 élèves qui n'arrivent pas à faire des calculs avec des fractions pour 50 élèves en tout. Cela veut dire qu'il y a 30% des élèves du car qui ne savent pas bien utiliser les fractions.

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T - Proportionnalité & Pourcentage

T.6.2

L'énoncé de ce problème était faux. Il aurait fallu préciser que l'on voulait le pourcentage par rapport aux élèves qui sont passé en seconde. La réponse serait alors :

Je dois calculer ce que représente 80% des 80 filles : 80× 80

100 = 64.

Je dois calculer ce que représente 60% des 40 garçons : 40× 60

100 = 24.

Donc sur les 120 élèves qui sont passés en seconde, il y a eu 88 élèves qui ont obtenu leur premier choix. Cela donne une proportion de 88 sur 120, c'est à dire environ 73%.

Savoir T.7 : Deux variations successives

T.7.1

Augmenter une valeur de 4% revient à la multiplier par 1 + 4

100 , c'est à dire 1,04.

Si cette nouvelles valeur est encore augmentée de 3%, il faut la multiplier par 1,03.

Donc au final, la valeur de départ aura été multipliée par 1,04×1,03, c'est à dire 1,0712.

Je peux en déduire que l'augmentation de loyer en deux ans aura été de 7,12%.

T.7.2

Augmenter une valeur de 12% revient à la multiplier par 1 + 12

100 , c'est à dire 1,12.

Si cette nouvelles valeur est diminuer de 12%, il faut la multiplier par 1 – 12

100 , c'est à dire 0,88.

Donc au final, la valeur de départ aura été multipliée par 1,12×0,88, c'est à dire 0,9856.

1 – 0,9856 = 0,0144 Donc les salaires auront diminué en deux ans de 1,44%.

Les employés qui savent utiliser les pourcentages ne sont pas content car ils savent qu'une augmentation de 12% ne compense pas une baisse de 12% car on ne revient pas au salaire de départ.

Savoir T.8 : Retrouver la valeur d’une grandeur avant une variation T.8.1

Augmenter une valeur de 25% revient à la multiplier par 1 + 25

100 , c'est à dire 1,25.

Comme en multipliant le nombre d'inscrits de l'année dernière par 1,25 on doit trouver 975, il suffit de diviser 975 par 1,25 pour retrouver ce nombre d'inscrits.

Il y en avait 720 élèves inscrits à ce lycée l’année dernière.

T.8.2

Diminuer une valeur 6,5% revient à la multiplier par 1 – 6,5

100 , c'est à dire 0,935.

Comme en multipliant le prix de la maison de l'année dernière par 0,935 on doit trouver 168 300 euros, il suffit de diviser 168 300 par 0,935 pour retrouver le prix de l'année dernière.

Cette maison coûtait 180 000 euros l'année dernière.

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