Chapitre 7 Fonctions hyperboliques Leçon 20 Courbe représentative et propriétés

7. FONCTION HYPERBOLIQUE-L3 | 172

Chapitre 7 Fonctions hyperboliques

Leçon 20 Courbe représentative et propriétés

1. Fonction hyperbolique

1) Définition

Une fonction sinus hyperbolique sur R est notée sinhx, c’est une fonction qui peut s’écrire sous forme

sinh 2

x

x e

x e

− −

= .

2) Courbe représentative

3)

Propriété

-

^f

( )

^x =^sinhxest une fonction impaire :

( )

sinh

2

sinh − = e^−x2−e^x =−e^x−e^−x =− x

-

L’ensemble de définition D_f =

-

L’ensemble de valeurs _f =

2. Fonction hyperbolique 1) Définition

Une fonction cosinus hyperbolique sur R est notée coshx, c’est une fonction qui peut s’écrire sous forme

cosh 2

x

x e

x e + −

= .

y

x

4

2

-2

-4

-5 5

sinh

y= x

0

7. FONCTION HYPERBOLIQUE-L3 | 173

2) Courbe représentative

3) Propriété

-

f

( )

x =sinhxest une fonction paire :

( )

cosh

2 cosh− = e^−x2+e^x =−e^x+e^−x =

x

-

L’ensemble de définition D_f =

-

L’ensemble de valeurs _f =



1;+



3. Fonction tangente hyperbolique 1) Définition

Une fonction tangente hyperbolique sur R est notéetanhx, c’est une fonction

qui peut s’écrire sous forme _{x x}

x x

e e

e e x

x x ₋

−

+

= −

= cosh

tanh sinh .

2) Courbe représentative

4

2

-2

-4

-5 5

cosh

y= x

0

x y

1

x

4

2

-2

-4

-5 0 5

tanh

y= x

y

7. FONCTION HYPERBOLIQUE-L3 | 174

3) Propriété

-

f

( )

x =tanhxest une fonction impaire :

( )

x

e e

e e e e

e

x e _{x x}

x x x x

x x

tanh

tanh =−

+

− − + =

= −

− ₋^{− −}₋

-

L’ensemble de définition D_f =

-

L’ensemble de valeurs ^f ⁼



^1;+



4. Fonction cotangente hyperbolique 1) Définition

Une fonction cotangente hyperbolique sur R est notée cothx, c’est une fonction qui peut s’écrire sous forme _x^x _x^x

e e

e e x

x x ₋

−

−

= +

= sinh

coth cosh .

2) Courbe représentative

3) Propriété

-

^f

( )

^x =^cothxest une fonction impaire :

( )

x

e e

e e e e

e

x e _{x x}

x x x x

x x

coth

coth =−

−

− +

− =

= +

− ⁻_{− −}⁻

-

L’ensemble de définition Df ^=−

 

⁰

-

L’ensemble de valeurs _f =−

 

0

4

2

-2

-4

-5 5

coth

y= x

coth

y= x

0 y

x

7. FONCTION HYPERBOLIQUE-L3 | 175

5. Formules fondamentales

1. cosh² x−sinh² x=1 avec coshx1 2. cosh2x=cosh²x+sinh²x

3. sinh2x=2sinhxcoshx

4. sinh

(

x+y

)

=sinhxcoshy+coshxsinhy

5. sinh

(

x+y

)

=sinhxcoshy−coshxsinhy

6. cosh

(

x+y

)

=coshxcoshy+sinhxsinhy

7. ^cosh

(

^x−^y

)

=^coshxcoshy−^sinhxsinhy

8.

( )

y x

y y x

x 1 tanh tanh tanh tanh tanh

+

= + +

9.

( )

y x

y y x

x 1 tanh tanh tanh tanh tanh

−

= −

−

10.

( )

y x

y y x

x coth coth

coth coth coth 1

+

= + +

11.

( )

y x

y y x

x coth coth

coth coth coth 1

−

= −

−

12. ^{x y}=



sin

(

^x+^y

)

+sin

(

^x−^y

) 

2 cosh 1 sinh

13. ^{x y}=



cos

(

^x+^y

)

−cos

(

^x−^y

) 

2 sinh 1 sinh

14. x y=



cos

(

x+y

)

+cos

(

x−y

) 

2 cosh 1 cosh

Exemple 1 : Étant donnée

15

sinhx= 8 . Calculer coshx,tanhx et cothx. Solution

. D’après cosh²x−sinh²x=1

On a :

15 cosh 17 225

289 225 1 64 15

1 8 sinh 1 cosh

2 2

2  = + =  =



 

 +

= +

= x x

x

. 17

8 17 15 15

8 cosh

tanh = sinh =  = x

x x

. 8

17 sinh coth =coth =

x x x

Exemple 2 : Résoudre l’équation 5coshx+3sinhx=4. Solution

4 sinh 3 cosh

5 x+ x=

2 4 2 3

5 =

 



 −

+



 



e^x+e^−x e^x e^−x

8 3

3 5

5 + + − =

 e^x e^−x e^x e^−x 4

4 8 2

8e^x + e^−x =  e^x+e^−x =

7. FONCTION HYPERBOLIQUE-L3 | 176 0

1 4 4 1 4

4 ^x+ _x =  e^2x− e^x+ =

e e

( )

2 0 1

1

2 − ² =  =

 e^x e^x

2 ln 2 ln 1 2 ln

ln1= − =−

= x

Exemple 3 : Résoudre l’équation 2cosh2x+10sinh2x=5. Solution

5 2 sinh 10 2 cosh

2 x+ x=

2 5 2 10

2

2 2 2

2

=



 



 −

+



 



e ^x+e^{− x} e ^x e^{− x}

5 5

5 ^{2 2}

2

2 + + − =

e ^x e^{− x} e ^x e^{− x} 4 5

6 5 4

6 ^2x− ^−2x =  ^x− _2x = e e

e e

( )( )









−

=

=



= +

−



=

−

−

pas convient

2 ne 1 3 4 0

1 2 4 3 0 4 5 6

2 2 2

2 2

4

x x x

x x

x

e e e

e e

e

3 ln4 2 1 3 ln4 3 2

2 =4 x= =

e ^x

Exercices

1. Étant donnée

12

sinhx= 5 . Calculer coshx,tanhx et cothx.

2. Étant donnée

4

coshx= 5. Calculer sinh2x et cosh2x.

3. Résoudre les équations suivantes :

a. 4coshx+sinhx=4 b. 3sinhx−coshx=1

c. x x

cosh 1 1 tanh

4 = +

d. 4cosh2x−2sinhx=7 e. 3cosh2x+5coshx=22

7. FONCTION HYPERBOLIQUE-L3 | 177

Leçon 21 Limite et dérivée d’une fonction hyperbolique

1. Limite

Exemple 1 : Calculer

x x

x sinh2

lim tanh

→0

x x

x x x

x

x

x 2sinh cosh

cosh sinh 2 lim

sinh lim tanh

0

0 →

→ =

2 1 1 . 2

1 cosh

2 lim 1 cosh

sinh 2

lim sinh ₂

2 0

0 = = =

→

→ x x x

x

x x

Exemple 2 : Calculer

1 cosh sinh

2 2 sinh lim sinh

2

0 − + −

→ x x x

x

x

1 cosh sinh

2 cosh sinh 2

1 lim cosh

1 cosh sinh

2 2 sinh lim sinh

2 0

2

0 − + −

= −

− +

− ^→

→ x x x x

x x

x x

x

x x

( )( )

( ) ( )( )

(

^{coshcosh 11}

)(

^{2coshsinh 11}

)

1 lim cosh 1

cosh sinh

2

1 cosh 1 lim cosh

0

0 − +

+

= −

− +

−

+

−

→

→ x x

x x

x x

x

x x

x x

1 2 0

1 1 1 sinh 2

1 lim cosh

0 =

+

= + + +

→ x

x

x

2. Dérivée

1.

(

^sinhx

)

^'=coshx 2.

(

coshx

)

'=sinhx

3.

( )

x ₂x

cosh ' 1 tanh =

4.

( )

x ₂x

sinh ' 1

coth =−

Généralement

Soit u, une fonction de variable x, on a : 1.

(

^sinhu

)

^'=^u'coshu

2.

(

coshu

)

'=u'sinhu

3.

( )

u

u u ₂

cosh ' '

tanh =

4.

( )

u

u u₂

sinh ' '

coth =−

Exemple 1 : Calculer la dérivée a. ^f

( )

^{x =sinh3x−cosh2x}

( ) ( )

3 'cosh3 2cosh

(

cosh

)

'

' x x x x x

f = −

( )

x x x x

f' =3cosh3 −2cosh sinh

7. FONCTION HYPERBOLIQUE-L3 | 178

( )

x x x

f' =3cosh3 −sinh2

b. ^f

( )

^{x =tanh}

(

^x2+1

)

( ) ( )

(

¹

)

^cosh2

(

¹

)

cosh

' ₂ 1_{2 2 2}

2

= + +

= +

x x x

x x f

c. ^f

( )

^{x =sinh32x}

( )

3sinh 2

(

sinh2

)

'

' x ² x x

f =

( )

x x

(

x

)

f' =3sinh²2 2cosh2

( )

x x x

f' =6sinh²2 cosh2

Exemple 2 : Calculer la dérivée a. f

( )

x =sinh²xtanhx

( ) (

^sinh

)

^{'tanh sinh}

(

^tanh

)

^'

' x ²x x ²x x

f = +

( )

x x

x x x x x

f ² ₂

cosh sinh 1

cosh cosh sinh sinh 2

' = +

( )

x x x

f' =2sinh² +tanh²

b. ^f

( )

^{x =xcosh}

(

^x2+1

)

( ) ( )

^'cosh

(

¹

) 

^cosh

(

¹

) 

^'

' x = x x²+ +x x²+ f

( )

^cosh

(

¹

) (

¹

) (

^{'sinh 1}

)

' x = x²+ +x x²+ x²+ f

( )

^cosh

(

¹

)

^{2 sinh}

(

¹

)

' x = x²+ + x² x²+ f

c.

( )

x x x

f 1 sinh cosh 1

−

= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

^{1 sinh1}

)

^{2sinh '1 cosh}

sinh 1 ' cosh ' 1

x

x x

x x x

f −

+

−

−

−

= +

( ) ( ) ( )

(

1 sinh

)

²

cosh 1 cosh sinh

1 ' sinh

x

x x

x x x

f −

+ +

= −

( ) ( )

²

2 2

sinh 1

cosh cosh

sinh ' sinh

x

x x

x x x

f −

+ +

= −

( )

^sinh

(

^{1 sinhcosh}

)

^{2 1}

' x

x x x

f −

+

= +

7. FONCTION HYPERBOLIQUE-L3 | 179

Exercices

1. Calculer la limite de chacune des fonctions suivantes.

a. cosh 1

lim sinh

2

0 −

→ x

x

x

b. x

x

x sinh

1 2 limcosh

0

−

→

c. x

x x

x 0 sinh2

cosh 3

limcosh −

→

d. x

x x

x sinh2

sinh 2

limsinh

0

+

→

e. x x

x x

x cosh cosh

sinh 2 2 limsinh ₂

0 −

−

→

2. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

a. f

( )

x =cosh3x

b. ^f

( )

^{x =sinh2x+xcosh2x}

c. ^f

( )

^{x =tanhx}

(

^{x2 +1}

)

d.

( )

x x x

f 1 tanh 2 sinh

= +

e. f

( )

x =ln

(

sinh2x

)

7. FONCTION HYPERBOLIQUE-L3 | 180

Leçon 22 Intégration d’une fonction hyperbolique

Calcul intégral

1.



^sinhxdx=^coshx+^{c, c}

2.



^coshxdx=^sinhx+^{c, c}

3.



_cosh¹²_x^dx=^tanhx+^{c, c}

4.



_sinh¹²_x^dx=−^cothx+^{c, c}

Exemple 1 : Calculer l’intégrale

a.



^sinh3xdx=



₃^3sinh3xdx=₃¹



^sinh3xd

( )

^3x =₃^1cosh3x+^{c, c} ^f

^{( )}

^{x =sinh2xtanhx}

b.



^cosh2xdx=



^cosh₂^2x−^1dx=₂¹

 (

^cosh2x−¹

)

^dx=¹₄^sinh2x−₂^1x+^{c, c}

c.



^tanhxdx=



_cosh^sinhx_x^dx=



^d

(

_cosh^cosh_x^x

)

=^ln

(

^coshx

)

+^{c, c}

Exemple 2 : Calculer l’intégrale a.



^{sinh3xcosh2xdx}

D’après la formule ^{x y=}



^sinh

(

^x+y

)

^+sinh

(

^x−y

) 

2 cosh 1 sinh

On a : ^{x x}



^sinh

(

^{3x 2x}

)

^sinh

(

^{3x 2x}

) 

2 2 1 cosh 3

sinh = + + −

^{x x}

(

^{sinh5x sinhx}

)

2 2 1 cosh 3

sinh = +

Donc



^{sinh3xcosh2xdx=1}₂

 (

^sinh5x+sinhx

)

^dx



^{sinh3xcosh2xdx=}₂¹



^sinh5xdx+1₂



^sinhxdx



^{sinh3xcosh2xdx}= ₂¹₅^1cosh5x+₂^1coshx+^{c, c}



^{sinh3xcosh2xdx}=₁₀^{1 cosh5x}+¹₂^coshx+^{c, c}

b. dx

x dx x

x x x xdx

x

 



^{= =} _cosh^sinh2

sinh cosh cosh

1 coth

cosh 1

Posons t=coshxdt=sinhxdx et

x dx dt

=sinh

7. FONCTION HYPERBOLIQUE-L3 | 181

Donc

x dt t

dx x x dx x

x

x sinh

sinh cosh

sinh coth

cosh 1

2

2 = 

=

 





 +

−

= +

−

==

=





_coshx¹_cothx^dx _t^{dt2 1}_t ^c _cosh¹ _x ^{c, c}

Exemple 3 : Calculer l’intégrale

a. cosh sinh ¹₀ sinh1 sinh0 sinh1

1

0

=

−

=



^xdx= ^x

b.

( )

^{sinh 1}

3 sinh 1

3 sinh 1 sinh

cosh

sinh ^{1 3}

0 3 1

0 2 1

0

2 =



= =



^{x xdx xd x x}

Exercices

1. Calculer l’intégrale suivante.

a. xdx



^cosh₂

b.



^sinh2 xdx

c.



e^xcoshxdx

d.



^cosh2x^sinh3xdx

e.



^sinh4 xdx

2. Calculer l’intégrale suivante.

a.

_

^x2cosh

(

^{x3 +1}

)

^dx

b.



^cosh3x^sinhxdx

c.



^cosh2x^sinh2 xdx

d.



^cosh2x^sinh3xdx

e.



x^2cosh2xdx