Chapitre 4 Fonctions exponentielles Leçon 15 Fonction exponentielle

Chapitre 4 Fonctions exponentielles

Leçon 15 Fonction exponentielle

) 1 et 0 ( , )

(x =a a a

f ^x

1. Définition

1) Fonctions puissances

Une fonction puissance est une foncion définie sur



0 , +



par f_(x)=x^

.

.  0, f_(x)=x^ est croissante, .  0, f_(x)=x^ est décroissante.

Exemples : f x( )=x², g x( )=x³,

1

( ) 2

h x =x . 2) Fonctions exponentielles

On appelle fonction exponentielle, l’unique fonction f dérivable sur , telle que f'= f f(0)=1. On note provisoirement f(x)=exp(x).

2. Fonctions exponentielles de base a.

Nous étudions dans cette rubrique des fonctions du type

) 1 0

( , )

(x =a a et a

f ^x , dite « fonction exponentielle de base a », qui généralisent celle de base e: f(x)=e^x tout en bénéficiant des mêmes propriétés algébriques.

Exemples : f x( )=2^x, f x( )=3^x, ( ) ¹

2

x

f x  

=    , ( ) ¹ 3

x

f x  

=    Propriété

La fonction exponentielle f(x)=a^x ,(a0)

1) est définie sur ^=



^−,+



et qui prend ses valeurs dans l’intervalle



0 , +



.

2) prend ses valeurs dans l’intervalle



0 , +



. 3) . Si a1, alors f(x)=a^x est croissante,

. Si 0a1, alors f(x)=a^x est décroissante, . Si a=1, alors f_(x)=x^ =1 est constante.

4) La courbe représentative de la fonction f(x)=a^x ,(a0 et a1) coupe l’axe des ordonnées ( )Oy en ( )0,1 .

5) La courbe représentative de la fonction f(x)=a^x ,(a0 et a1) ne coupe pas l’axe des abscisses ( )Ox .

Exemples : Soit les fonctions : f x( )=2^x, ( ) ^{1 1} 4

x

g x

 −

=    et h x( )= −3^x. Calculer : ³

2

)

a f  

  , b) f( 3)− , c) g(3) et d) h(2). Solution

3

3 2 3

2

) 2 2 2 2

a f   = =   =

3 3

1 1

) ( 3) 2 2 8

b f − = ⁻ = =

1 3 2

1 1 2

) (3) 4 16

4 4

c g

− −

   

=  =  = =

    ) (2) 32 9 d h = − = − . 3. Représentation graphique

Exemple 1 : Représenter graphique des fonctions f x( )=2^x et ( ) ¹ 2

x

g x  

=  

  . . f x( )=2^x est croissante sur ,

. ( ) ¹ 2

x

g x  

=    est décroissante sur .

x −3 −2 −1 0 1 2 3

x x

f( )=2 ¹ 8

1 4

1 2

1 2 4 8

x

x

g 



 



= 2 ) 1

( ^{8 4 2 1}

1 2

1 4

1 8

Avec f x( )=2^x et ( ) ¹ 2

x

g x  

=  

  , nous avons f(−x)=g(x) et évidemment

) ( ) ( x f x

g − = .

Les courbes représentatives de f x( )=2^x et ( ) ¹ 2

x

g x  

=    sont symétriques par rapport à l’axe ( )Oy .

Exemple 2 : Représenter graphique des fonctions f x( )=3^x et ( ) ¹ 3

x

g x  

=    . . f x( )=3^x est croissante,

. ( ) ¹ 3

x

g x  

=    est décroissante.

x −3 −2 −1 0 1 2 3

( ) 3^x f x =

27

1 1

9

1 3

1 3 9 27

( ) 1 3

x

g x  

=   

27 9 3 1 1

3

1 9

1 27

Avec ^{f x( )}=^3x et ( ) ¹ 3

x

g x  

=    , nous avons f(−x)=g(x) et évidemment

) ( ) ( x f x

g − = .

Les courbes représentatives de f x( )=3^x et ( ) ¹ 3

x

g x  

=  

  sont symétriques par rapport à l’axe ( )^Oy .

Exemple 3 : Représenter graphique des fonctions f

( )

x =2^x et f x( )=2^x+1. Solution

Dans un repère orthonormé

(

^{O;i, j}

)

^,

- on trace la courbe représentative de f

( )

x =2^x,

- on glisse horizontal vers la droite d’une unité la courbe de f

( )

x =2^x, on obtient la courbe représentative de f x( )=2^x+1.

Exemple 4 : Représenter graphique des fonctions f

( )

x =2^x et f x( )=2^x−1. Solution

Dans un repère orthonormé

(

^{O;i, j}

)

^,

- on trace la courbe représentative de f

( )

x =2^x,

- on glisse horizontal vers la gauche d’une unité la courbe de f

( )

x =2^x, on obtient la courbe représentative de f x( )=2^x−1.

Exemple 5 : Représenter graphique des fonctions f

( )

x =2^x et f x( )=2^x+1 . Solution

Dans un repère orthonormé

(

^{O;i, j}

)

^,

- on trace la courbe représentative de f

( )

x =2^x,

- on glisse vertical vers le haut d’une unité la courbe de f

( )

x =2^x, on obtient la courbe représentative de f x( )=2^x+1.

Exemple 6 : Représenter graphique des fonctions f

( )

x =^2x−1 et

1 1

( ) 2

x

f x

  −

=  

  . Solution

Dans un même repère orthonormé

(

^{O;i, j}

)

^,

- on trace la courbe représentative de ^f

( )

^{x =2x−1},

- on trace la courbe symétrique de celle de ^f

( )

^{x =2x−1} par rapport à l’axe

=1 x

on obtient la courbe représentative de ^f

( )

^{x =2x−1}. .

Exemple 7 : Représenter graphique des fonctions ^f

( )

^{x =2x+1} et

1 1

( ) 2

x

f x

  +

=    . Solution

Dans un même repère orthonormé

(

^{O;i, j}

)

^,

- on trace la courbe représentative de ^f

( )

^{x =2x+1,}

- par rapport à l’axe x=−1, on trace la courbe symétrique de celle de

( )

^{x =2x+1}

f , on obtient la courbe représentative de

1 1

( ) 2

x

f x

  +

=    .

Exercices

1. Soit une fonction définie par f x( )=4^x. Calculer :

) (2)

a f , b) f( 1)− , ) ¹ c f  2

  , ) ³ d f −2

 . 2. Soit une fonction définie par

1 1

( ) 3

x

g x

  +

=    . Calculer :

) ( 2)

a g − , b) g(1), c) g(0), d) g( 3)− . 3. Soit une fonction définie par h x( )= −2^x. Calculer :

) (0)

a h , b) h(3), c) h( 2)− , d) h( 4)− . 4. Compléter les tableaux suivants.

x −3 −2 −1 0 1 2 3

( ) 4^x f x =

x −3 −2 −1 0 1 2 3

( ) 5^x f x =

x −3 −2 −1 0 1 2 3

( ) 1 5

x

f x  

=   

x −3 −2 −1 0 1 2 3

2 1

( ) 3 ^x f x = ⁺

x −3 −2 −1 0 1 2 3

( ) 2^x f x = −

5. Dans unrepère orthonormé

(

^{O;i, j}

)

, tracer la courbe représentative des fonctions :

) ( ) 5^x

a f x = , b) g x( )=4^2x, ) ( ) ¹ 4

x

c h x  

=    , ) ( ) ^{1 2} 3

x

d g x  

=    .