Chapitre 4 Fonctions exponentielles
Leçon 15 Fonction exponentielle
) 1 et 0 ( , )
(x =a a a
f x
1. Définition
1) Fonctions puissances
Une fonction puissance est une foncion définie sur
0 , +
par f(x)=x.
. 0, f(x)=x est croissante, . 0, f(x)=x est décroissante.
Exemples : f x( )=x2, g x( )=x3,
1
( ) 2
h x =x . 2) Fonctions exponentielles
On appelle fonction exponentielle, l’unique fonction f dérivable sur , telle que f'= f f(0)=1. On note provisoirement f(x)=exp(x).
2. Fonctions exponentielles de base a.
Nous étudions dans cette rubrique des fonctions du type
) 1 0
( , )
(x =a a et a
f x , dite « fonction exponentielle de base a », qui généralisent celle de base e: f(x)=ex tout en bénéficiant des mêmes propriétés algébriques.
Exemples : f x( )=2x, f x( )=3x, ( ) 1
2
x
f x
= , ( ) 1 3
x
f x
= Propriété
La fonction exponentielle f(x)=ax ,(a0)
1) est définie sur =
−,+
et qui prend ses valeurs dans l’intervalle
0 , +
.2) prend ses valeurs dans l’intervalle
0 , +
. 3) . Si a1, alors f(x)=ax est croissante,. Si 0a1, alors f(x)=ax est décroissante, . Si a=1, alors f(x)=x =1 est constante.
4) La courbe représentative de la fonction f(x)=ax ,(a0 et a1) coupe l’axe des ordonnées ( )Oy en ( )0,1 .
5) La courbe représentative de la fonction f(x)=ax ,(a0 et a1) ne coupe pas l’axe des abscisses ( )Ox .
Exemples : Soit les fonctions : f x( )=2x, ( ) 1 1 4
x
g x
−
= et h x( )= −3x. Calculer : 3
2
)
a f
, b) f( 3)− , c) g(3) et d) h(2). Solution
3
3 2 3
2
) 2 2 2 2
a f = = =
3 3
1 1
) ( 3) 2 2 8
b f − = − = =
1 3 2
1 1 2
) (3) 4 16
4 4
c g
− −
= = = =
) (2) 32 9 d h = − = − . 3. Représentation graphique
Exemple 1 : Représenter graphique des fonctions f x( )=2x et ( ) 1 2
x
g x
=
. . f x( )=2x est croissante sur ,
. ( ) 1 2
x
g x
= est décroissante sur .
x −3 −2 −1 0 1 2 3
x x
f( )=2 1 8
1 4
1 2
1 2 4 8
x
x
g
= 2 ) 1
( 8 4 2 1
1 2
1 4
1 8
Avec f x( )=2x et ( ) 1 2
x
g x
=
, nous avons f(−x)=g(x) et évidemment
) ( ) ( x f x
g − = .
Les courbes représentatives de f x( )=2x et ( ) 1 2
x
g x
= sont symétriques par rapport à l’axe ( )Oy .
Exemple 2 : Représenter graphique des fonctions f x( )=3x et ( ) 1 3
x
g x
= . . f x( )=3x est croissante,
. ( ) 1 3
x
g x
= est décroissante.
x −3 −2 −1 0 1 2 3
( ) 3x f x =
27
1 1
9
1 3
1 3 9 27
( ) 1 3
x
g x
=
27 9 3 1 1
3
1 9
1 27
Avec f x( )=3x et ( ) 1 3
x
g x
= , nous avons f(−x)=g(x) et évidemment
) ( ) ( x f x
g − = .
Les courbes représentatives de f x( )=3x et ( ) 1 3
x
g x
=
sont symétriques par rapport à l’axe ( )Oy .
Exemple 3 : Représenter graphique des fonctions f
( )
x =2x et f x( )=2x+1. SolutionDans un repère orthonormé
(
O;i, j)
,- on trace la courbe représentative de f
( )
x =2x,- on glisse horizontal vers la droite d’une unité la courbe de f
( )
x =2x, on obtient la courbe représentative de f x( )=2x+1.
Exemple 4 : Représenter graphique des fonctions f
( )
x =2x et f x( )=2x−1. SolutionDans un repère orthonormé
(
O;i, j)
,- on trace la courbe représentative de f
( )
x =2x,- on glisse horizontal vers la gauche d’une unité la courbe de f
( )
x =2x, on obtient la courbe représentative de f x( )=2x−1.
Exemple 5 : Représenter graphique des fonctions f
( )
x =2x et f x( )=2x+1 . SolutionDans un repère orthonormé
(
O;i, j)
,- on trace la courbe représentative de f
( )
x =2x,- on glisse vertical vers le haut d’une unité la courbe de f
( )
x =2x, on obtient la courbe représentative de f x( )=2x+1.Exemple 6 : Représenter graphique des fonctions f
( )
x =2x−1 et1 1
( ) 2
x
f x
−
=
. Solution
Dans un même repère orthonormé
(
O;i, j)
,- on trace la courbe représentative de f
( )
x =2x−1,- on trace la courbe symétrique de celle de f
( )
x =2x−1 par rapport à l’axe=1 x
on obtient la courbe représentative de f
( )
x =2x−1. .Exemple 7 : Représenter graphique des fonctions f
( )
x =2x+1 et1 1
( ) 2
x
f x
+
= . Solution
Dans un même repère orthonormé
(
O;i, j)
,- on trace la courbe représentative de f
( )
x =2x+1,- par rapport à l’axe x=−1, on trace la courbe symétrique de celle de
( )
x =2x+1f , on obtient la courbe représentative de
1 1
( ) 2
x
f x
+
= .
Exercices
1. Soit une fonction définie par f x( )=4x. Calculer :
) (2)
a f , b) f( 1)− , ) 1 c f 2
, ) 3 d f −2
. 2. Soit une fonction définie par
1 1
( ) 3
x
g x
+
= . Calculer :
) ( 2)
a g − , b) g(1), c) g(0), d) g( 3)− . 3. Soit une fonction définie par h x( )= −2x. Calculer :
) (0)
a h , b) h(3), c) h( 2)− , d) h( 4)− . 4. Compléter les tableaux suivants.
x −3 −2 −1 0 1 2 3
( ) 4x f x =
x −3 −2 −1 0 1 2 3
( ) 5x f x =
x −3 −2 −1 0 1 2 3
( ) 1 5
x
f x
=
x −3 −2 −1 0 1 2 3
2 1
( ) 3 x f x = +
x −3 −2 −1 0 1 2 3
( ) 2x f x = −
5. Dans unrepère orthonormé
(
O;i, j)
, tracer la courbe représentative des fonctions :) ( ) 5x
a f x = , b) g x( )=42x, ) ( ) 1 4
x
c h x
= , ) ( ) 1 2 3
x
d g x
= .