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Chapitre 4 Fonctions exponentielles Leçon 15 Fonction exponentielle

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Chapitre 4 Fonctions exponentielles

Leçon 15 Fonction exponentielle

) 1 et 0 ( , )

(x =a a a

f x

1. Définition

1) Fonctions puissances

Une fonction puissance est une foncion définie sur

0 , +

par f(x)=x

.

. 0, f(x)=x est croissante, . 0, f(x)=x est décroissante.

Exemples : f x( )=x2, g x( )=x3,

1

( ) 2

h x =x . 2) Fonctions exponentielles

On appelle fonction exponentielle, l’unique fonction f dérivable sur , telle que f'= f f(0)=1. On note provisoirement f(x)=exp(x).

2. Fonctions exponentielles de base a.

Nous étudions dans cette rubrique des fonctions du type

) 1 0

( , )

(x =a a et a

f x , dite « fonction exponentielle de base a », qui généralisent celle de base e: f(x)=ex tout en bénéficiant des mêmes propriétés algébriques.

Exemples : f x( )=2x, f x( )=3x, ( ) 1

2

x

f x  

=    , ( ) 1 3

x

f x  

=    Propriété

La fonction exponentielle f(x)=ax ,(a0)

1) est définie sur =

,+

et qui prend ses valeurs dans l’intervalle

0 , +

.

2) prend ses valeurs dans l’intervalle

0 , +

. 3) . Si a1, alors f(x)=ax est croissante,

. Si 0a1, alors f(x)=ax est décroissante, . Si a=1, alors f(x)=x =1 est constante.

4) La courbe représentative de la fonction f(x)=ax ,(a0 et a1) coupe l’axe des ordonnées ( )Oy en ( )0,1 .

5) La courbe représentative de la fonction f(x)=ax ,(a0 et a1) ne coupe pas l’axe des abscisses ( )Ox .

(2)

Exemples : Soit les fonctions : f x( )=2x, ( ) 1 1 4

x

g x

 

=    et h x( )= −3x. Calculer : 3

2

)

a f  

  , b) f( 3) , c) g(3) et d) h(2). Solution

3

3 2 3

2

) 2 2 2 2

a f   = =   =

3 3

1 1

) ( 3) 2 2 8

b f − = = =

1 3 2

1 1 2

) (3) 4 16

4 4

c g

   

=  =  = =

    ) (2) 32 9 d h = − = − . 3. Représentation graphique

Exemple 1 : Représenter graphique des fonctions f x( )=2x et ( ) 1 2

x

g x  

=  

  . . f x( )=2x est croissante sur ,

. ( ) 1 2

x

g x  

=    est décroissante sur .

x 3 2 1 0 1 2 3

x x

f( )=2 1 8

1 4

1 2

1 2 4 8

x

x

g

= 2 ) 1

( 8 4 2 1

1 2

1 4

1 8

(3)

Avec f x( )=2x et ( ) 1 2

x

g x  

=  

  , nous avons f(x)=g(x) et évidemment

) ( ) ( x f x

g = .

Les courbes représentatives de f x( )=2x et ( ) 1 2

x

g x  

=    sont symétriques par rapport à l’axe ( )Oy .

Exemple 2 : Représenter graphique des fonctions f x( )=3x et ( ) 1 3

x

g x  

=    . . f x( )=3x est croissante,

. ( ) 1 3

x

g x  

=    est décroissante.

x 3 2 1 0 1 2 3

( ) 3x f x =

27

1 1

9

1 3

1 3 9 27

( ) 1 3

x

g x  

=   

27 9 3 1 1

3

1 9

1 27

Avec f x( )=3x et ( ) 1 3

x

g x  

=    , nous avons f(x)=g(x) et évidemment

) ( ) ( x f x

g = .

(4)

Les courbes représentatives de f x( )=3x et ( ) 1 3

x

g x  

=  

  sont symétriques par rapport à l’axe ( )Oy .

Exemple 3 : Représenter graphique des fonctions f

( )

x =2x et f x( )=2x+1. Solution

Dans un repère orthonormé

(

O;i, j

)

,

- on trace la courbe représentative de f

( )

x =2x,

- on glisse horizontal vers la droite d’une unité la courbe de f

( )

x =2x, on obtient la courbe représentative de f x( )=2x+1.

(5)

Exemple 4 : Représenter graphique des fonctions f

( )

x =2x et f x( )=2x1. Solution

Dans un repère orthonormé

(

O;i, j

)

,

- on trace la courbe représentative de f

( )

x =2x,

- on glisse horizontal vers la gauche d’une unité la courbe de f

( )

x =2x, on obtient la courbe représentative de f x( )=2x1.

Exemple 5 : Représenter graphique des fonctions f

( )

x =2x et f x( )=2x+1 . Solution

Dans un repère orthonormé

(

O;i, j

)

,

- on trace la courbe représentative de f

( )

x =2x,

- on glisse vertical vers le haut d’une unité la courbe de f

( )

x =2x, on obtient la courbe représentative de f x( )=2x+1.

(6)

Exemple 6 : Représenter graphique des fonctions f

( )

x =2x1 et

1 1

( ) 2

x

f x

 

=  

  . Solution

Dans un même repère orthonormé

(

O;i, j

)

,

- on trace la courbe représentative de f

( )

x =2x1,

- on trace la courbe symétrique de celle de f

( )

x =2x1 par rapport à l’axe

=1 x

on obtient la courbe représentative de f

( )

x =2x1. .

Exemple 7 : Représenter graphique des fonctions f

( )

x =2x+1 et

1 1

( ) 2

x

f x

  +

=    . Solution

Dans un même repère orthonormé

(

O;i, j

)

,

- on trace la courbe représentative de f

( )

x =2x+1,

- par rapport à l’axe x=1, on trace la courbe symétrique de celle de

( )

x =2x+1

f , on obtient la courbe représentative de

1 1

( ) 2

x

f x

  +

=    .

(7)

Exercices

1. Soit une fonction définie par f x( )=4x. Calculer :

) (2)

a f , b) f( 1) , ) 1 c f  2

  , ) 3 d f 2

. 2. Soit une fonction définie par

1 1

( ) 3

x

g x

  +

=    . Calculer :

) ( 2)

a g , b) g(1), c) g(0), d) g( 3) . 3. Soit une fonction définie par h x( )= −2x. Calculer :

) (0)

a h , b) h(3), c) h( 2) , d) h( 4) . 4. Compléter les tableaux suivants.

x −3 −2 −1 0 1 2 3

( ) 4x f x =

x −3 −2 −1 0 1 2 3

( ) 5x f x =

x −3 −2 −1 0 1 2 3

( ) 1 5

x

f x  

=   

x −3 −2 −1 0 1 2 3

2 1

( ) 3 x f x = +

x −3 −2 −1 0 1 2 3

( ) 2x f x = −

5. Dans unrepère orthonormé

(

O;i, j

)

, tracer la courbe représentative des fonctions :

) ( ) 5x

a f x = , b) g x( )=42x, ) ( ) 1 4

x

c h x  

=    , ) ( ) 1 2 3

x

d g x  

=    .

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