1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 1
Chapitre 3 Fonctions rationnelles
Leçon 11 Fonction rationnelle du type f x
( )
ax bcx d
= + +
1. Définition
Une fonction rationnelle est une fonction du type
( )
) (
) (
x Q
x x P f
y= = où P(x) et
) (x
Q sont deux polynômes avec Q(x)0. Exemples :
( )
2 1
+
= + x x x
f ;
( )
4 3
2 2 +
−
= − x
x x x
g ;
( )
5 3 2
2 3
2 3
2
−
− +
−
= −
x x x
x x x
h
2. Ensemble de définition
Une fonction rationnelle
( )
) (
) (
x Q
x x P f
y= = est définie lorsque Q(x)0 c’est-à- dire Df =−
x/Q(x)0
On dit aussi que la function
( )
) (
) (
x Q
x x P f
y= = n’est pas continue en x tel que
0 ) (x =
Q .
3. Asymptotes parallèles aux axes 1) Asymptote verticale
Dire que la droite d’équation x=x0 est asymptote verticale à Cf signifie que :
2) Asymptote horizontale
Dire que la droite d’équation y=l (l) est asymptote horizontale à Cf signifie que :
1)
=
=
−
→
+
→
l x f
l x f
x x
) ( lim
) ( lim
+
−
=
− +
=
− +
→
→
ou )
( lim
ou )
( lim
0
x f
x f
x x
x
x x
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 2
Exemple 1 : Soit une fonction rationnelle définie par
( )
x x
f = 1. . Esemble de définition
( )
x x
f 1
= est définie pour tout x0. La fonction
( )
x x
f 1
= n’est pas continue en x=0. Donc Df =−
0. Asymptotes On a :
=
=
−
→
+
→
1 0 lim
1 0 lim
x x
x x
Donc La droite d’équation y=0 est une asimptote horizontale à Cf . On a :
−
= +
=
− +
→
→
x x
x x
lim 1 lim 1
0 0
La droite d’équation x=0 est une asimptote verticale à Cf . Courbe representative
x −3 −2 −1 0 1 2 3
y
3
−1
2
−1 −1 // 1 2 1
3 1
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5 -6
2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x y
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 3
Exemple 2 : Soit une fonction rationnelle définie par
( )
1 1
= − x x
f .
. Esemble de définition
( )
1 1
= − x x
f est définie pour tout x−10x1. La fonction
( )
1 1
= − x x f
n’est pas contunue en x=1. Donc Df =−
1. Asymptotes On a :
− =
− =
−
→
+
→
1 0 lim 1
1 0 lim 1
x x
x x
Donc La droite d’équation y=0 est une asimptote horizontale à Cf . On a :
−
− = +
− =
− +
→
→
1 lim 1
1 lim 1
1 1
x x
x x
La droite d’équation x=1 est une asimptote verticale à Cf . Courbe representative
x −2 −1 0 1 2 3 4
y
3
−1
2
−1 −1 // 1 2 1
3 1
2 3 4 5 6
-1 -2 -3 -4
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5 -6
0 1
1
x y
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 4
Remarque
On constate que la courbe de la fonction
( )
1 1
= − x x
f s’obtienne par glissement horizontal la courbe de
( )
x x
f 1
= vers la droite d’une unité.
Exemple 3 : Soit une fonction rationnelle définie par
( )
2 1
= + x x
f .
. Esemble de définition
( )
2 1
= + x x
f est définie pour tout x+20x−2. La fonction
( )
2 1
= + x x f
n’est pas continue en x=−2Donc Df =−
−2. Asymptotes On a :
+ = + =
−
→
+
→
2 0 lim 1
2 0 lim 1
x x
x
x La droite d’équation y=0 est une asimptote
horizontale.
On a :
−
+ =
+
+ =
− +
→
→
2 lim 1
2 lim 1
2 2
x x
x
x La droite d’équation x=−2 est une asimptote verticale.
Courbe representative
x −5 −4 −3 −2 −1 0 1
y
3
−1
2
−1 −1 // 1 2 1
3 1
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 5
Remarque
On constate que la courbe de la fonction
( )
2 1
= + x x
f s’obtienne par glissement horizontal la courbe de
( )
x x
f 1
= vers la gauche de deux unités.
Généralement Soit la fonction
( )
b x x
f = +1
• Cas b0
La courbe représentative de
( )
b x x
f = +1
est obtenue par glissement horizontal la courbe de
( )
x x
f = 1 de b unités vers la gauche.
• Cas b0
La courbe représentative de
( )
b x x
f = +1
est obtenue par glissement horizontal la courbe de
( )
x x
f 1
= de b unités vers la droite.
Exemple 4 : Soit une fonction rationnelle définie par
( )
1 1−
= x x
f .
. Esemble de définition
( )
1 1−
= x x
f est définie pour tout x0. La fonction
( )
1 1−
= x x
f n’est pas continue en x=0. Donc Df =−
0 .. Asymptotes
2 3
-1 -2 -3 -4 -5 -6
2 3 4
-1 -2 -3 -4 -5
0 1
1
x y
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 6
On a :
−
=
−
−
=
−
−
→
+
→
1 1 1
lim
1 1 1
lim
x x
x x
Donc La droite d’équation y =−1 est une asimptote horizontale à Cf . On a :
−
=
−
+
=
−
− +
→
→
1 1 lim
1 1 lim
0 0
x x
x x
La droite d’équation x=0 est une asimptote verticale à Cf .
Courbe representative
x −3 −2 −1 0 1 2 3
y
3
− 4
2
−3 −2 // 0
2
−1
3
−2
Remarque
2 3 4
-1 -2 -3 -4 -5
2 3
-1 -2 -3 -4 -5
0 1
1
x y
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 7
On constate que la courbe de la fonction
( )
= 1 −1 x xf s’obtienne par glissement vertical la courbe de
( )
x x
f = 1 vers le bas de d’unité.
Exemple 5 : Soit une fonction rationnelle définie par
( )
3 2 1 −= + x x
f .
. Esemble de définition
( )
32 1 −
= + x x
f est définie pour tout x+20x−2. La fonction
( )
32 1 −
= + x x
f n’est pas continue en x=−2Donc Df =−
−2. Asymptotes On a :
−
=
−
+
−
=
−
+
−
→
+
→
3 2 3
lim 1
3 2 3
lim 1
x x
x x
La droite d’équation y=−3 est une asimptote horizontale à Cf . On a :
−
=
−
+
+
=
−
+
− +
→
→
2 3 lim 1
2 3 lim 1
0 2
x x
x x
La droite d’équation x=−2 est une asimptote verticale à Cf . Courbe representative
x −5 −4 −3 −2 −1 0 1
y
3
−10
2
−7 −4 // −2 2
−5
3
−8
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 8
Remarque
On constate que la courbe de la fonction
( )
32 1 −
= + x x
f s’obtienne :
- Par glissement horizontal la courbe de
( )
x x
f = 1 vers la gauche de deux unités et,
- Par glissement vertical la courbe de
( )
x x
f = 1 vers le bas de trois unités.
Exemple 6 : Soit une fonction rationnelle définie par
( )
1 1 2
−
= − x x x
f .
. Esemble de définition
( )
1 1 2
−
= − x x x
f est définie pour tout x−10x1. La fonction
( )
1 1 2
−
= − x x x
f
n’est pas continue en x=1Donc Df =−
1 . . AsymptotesOn a :
=
− =
−
=
− =
−
−
→
−
→
+
→
+
→
2 2 1 lim
1 lim 2
2 2 1 lim
1 lim 2
x x x
x
x x x
x
x x
x x
La droite d’équation y=2 est une asimptote horizontale à Cf .
2 3 4
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
0 1
1
x y
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 9
On a :
−
− =
− +
− =
−
− +
→
→
1 1 lim2
1 1 lim2
1 1
x x x
x
x x
La droite d’équation x=1 est une asimptote verticale à Cf . Courbe representative
On a :
( )
21 1 1 1 1
) 1 ( 2 1
1 ) 1 ( 2 1
1
2 +
= − + −
−
= −
− +
= −
−
= −
x x
x x x
x x
x x f
Donc la courbe représentative de
( )
2 1 1 11
2 +
= −
−
= −
x x
x x
f est obtenue :
- Par glissement horizontal la courbe de
( )
x x
f = 1 vers la droite d’unité et, - Par glissement vertical la courbe de
( )
x x
f 1
= vers le haut de deux unités.
Exercices
1. Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.
1) y 1 12
− = x 2) y 1 12
+ = x 3) 2 1
y 1
x x
= + + 4) 21
2 3
y= x
+ 5) 2
1 y x
= x
+ 6)
2 2
1 1 x x
y x
= + +
+
7) 1
2 y x
x
= −
− 8) 2 1
2 3
y x x
= −
− 9)
(
1x)(
2 3)
y x x
= −
− −
10) 2
1 y x
= x
− 11)
(
1x)(
3 3)
y x x
= −
− − 12)
(
1)(
x 2)
y= x x
− − 13) 22 1
1 y x
x
= −
+ 14) 2 32 2
2 1
x x
y x
− +
= +
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4
2 3 4 5 6
-1 -2 -3
0 1
1
x y
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 10
2. Trouver le (ou les) point (s) où la fonction n’est pas continue.
1) ( ) 5
2 1
f x = x
− 2) f x( ) 12
= x 3) ( ) 1 2 f x 1
= x
−
4). ( ) 2 3
2 1
f x = x x
− − 5) ( ) 2 1 3 10 f x x
x x
= −
− − 6) ( ) 3 1 f x x
= x
−
7)
2 2
( ) 1
1 f x x
x
= −
+ 8)
3
( ) 2
1 f x x
= x
+ 9) ( ) 2 f x 2
= x +
10) ( ) 2 5 f x 25
= x
+ 11) ( ) x2 6x 5
f x x
+ −
= 12) ( ) 2
3 f x x
= x +
13) ( ) 32 2 5 f x x
= x
+ 14) ( ) x2 1
f x x
= + 15) ( ) 2 5 4 4
x x
f x x
− +
= −
3. Déterminer les asymptotes à la courbe représentative de chacune des fonctions suivantes puis tracer leur courbe dans un repère orthonormé
(
O;i,j)
.1)
( )
2 1 11 2 1
f x x
x x
= − = +
− − 2)
( )
2 3 11 2 1
f x x
x x
= + = +
+ +
3)
( )
3 125 3
2 f x x
x x
=− − = +
+ − + 4)
( )
3 5 12 3 2
f x x
x x
= − = +
− −
5)
( )
5 14 13 5 3
f x x
x x
=− − = +
+ − + 6)
( )
4 19 4 15 5
f x x
x x
= − = +
− −
4. Courbes représentatives de certaines fonctions du type f x
( )
ax bcx d
= + +
Exemple 1 : Soit une fonction définie par
( )
x x
g 2
= . . Esemble de définition
( )
x x
g = 2 est définie pour tout x0. La fonction
( )
x x
g = 2 n’est pas continue en
x=0. Donc Df =−
0 . . Asymptotes1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 11
On a :
=
=
−
→
+
→
2 0 lim
2 0 lim
x x
x
x
La droite d’équation y =0 est une asimptote horizontale. Cf . On a :
−
= +
=
− +
→
→
x x
x x
lim 2 lim 2
0
0 La droite d’équation x=0 est une asimptote verticale à
Cf .
Courbe representative de
( )
x x
g 2
= et
( )
x x
f 1
= .
Remarque
On constate que la courbe de la fonction
( )
x x
g 2
= est plus loin l’origine que la courbe de
( )
x x
f = 1 car
( )
1 2 ( ) 2 2x x f
x x
g = = = .
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5
2 3 4
-1 -2 -3 -4
0 1
1
x y
x −3 −2 −1 0 1 2 3
x x
f 1
) ( =
3
−1
2
−1 −1 // 1
2 1
3 1
x x x
g 1
2 2 )
( = =
3
−2 −1 −2 // 2 1
3 2
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 12
Exemple 2 : Soit une fonction définie par
( )
x x
g 2
= 1 . . Esemble de définition
( )
x xg 2
= 1 est définie pour tout x0. La fonction
( )
x x
g 2
= 1 n’est pas continue en x=0. Donc Dg =−
0 .. Asymptotes On a :
=
=
−
→
+
→
2 0 lim 1
2 0 lim 1
x x
x
x
La droite d’équation y =0 est une asimptote horizontale à Cf . On a :
−
= +
=
− +
→
→
x x
x x
2 lim 1
2 lim 1
0 0
La droite d’équation x=0 est une asimptote verticale à Cf . Courbe representative de
( )
x x
g 2
= 1 et
( )
x x f = 1.
Remarque
On constate que la courbe de la fonction
( )
x x
g 2
= 1 est plus proche à l’origine que la courbe de
( )
x x
f 1
= car
( )
( )2 1 1 2 1 2
1 f x
x x x
g = = = .
x −3 −2 −1 0 1 2 3
x x
f 1
) ( =
3
−1
2
−1 −1 // 1
2 1
3 1
x x x
g 1
2 1 2 ) 1
( = =
6
−1
4
−1
2
−1 //
2 1
4 1
6 1
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 13
Exemple 3 : Soit une fonction définie par
( )
x x
g 1
−
= . . Esemble de définition
( )
x xg =−1 est définie pour tout x0. La fonction
( )
x x
g =−1 n’est pas continue en x=0. Donc Dg =−
0 .. Asymptotes On a :
=
−
=
−
−
→
+
→
1 0 lim
1 0 lim
x x
x
x
La droite d’équation y =0 est une asimptote horizontale à Cf . On a :
+
=
−
−
=
−
− +
→
→
x x
x x
lim 1 lim 1
0 0
La droite d’équation x=0 est une asimptote verticale à Cf . Courbe representative de
( )
x x
g 1
−
= et
( )
x x
f 1
= .
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5
2 3 4
-1 -2 -3 -4
0 1
1
x y
x −3 −2 −1 0 1 2 3
x x
f 1
) ( =
3
−1
2
−1 −1 // 1
2 1
3 1
x x
g 1
) ( =−
3 1
2
1 1 // −1
2
−1
3
−1
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 14
Remarque
On constate que la courbe de la fonction
( )
x x
g 1
−
= est symétrique à la courbe de
( )
x x
f 1
= par rapport à l’axe (Oy) car
( )
1 ( ) x x fx
g =− =− .
Exemple 4 : Soit une fonction définie par
( )
1 3 2
− −
= x
x
g .
. Esemble de définition
( )
13 2
− −
= x
x
g est définie pour tout x−10x1. La fonction
( )
13 2
− −
= x
x
g n’est pas continue en x=1. Donc Dg =−
1 . . AsymptotesOn a :
=
− −
=
− −
−
→
+
→
1 3 3 2 lim
1 3 3 2 lim
x x
x x
La droite d’équation y=3 est une asimptote horizontale à Cf .
On a :
+
=
− −
−
=
− −
− +
→
→
1 3 2 lim
1 3 2 lim
1 1
x x
x x
La droite d’équation x=1 est une asimptote verticale à Cf .
2 3 4
-1 -2 -3 -4
2 3 4
-1 -2 -3 -4
0 1
1
x y
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 15
Courbe representative de
( )
1 3 2
− −
= x
x
g et
( )
x x
f =−2. La courbe représentative de
( )
1 3 2
− −
= x
x
g est obtenue :
- Par glissement horizontal la courbe de
( )
x x
f =−2 vers la droite d’une unité,
- Par glissement vertical la courbe de
( )
x x
f =−2 vers le haut de trois unités.
5. Résolution d’une équation et d’une inéquation par le graphique.
1) Une équation du type Ax b d
cx b
ax = +
+ +
Dans un même repère :
- on trace la courbe de la fonction
d cx
b x ax
f +
= + )
( (une hyperbole) et la courbe de la fonction g(x)= Ax+b (une droite).
Les abscisses des points d’intersections de ces deux courbes sont solutions de l’équation Ax b
d cx
b
ax = +
+
+ .
2) L’inéquation du type Ax b d
cx b
ax +
+ +
Dans un même repère :
- on trace la courbe de la fonction
d cx
b x ax
f +
= + )
( (une hyperbole) et la courbe de la fonction g(x)= Ax+b (une droite).
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4
2 3 4 5 6
-1 -2 -3
0 1
1
x y
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 16
Les abscisses des points de l’hyperbole située au-dessous de la droite sont le solutions de l’inéquation Ax b
d cx
b
ax +
+
+ .
Exemple : Résoudre l’inéquation 2 1 1
1 +
−
+ x
x
x par le graphique.
Solution
Dans un même repère :
- on trace la courbe de la fonction
1 ) 1
( −
= + x x x
f et la courbe de la fonction
1 2 ) (x = x+
g .
- On cherche les points d’intersection x1 et x3 de ces deux courbes, On résout l’équation 2 1
1
1= +
−
+ x
x x
(
1)(
2 1)
1 1
1 2
1= + + = − +
−
+ x x x x
x x
x+1=2x2−x−1
2x2−2x−2=0x2−x−1=0
=1+4=5 2
5 1
1
= −
x ,
2 5 1
2
= + x
Donc d’après le graphique, les solution de l’inéquation 2 1 1
1 +
−
+ x
x
x sont :
1 5
2 x 1
− ou 1 5
x +2 et on écrit :
+ +
= − ,
2 5 1 1
2 , 5
S 1 .
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4
0 1
1
x y
