1/11 - Chapitre n°7 : Fonctions rationnelles
Chapitre n°7 : Fonctions rationnelles
Objectifs.
O19- Connaître la fonction dérivée de x f (x)= x
x
2+4 [L'étude des ensembles de définition et de dérivation n'est pas un objectif du programme]
O20- Déterminer la fonction dérivée d'une fonction rationnelle.
O21- Étudier les variations et les extremums d'une fonction rationnelle à partir du signe de sa dérivée.
O22- Déterminer une équation de la tangente en un point à la courbe représentative d'une fonction rationnelle et tracer cette tangente.
[On se limite à des fonctions simples][Cette partie du programme se prète particulièrement à l'étude de situations issues des autres disciplines (résolutions graphiques ou numériques d'équations et d'inéquations, problèmes d'optimisation, etc.)]
Activité d'approche n°1
Partie 1 : La fonction inverse
On considère la fonction f définie par f ( x )= 1 x . 1. Pour quelle valeur n'est-elle pas définie ? ….
2. Page suivante, à l'aide d'un logiciel de géométrie, on a tracé la courbe C représentative de la fonction inverse. On a aussi placé les points appartenant à C : C(-2;-0,5) , D(-1;-1) , E(-0,5;-2) , H(0,5;2) , I(1;1) et J(2;0,5) ainsi que les six
tangentes passant par ces points.
a. D'après la courbe tracée, quel est le sens de variation de la fonction inverse sur chaque intervalle de l'ensemble de définition ?
…...
b. Que peut-on en déduire pour le signe de la dérivée de la fonction inverse.
…...
c. Par lecture graphique, compléter le tableau suivant, où f '(x) est le coefficient directeur de la tangente tracée :
point C D E H I J
Abscisse x f(x)
1/11
f '(x)
– 1
x
2d. Que semble-t-il se passer ?
…...
Cours n°1
Chapitre n°7 : fonctions rationnelles
I) Dérivée de la fonction inverse Propriété n°1
La fonction inverse f ( x)= 1
x est définie sur IR
*. Sa fonction dérivée est f '(x) = … …
…
Exemple n°1 :
Soit C la courbe représentative de la fonction inverse.
a) Déterminer le coefficient directeur de la tangente à C en -2.
…...
…...
b) Déterminer une équation de la tangente en -2.
…...
…...
…...
…...
…...
…...
Exercice n°1
Ex.1 p.102
Exercice n°2
Ex.5 p.102
Exercice n°3
Ex.6 p.102
Exercice n°4
Ex.9 p.102
Activité d'approche n°2
Soit f ( x)= 4 – x
x définie sur IR*.
1. Compléter : f ( x )=(...)× 1 x
2. Rappeler la formule de la dérivée d'un produit de fonctions : (u × v)' = …... + …...
3. En utilisant cette formule, calculer la dérivée de f.
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
5/11 - Chapitre n°7 : Fonctions rationnelles
Cours n°2
II) Dérivée d'un quotient de deux fonctions Propriété n°2
1) Dérivée d'un quotient : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, écrite sous la forme d'une fraction de deux fonctions u et v, v ne s'annulant pas sur l'intervalle I. On a donc : f ( x )= u ( x )
v( x) Alors sa dérivée est donnée par la formule :
f ' ( x)= ...−...
[ ... ]
22) Rappel : Dérivée d'un produit : Soit f une fonction définie sur un
intervalle I, écrite sous la forme d'un produit de deux fonctions u et v. On a donc : f ( x)=u ( x)×v ( x )
Alors sa dérivée est donnée par la formule : f ' ( x)=...+... .
Exemple n°2
Soit f ( x)= x x
2+ 4 . 1. Calculer sa dérivée f '.
2. Déterminer le tableau de signe f '.
3. En déduire le tableau de variation de f.
1. Calcul de la dérivée :
f est le …... de deux fonctions : u(x)=... et v(x)=...
On a : u'(x)=... et v'(x)=...
Donc f ' ( x)= ...×...×...
[ ... ]
...Donc f ' ( x)= ... ...
[ ... ]
...Donc f ' ( x)= ...
[ ... ]
...2. Signe de la dérivée :
5/11
Le dénominateur est un carré, donc son signe est toujours …....
Pour le numérateur : c'est un polynôme du second degré.
Calcul du discriminant : …...
...
...
Calcul des racines : …...
...
...
Ses racines sont : ….. et …... : Son coefficient a vaut : ….. Ce polynôme est du signe de …... entre les racines, donc il est …... entre ….... et
…..., et …... ailleurs.
On a donc le tableau de signe suivant pour la dérivée :
... ... ….. ….. ...
numéra
teur …. …. ….
dénomi
nateur …. …. ….
f '(x) …. …. ….
3. Tableau de variation de f :
... ... ….. ….. ...
f '(x) …. …. ….
f(x)
Exemple n°3
Soit f (x)=x ( x
2+ 4) . 1. Calculer sa dérivée f '.
2. Déterminer le tableau de signe f '
3. En déduire le tableau de variation de f.
f est le …... de deux fonctions : u(x)=... et v(x)=...
On a : u'(x)=... et v'(x)=...
Donc f ' ( x)=...×...×... . Donc f ' ( x)=...
Donc f ' ( x)=...
2. Signe de la dérivée :
C'est un polynôme du second degré.
Calcul du discriminant : …...
...
...
Calcul des racines : …...
...
...
Ses racines sont : ….. et …... : Son coefficient a vaut : ….. Ce polynôme est du signe de …... entre les racines, donc il est …... entre ….... et
…..., et …... ailleurs.
On a donc le tableau de signe suivant pour la dérivée :
... ... ….. ….. ...
f '(x) …. …. ….
3. Tableau de variation de f :
... ... ….. ….. ...
f '(x) …. …. ….
f(x)
Exercice n°5
Exercice n°6
Ex.12 p.102
Exercice n°7
Ex.16 p.102
Exercice n°8
Ex.19 et 20 p.102
Exercice n°9*
Ex.21 p.103
Exercice n°10*
Ex.24 p.103
Exercice n°11
Ex.43 p.105
Exercice n°12*
Ex.56 p.106
Exercice n°13*
Ex.57 p.106
Exercice n°14**
Ex.58 p.106
Exercice n°15**
Ex.67 p.107
Exercice n°16**
Sujet A p.116
Exercice n°17**
Sujet B p.116
Exercice n°18**
Sujet D p.117
9/11 - Chapitre n°7 : Fonctions rationnelles
Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.
Act.1 : 2.a.décroissant 2.b. – 2.d. dernière ligne et avant-dernière identiques.
Ex.1 : 2. − 1 x
2Ex.2 : f '(x)=14x et g' (x)= −7 x
2Ex.3 : 2. f '(x) = – 11
x
2Ex.4 : 1. 4 et 1 . 3.4x .
Act.2 : 3. - 1
x – 4− x x
2Ex.5 : 1. u(x) = 2x et v(x) = x – 1, u’(x) = 2 et v’(x) = 1. 2. u’(x)v(x) = 2(x – 1) = 2x – 2, u(x)v’(x) = 2x . 3.
u’(x)v(x) – u(x)v’(x) = –2.
Ex.6 : 1. u(x) = x + 3 et v(x) = x + 1, u’(x) = 1 et v’(x) = 1. 2. u’(x)v(x) = x + 1, u(x)v’(x) = x + 3. 3. u’(x)v(x) – u(x)v’(x) = –2.
Ex.7 : f ' ( x)= − 44 (2 x – 6)
2Ex.8 : ex19 : décroissante Ex20 :
x –3 1 4
f ' ( x) + 0 –
f ( x ) –2
3
–3
Ex.9 : 2. f est croissante sur [1;7]
Ex.10 : 1.a. décroissante Sur [-4;3] 1.b.f(-4)=0,5 et f(3)=-3 1.c.
Ex.11 : f '(x)=1 – 9 x
2.
Ex.12 : 1. f '(x)= 1
( x− 3)
22. Positive 3. f est croissante sur [-5;1].
Ex.13 : 1.a.f '(x)= – k
x
21.b. croissante sur ]0;+∞[ . 2.a. dans le désordre : croissante/décroissante 2.b. « f est décroissante » 2.c. « f est croissante ».
Ex.14 : 1. f '(x)= 100
( x+1)
2. 2. 3. 4. [4;5].
Ex.15 à 18 : non corrigés (devoirs maisons)
9/11
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