Leçon 20 Calcul intégral

Leçon 20 Calcul intégral

1. Différentielle d’une fonction Définition

Soit une fonction y= f(x), on a d y= f'(x)dx, dy est appelé différentielle de la fonction y= f(x).

Exemple : soit y=5^x+e^x+1

On a : ^{f x( ) d}

(

^{5x ex 1}

)

^d

( )

^{5x d}

( )

^{ex d ( )1 5 ln 5x ex}

dx dx dx dx

 = + + = + + = +

Donc ^dy=

(

^5xln5+ex

)

2. Primitives d’une fonction Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de . On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I et telle que F'(x)= f(x), pour tout x de I.

Exemples : F₁(x)=e^x+100F₁'(x)=e^x

F₂(x)=e^x −65F₂'(x)=e^x

Théorème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de . Si Fest une fonction primitive de f sur I, alors autre primitive de f est de la forme

c x

F( )+ , où c est une constante réelle quelconque.

3. Intégrale et primitive

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un réel de I. La fonction définie sur I par



^x

a

dt t f

x ( ) est la primitive de f sur I qui s’annule en a. On s’écrit simplement



^{f(x)dx=F(x)+c, où c est une}

constante réelle quelconque.

4. Primitive d’une fonction exponentielle Théorème

Exemples : Calculer les primitives.

a.

_ (

^x+ex

)

^dx b.



e dx^2x c.



^e5x+1dx

d.



xe^2x2−3dx e.



5xe^{− +x2 4}dx

Solution

^1.

x x

e dx= +e c



^2.



^{e duu = +eu c}

a.

( )

²

2

x x x x

x e+ dx= xdx+ e dx= + +e c

  

b.



e dx^{2x , posons u=2x, du=2dx  1}₂^du=dx

^{2 1}

2

x u

e dx= e du

 

^{= 1}₂^{eu+c =1}₂^e2x+c

c.



e^5x+1dx^{, posons u=5x+1, du=5dx  1}₅^du=dx

^{5 1 1}

5

x u

e ⁺dx= e du

 

⁼¹₅^{eu +c =1}₅^e5x+1+c

d.



xe^2x2−3dx^{, posons u=2x2−3, du=4xdx  1}₄^du=xdx



^xe2x2−3dx=



^e2x2−3( )^{xdx =1}₄



^{e duu =1}₄^{eu +c=1}₄^e2x2−3+c

e.



⁵xe^−x2+4dx^{, posons u=−x2 +4 , du=−2xdxxdx=−}₂^1du )

( 5

5xe ^{x2 4}dx



e ^{x2 4} xdx



^{− + = − +}

=⁵



e^u −¹₂du=−₂⁵



e^udu=−₂⁵e^u +c=−₂⁵e^−x2+4+c

5. Calcul intégral

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I. On appelle intégrale de f entre a et b, et on note



^b

a

dx x

f( ) , le réel défini par : f(x)dx F(x)^b_a F(b) F(a)

b

a

−

=



= ^{, où F} est une primitive quelconque de f

sur I. .



^b

a

dx x

f( ) se lit « somme (ou intégrale) de a à b de f(x)dx ».

. Les réels a et b sont appelés les bornes.

Exemple 1 : Calculer les intégrales.

a.

1

0

e dx⁻x



^{b. 1 2}

0

xe dxx



^{c. 3 32}

1

e x

x dx



^{d. 4 3}

3

e ⁻xdx



Solution a.

1 1

1 1 0

0

0 0

( ) ( ) 1 1

x x x

e dx e d x e e e

e

− = − − − = − −  = − − − − = −

 

b. ²

1

0

xe dxx



^,

( )

^{2 2 1}

d x = xdx  2du=xdx

^{1 2 1 2}( ) ^{1 2}

( )

^{2 2 1}₀

(

^{12 0}

)

^{( )}

0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2 1

x x x x

xe dx= e xdx = e d x = e  = e −e = e−

  

c.

3 3 2 1

e x

x dx



^{, u=3}_x ^,du=−_x^32dx _x^{dx2 =−}₃^1du

3

1 3 3

1 3

1 3

1 2 3

3 1 3

1 3

1 _{u u x}

x

e e

du e x dx

e =−



=− =−



(

^{e e}

)

e e e

e x dx

e^x

−

= +

−

=







−

−







−



³ = ^{33 13 3 3}

1 2 3

3 1 3 3 3

1 3

1

a.

4 3 3

e ⁻xdx



^{, u=3−x,du=−dxdx=−du}

4 3 4 3

3 4

3 4

3

3 ^xdx e^u( du) e^u e ^x

e ⁻ =



− =− =− ⁻



( ) ( )

e e e e

e e

e dx

e ^x 1 1

0 1

1 3

3 4

3 4

3

3 −

=

−

= +

−

=

−

−

−

= ^{− − −}



−

6. Intégration par partie Théorème

Soit u et v deux fonctions dérivables sur



^{a ,b}



telles que les dérivées

' ' et v

u soient continues sur



a ,b



. Alors :

  



^{= −b}

a b a b

a

dx x v x u x

v x u dx x v x

u( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )

Ou



⁼

 

^{ −}



^b

a b a b

a

du v v u dv u

Exemple : Calculer :

a.



xe dx^2x b.



x e dx^{3 x2} c.



x e dx^{2 3x}

Solution

a.

_

^{xe dx2x =}

_

^{x e dx}

(

^2x

)

⁼

_

^udv

_





=

=

 



=

=

x x

e v

dx du dx

e dv

x u

2 2

2 1







^xe2xdx=₂^{1xe2x− 1}₂^e2xdx=₂^1xe2x−₂^{1 e2xdx}

= ^{xe x}−  ^{e x}+^c= ^{e x}(2^x−1)+^c 4

1 2

1 2 1 2

1 2 2 2

b.

_

^x3ex2dx=

_

^x3

( )

^{ex2dx =}

_

^udv







=

=

 





=

=

2 2

2 1

3 ²

3

x ex

v x

dx x du dx

e dv

x u

e x dx e x

x x dx e

x^{3 x 3 x x} 3 ²

2 1 2

1 ^{2 2}

2 =  −







⁼ ₂^{1x2ex2 −}₂³



^xex2dx

x e^x dx x e^x xe^x dx A B 2 3 2

3 2

1 ^{2 2}

2 2

3 = −



= −



^{tel que}







=

=



^{xe dx}

B

e x A

x x

2

2 2

2 1

On recherche ^B=



^xex2dx=



^ex2(xdx)=



^udv









=

=

 





=

=

2 2

2

2 2

v x

dx xe du dx

x dv

e u

x x

dx e x e x dx e x x e x

dx e x

B⁼



^{x2 = x2} ₂^{2 −}



₂^{2 2 x2 =1}₂ ^{2 x2 −}



^{3 x2}

On obtient donc :

B A dx e x ^x

2 3

3 2 = −





 −

−

=





^x3ex2dx ₂^1x2ex2 ₂³ ₂^{1x2ex2 x3ex2dx}



x³e^x2dx⁼ ₂¹x²e^{x2 −}₄³x²e^{x2 +}₂³



x³e^x2dx



x³e^x2dx−₂³



x³e^x2dx= ₂¹x²e^x2 −₄³x²e^x2 +c c

e x dx

e

x ^x =− ^x +

−₂¹



^{3 2} ₄^{1 2 2 soit}



^x3ex2dx=₂^{1x2ex2 +c}

c.

_

^{x e dx2 3x =}

_

^x2

(

^{e dx3x}

)

⁼

_

^udv







=

=

 





=

=

x v e x

xdx du

dx e dv

x u

3 3 2

3 1 2

x e ^xdx x e ^x e ^x 2xdx 3

1 3

1 3 3

2 3

2 =  −







⁼₃^1x2e3x−₃²



^xe3xdx

x e ^xdx x e ^x xe ^xdx A B 3 2 3

2 3

1 _{2 3 3}

3

2 = −



= −



^{tel que}







=

=



^{xe dx}

B

e x A

x x

3 3 2

3 1

On recherche ^B=



^xe3xdx=



^x(e3xdx)=



^udv







=

=

 



=

=

x x

e v

dx du dx

e dv

x u

3 3

3 1

dx e xe

dx e e

x dx e x

B⁼



^{3x = }₃^{1 3x −}



₃^{1 3x =} ₃^{1 3x −}₃¹



^3x

c e xe

dx e x

B=



^3x =₃^{1 3x}−₃¹₃^{1 3x}+

On obtient donc :

B A dx e x ^x

3

3 2

2 = −





 − +

−



^x2e3xdx=¹₃^x2e3x ₃² ₃^1xe3x ₉^{1e3x c} c e xe

e x dx e

x ^x = ^x− ^x+ ^x+



^{2 3 1}₃ ^{2 3} ₉^{2 3} ₂₇^{2 3 .}

7. Intégration par partie à l’aide du tableau Forme :



u(x)e^ax+bdx, u(x) est un polynôme.

Méthode

1) Dans la colonne D (dérivée), calculer la dérivée successive u',u'',u' '',...

jusqu’elle s’annulle en prenant les signes (+,−,+,−,...), 2) Dans la colonne I (intégral), calculer l’intégrale,

3) Calculer le produit D_nI_n+1 indiqué sur le tableau, 4) La somme des produits est le résultat de l’intégrale.

D I

u dv

* **

* **

* **

0 **

Exemple : Calculer



x²e^x+1dx

Solution

2 1 2 1 1 2

2 2

x x x x

x e ⁺dx= x e ⁺ − xe ⁺ + e ⁺ +c



^=ex+1

(

^x2−2x+2

)

^+c

D I

x2 e^x+1 2x e^x+1 2 e^x+1

0 e^x+1

+

− +

−

+

+

−

Exercices 1. Calculer les intégrales suivantes.

1)



e dx^x 2)



xe^3x2−2dx 3)

1 2

e x

x dx



⁴⁾

_

^e−x

(

^e2x+ex+1

)

^dx

5)

e x

x dx



⁶⁾



²_(e^exx₊⁻_e^2−xx−₎^{2x dx}

7)



(x²+1)e^{x3+ +3x 4}dx ⁸⁾

2

2 3

(5 2 )

x

xe⁻ +x e⁻x dx



9)



(x−1)e^x2−2xdx 10)



xe^5−x2dx

11)



x e^{3 3x4}dx 12)



(ax bx e+ ^{2 x2})e^−x2dx, a b, 

2. Calculer les intégrales suivantes.

1)

1 2 0

e⁻ xdx



2) ²

1

0

xe⁻x dx



3) ³

0

2 2

2

x ex dx

−



^{4) 2 22}

0

xe⁻x dx



5)

4 3 2 3

e ⁻ xdx



⁶⁾

3 3

2 1

ex

x dx



7)

6 2

4 0

x

xe⁻ dx



^{8) 1 2 2}

0

(ax+1)e^{ax+ x}dx



3. Calculer les intégrales suivantes 1) ³

xe dx⁻x



²⁾



^{x e3 3x+5dx}

3)



(x³−3)e dx^{4x 4)}



^{x e3 −x2dx}

5)



(x+1)³e^{7 2− x}dx ⁶⁾



^{x e2 x+2dx}