Exercice 1 Primitive et exponentielle
1. Trouver les primitives des fonctions suivantes (a) f(x) = 3e3x
(b) g(x) = 0.4e−0.4x
(c) i(x) =e5x (d) j(x) =e−0.1x
(e) k(x) = 10e2x (f) l(x) = 0.6e−0.2x 2. Calculer les quantités suivantes
Z 3
0
g(x)dx
Z 1
−1
i(x)dx
Z 100
10
l(x)dx
3. Calculer les valeurs moyennes suivantes
(a) Def(x)sur[0 ; 1] (b) Dej(x)sur[10 ; 100]
Exercice 2 Demande
On considère la fonction dérivablef définie surI= [0 ; 20]par : f(x) = 1 000(x+ 5)e−0,2x.
Partie A - Étude graphique
On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonctionf. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 0
1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000
1. Résoudre graphiquement et de façon approchée l’équationf(x) = 3 000.
2. Donner graphiquement une valeur approchée de l’intégrale def entre 2 et 8 à une unité d’aire près. Justifier la démarche.
Partie B - Étude théorique
1. On notef0la dérivée de la fonctionf sur [0 ; 20].
Démontrer que pour toutxde [0 ; 20],f0(x) =−200xe−0,2x.
2. En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau des variations sur l’intervalle [0 ; 20]. Si nécessaire, arrondir à l’unité les valeurs présentes dans le tableau.
3. Démontrer que l’équationf(x) = 3 000admet une unique solutionαsur [0 ; 20], puis donner une valeur approchée deαà10−2près à l’aide de la calculatrice.
SoitF(x) =−5 000(x+ 10)e−0,2x
4. Démontrer queF(x)est une primitive de la fonctionf sur [0 ; 20].
5. Calculer Z 8
2
f(x)dx. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l’unité.
Partie C - Application économique
La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle [0 ; 20] par la fonctionf étudiée dans les parties A et B.
Le nombref(x)représente la quantité d’objets demandés lorsque le prix unitaire est égal àxeuros.
Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes :
1. En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle supérieure à 3 000 objets ? 2. Déterminer la valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalle [2 ; 8]. Interpréter ce résultat.
