Calcul intégral
Table des matières
I Intégrale d’une fonction 2
II Interprétation graphique : calcul d’aire 2
II.1 Aire d’un fonction positive . . . 2
II.2 Aire d’une fonction négative . . . 2
II.3 Aire d’une fonction quelconque : découpage d’aire . . . 3
III Propriétés de l’intégrale 4 III.1 Relation de Chasles . . . 4
III.2 Linéarité . . . 4
III.3 Inégalités . . . 5
III.4 Inéglité de la moyenne . . . 5
Dans tout le chapitre,F etG sont des primitives respectivement def etg sur I.
aetbsont deux points de I, bornes incluses.
I Intégrale d’une fonction
Définition 1
Le nombre F(b)−F(a), indépendant du choix deF, est appellé intégrale de aàb de f, il est noté
Z b a
f(x)dx=F(b)−F(a).
Exemple 1
Calcul de l’intégrale : Z 3
2
x dx:
➔ Une primitive def(x) =xestF(x) = x2 2 .
➔ donc, Z 3
2
x dx=F(3)−F(2) = 9 2 −4
2 = 5 2.
II Interprétation graphique : calcul d’aire
II.1 Aire d’un fonction positive
Propriété 1
Sif est une fonction positive sur [a; b], alors Z b
a
f(x) dxest égal à l’aire du domaine compris entre la courbe def, l’axe des abcsisses, et les droites d’équation x=aetx=bexprimé en unité d’aire. (U.A.)
Exemple 2
Calcul de l’aire du domaine compris entre la courbe d’équa- tion 1
x, l’axe des abcsisses, et les droites d’équationx= 1 2 etx= 4 dans un repère orthonormé(O;−→
i;−→
j)d’unité gra- phique1cm :
Z 4
1 2
1
xdx= [ln(x)]41
2 = ln 4−ln1
2 = ln 4 + ln 2
Z 4
12
1
xdx= ln 8 = 3 ln 2U.A. ≈2,08cm2 −1 1 2 3 4
1 2 3
−1
II.2 Aire d’une fonction négative
Si la fonction f est négative, alors la fonction−f est positive et les courbes sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Donc, l’aire du domaine compris entre la courbe de f, l’axe des abcsisses, et les droites d’équationx =aet x=best égale à l’aire du domaine compris entre la courbe de −f, l’axe des abcsisses, et les droites d’équation x=aetx=b.
Exemple 3
On considère la fonctionf définie surRparf(x) = x3 27−x2
3 .
f est négative sur l’intervalle [ 0 ; 9 ]. Pour calculer l’aire du domaine compris entre la courbe def, l’axe des abcsisses, et les droites d’équation x= 0et x= 9, il suffit de calculer l’aire du domaine compris entre la courbe de −f, l’axe des abcsisses, et les droites d’équationx= 0etx= 9:
Graphique def :
A1
Graphique de−f :
A2
A1=A2= Z 9
0
[−f(x)] dx= Z 9
0
−x3 27+x2
3
dx=
− x4 108+x3
9 9
1
=81 4 U.A.
.
II.3 Aire d’une fonction quelconque : découpage d’aire
Pour calculer l’aire d’un domaine définie par une fonction changeant de signe, il faut découper l’intervalle en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant.
Exemple 4
On considère la fonctionf définie parf(x) =x2−x−2. On noteAl’aire du domaine compris entre la courbe def, l’axe des abcsisses, et les droites d’équationx=−1etx= 3.
A=A1+A2
A= Z 2
−1
[−f(x)] dx+ Z 3
2
[f(x)] dx
A= Z 2
−1
(−x2+x+ 2)dx+ Z 3
2
(x2−x−2) dx
A=
−x3 3 +x2
2 −2x 2
−1
+ x3
3 −x2 2 + 2x
3
2
A=9 2 +11
6 A= 19
3 ≈6,33U.A.
1 2 3
−1
−2
1 2 3 4
−1
−2 A1
A2
III Propriétés de l’intégrale
III.1 Relation de Chasles
Propriété 2
Soitf une fonction dérivable surRetb∈[a; c ], alors
Z c a
f(x) dx= Z b
a
f(x) dx+ Z c
b
f(x) dx.
Interprétation graphique :
A1 A2
a b c
III.2 Linéarité
Propriété 3
Soientf, g: [ a; b ]→Rdeux fonctions dérivables et λun réel, alors :
♦ Z b
a
[f(x) +g(x)] dx= Z b
a
f(x) dx+ Z b
a
g(x) dx.
♦ Z b
a
λf(x) dx=λ Z b
a
f(x) dx.
Ce théorème permet en pratique de ramener le calcul d’une intégrale d’une fonction complexe (de type polynôme par exemple) à une succession d’intégrations de fonctions plus élémentaires.
Exemple 5
Calcul de l’intégrale :I= Z 2
1
2x+5
x
dx:
➔ I= 3 Z 2
1
2x dx+ 5 Z 2
1
1 x dx
➔ I= 3 [x2]21+ 5 [lnx]21
➔
III.3 Inégalités
Propriété 4
Soientf, g: [ a; b ]→Rdeux fonctions dérivables.
♦ Inégalité : si, pour toutx∈[a; b], on af(x)≤g(x), alors Z b
a
f(x) dx≤
b
Z
a
g(x) dx.
♦ Positivité : si, pour toutx∈[a; b], on a f(x)≥0, alors
b
Z
a
f(x) dx≥0.
Remarque 1
La réciproque de la positivité n’est pas forcément vraie, on peut avoit Z b
a
f(x)dx≥0 sans avoir f positive sur [a; b ] :
➔ Z 3
0
(2x−1) dx= [x2−x]30 = 6. Donc, Z 3
0
(2x−1) dx≥0.
➔ Cependant, la fonction x→2x−1 n’est pas positive sur [ 0 ; 3 ].
III.4 Inéglité de la moyenne
Propriété 5
Soitf : [a; b]→Rune fonction dérivable et m etM deux réels tels vérifiants m≤f(x)≤M, alors
m(b−a)≤ Z b
a
f(x)dx≤M(b−a).
Interprétation graphique :
Dans le cas oùf est positive sur [a; b] et oùm≥0, l’aire de la partie égale à
Z b a
f(x)dx est comprise entre l’aire du rectangle de baseAB de hauteurmet
l’aire du rectangle de baseAB de hauteurM. m M
A B
Définition 2
Soit f : [ a ; b ] → R une fonction dérivable. Si a 6= b, on appelle valeur moyenne de f sur [ a ; b ] le nombre réel µf défini par
µf = 1 b−a
Z b a
f(x) dx.
Interprétation graphique :
La droite d’équation y=µf est la droite horizontale telle l’aire des partie de plan délimitées par l’axe des abscisses, les droites d’équation x =a et x =b d’une part et les courbes d’équation y = f(x) et y = mf soient de même valeur.
Exemple 6
La valeur moyenne sur[ 0 ; 1 ]de la fonction carré est :µ= Z 1
0
x2 dx= x3
3 3
1
= 1 3.
