Chapitre 5 Fonction logarithme Leçon 21 Logarithme

Chapitre 5 Fonction logarithme

Leçon 21 Logarithme

1. Généralités Définition

On appelle logarithme de base a, (a0 et a1) du réel strictement positif b

l’unique solution de l’équation d’inconnue c: a^c =b.

On note cette solution log_ab qui se lit « logarithme de base a de b» .

On a donc : a

c c

a

b=  =log et aussi a^logab=b. Exemple 1 : 9=3² 2=log₃9

25 log 2 5

25= ²  = ₅

8=2³3=log₂8

Exemple 2 : Résoudre les équations

a. log 64_y =3 b. 3^x=5 c. log (2 x− =6) 3 d. 2^x+1=3

Solution

a. log_y64=3 y³ =64

y³=4³y=4, donc S= 4

b. 3^x =5x=log₃5, donc S=





c. log₂

(

)

x=8+6=14, donc S= ¹⁴ d. 2^x+1=3log₂3=x+1

x=log₂3−1, donc S =log₂3−1. Propriété

Pour tous réels strictement positifs x, y,a,b et c avec a1,b1 et c1, on a

1. log 1_a =0 2. log_aa=1

3. log_a(xy)=log_ax+log_ay 4. x y y

x

a a

a log log

log = −

5. log_a x^k =klog_a x, k 6.

a x x

c c

a log

log =log

7. = x k^

x k _a

a^k 1log ,

log

8. a^logax =x, x0

9. log ¹

a log

b

b= a

10. x^logay = y^logax, x0, y0

Remarque

1. log_a(x+y)log_ax+log_a y 2. log_a(xy)(log_ax)(log_a y)

3. log_a(x−y)log_ax−log_a y 4.

y x y

x

a a

a log

log  log 5. log_a x^k (log_a x)^k, k

2. Logarithme népérien

On appelle logarithme népérien ou logarithme naturel le logarithme de base

e (e=2.71828). On note ln : lnx=log_ex

3. Logarithme décimal

On appelle logarithme décimal le logarithme de base 10. On note log ou lg:

x x log₁₀

log = .

➢ Le logarithme népérien et le logarithme décimal généralisent celle de base

) 1 0

(

, a et a

a tout en bénéficiant des mêmes propriétés algébriques.

4. Calcul logarithme

Exemple 1 : Calculer l’expression A=lg15 lg12 lg 5 lg 9+ + −

Solution

A=lg15 lg12 lg 5 lg 9+ + −

⁼(^{lg15 lg12+ +lg 5})^{−lg 9}

15 12 5

lg 9

   

=  

 

lg ⁹⁰⁰ 9

 

=   =lg100 =lg10² =2lg10=2(1)=2

A= lg15 lg12 lg 5 lg 9+ + − =2

Exemple 2 : Calculer B⁼ _{5 3} 1 ₂

log 625 log log 32 + 9−

Solution

^{B= 5 3 2}

log 625 log 1 log 32 + 9−

4 2 5

5 3 2

log 5 log 3⁻ log 2

= + −

=4log 5 2log 3 5log 2⁵ − ³ − ²

=4(1) 2(1) 5(1)− − = − − = −4 2 5 2

B= _{5 3}1 ₂

log 625 log log 32 2

+ 9− = −

Exemple 3 : Étant donné ^{ =lg3}

( )

7 5 25

 = − +

Calculer



= Q . Solution

( )

( )( ) ( )( )

1 4 1

4 3

1 2 3 2 4 3

3 3 3

lg 9 27 lg 3 3 lg 3 3

 = ⁻ = ^ ^{− } = ^ ^{− }

^{lg 3}

( )

= = = 3

36 6 21 36 5 2 21

lg 2 lg lg lg lg lg

7 5 25 7 6 25

 = − + = + ^{ }   +

36 5 2 21 36 25 21

lg lg

7 6 25 7 36 25

       

=          =    

lg 21 lg 3 7

 

=  =

2 3 3 lg 2

3 lg 3 3 3lg 2

3

lg = =

=

= Q 

Exemple 4 : Calculer P=^log4

(

)

Solution

P=^log4

(

)

(

(

) )

^=log4

(

)

(

)

=log 2 log 34

(

)

2 2

= =

P⁼ 4

(

)

log log log 512 1

= 2

5. Application

Exemple 1 : Calculer l’expression  = ³

( )

5

3 0, 0257 0, 632 17 1,93

 



Solution

( )

3 3 0, 0257 0, 632 17 1,93

= ^{ }



( )

( ( ) ) ^{( )}

3 3 4 5

5

3 0, 0257 0, 632

lg lg lg 3 0, 0253 0, 632 lg 17 1,93

17 1,93

 = ^{ } =   − 



=lg 3 lg 0, 0257+ ³ +lg 0, 632( )⁴−lg17 lg 1, 93− ⁵

^{lg 3 1}lg 2, 57 10

(

)

(

) (

)

3 5

− −

= +  +  −  −

^{0, 4771 1}(^{0, 4099 2}) (^{4 0,8007 1}) (^{0, 2304 1}) (^{1 0, 2856})

3 5

= + − + − − + −

= −2,1376= −0,1376 2− = −0,1376 1 2 1 0,8624 3+ − − = −

^{lg =3,8624}

On suppose lgN=0,8624

Sur la table de logarithmes, on trouve lg 7, 28=0,8621 et ^{lg 7, 29=0,8627} On obtient donc 0,8621lgN0,8627

et ^{7, 28 0,8624 0,8621} _{7, 285}

7, 29 7, 28 0,8627 0,8621

N− = − N =

− −

Donc = ³

( )

5

3 0, 0257 0, 632

7, 285 10 17 1,93

  −

 



6. Utilisation d’une table de logarithmes décimaux 1) Caractéristique et mantisse d’un logarithme

Les tables de logarithmes déciaux ne donnent pas la partie entière de lg x mais donnent seulement sa mantisse. Il vous appartient déterminer vous- même la partie entière.

Soit x un nombre réel strictement positif, il existe un entier relatif unique n tel que 10ⁿx10ⁿ⁺¹ ; il existe donc un nombre réel unique x'0 tel que :

'

10 x

x= ⁿ avec 1x'10

D’où lgx=lg 10ⁿx'_=lg10ⁿ+lgx'=n+lgx'



 



 avec 0lgx'1

- Si x1, la caractéristique est le nombre de chiffres, diminué de 1, de la parie entière de x dans le système décimal.

- Si 0x1, la caractéristique est un entier strictement négatif, sa valeur absolue est le rang du premier chiffre non nul situé après la virgule dans l’écriture décimale de x.

- Lorsque la caractéristique est négative au lieu d’écrire n=−n' on l’écrit '

n.

Exemple : lg5177=lg(1035,177)=3+log5,177

lg5177=3+0,7141=3,7141

lg0,5177=log(10−15,177)=−1+lg5,177 7141

, 1 7141 , 0 1 5177 0,

lg =− + =

- La partie entière de lg est appelée caractéristique de x lg x - La partie décimale de lg est appelée mantisse de x lg x 2) Recherche du rogarithme d’un nombre

Exemple : on cherche lg7285

On lit dans a table :

- L’intersection de la ligne 72 et de la colonne 8, on trouve pour mantisse de lg728 : 8621

- Sur la colonne 5 de la différence tabulaire on trouve 3

Donc lg7285=3,8621+0,0005=3,8624

Exercices

1. Mettre l’expression logarithme sous forme de la puissance et réciproquement pour l’expression puissance.

a. 5=log 32₂ b. ¹ log₂ ¹

2 2

− = c. ¹ log₃ ³3 3=

d. log 5₅ =1 e. 7² =49 f. ¹₂ ¹

5 =25

2. Résoudre les équations suivantes.

a. log₃¹

z= 9 b. log ₅w=2

c. log 16_x =2

d. log_{2 2} ¹ 64=x

e. 2^y =3 f. ^{1 1}

7^z =15

3. Calculer les expressions suivantes.

a. lg 256 4lg 400− b. ^log3

(

)

c.

(

)(

)(

) (

)

(

)

e. ^{lg 27 lg 8 lg 125}

lg 6 log 5

+ −

− f. ^{26 5 7}

1 1

log 25 log 2 log 8

8 +4 +4

g. log5

(

)

(

)

h. ( ³ )( ²⁵ )

(

)

(

)

log 5 log 81 log 7 log 36 log 3 log 5 4 log 5 9

  +

 

 

4. Soit lg 3=. Calculer _{1 3} ³

9

log 9 log+ 3 lg 0,81−

5. Soit K. 2^{3log 62} =648. Calculer K⁻¹. 2^{3log 62} 6. Soit

16

3 4 1

8 A  ⁻ 

=   . Calculer _{4 1}

2

log log A

 

 

7. Soit ^{ =}

( )

8. Soit log 27₆ = pet 2^{log 5764} =2^{ +} 3^{ −} . Calculer ^_

(

)

9. Montrer que :

a. Si x=^loga

(

)

= +

b. Si log_ax=log_ay alors log_bx=log_by

10. À l’aide du tableau logarithme, calculer :

a.

3 5

100 1000 10000

 b. ( )

( )

3 3

2 4

6, 45 0, 00034 9,37 8,93



 c.

( )

5

0, 01 2, 72 2,96

− −

−

d. ( )

( )

4 3

5 2

2, 59 0, 0836 1,15



e. ( )

( )

2 4

3 3

1,59 0, 0896 0,382 0,535

+ f. (^{−5, 32})^{34 0, 0294} g. ^{7,0620, 428}

h. ¹⁰10+¹⁰10

i. (^{0, 0325})^0,0325