Chapitre 5 Fonction logarithme
Leçon 21 Logarithme
1. Généralités Définition
On appelle logarithme de base a, (a0 et a1) du réel strictement positif b
l’unique solution de l’équation d’inconnue c: ac =b.
On note cette solution logab qui se lit « logarithme de base a de b» .
On a donc : a
c c
a
b= =log et aussi alogab=b. Exemple 1 : 9=32 2=log39
25 log 2 5
25= 2 = 5
8=233=log28
Exemple 2 : Résoudre les équations
a. log 64y =3 b. 3x=5 c. log (2 x− =6) 3 d. 2x+1=3
Solution
a. logy64=3 y3 =64
y3=43y=4, donc S= 4
b. 3x =5x=log35, donc S=
log35
c. log2
(
x−6)
=323=x−6x=8+6=14, donc S= 14 d. 2x+1=3log23=x+1
x=log23−1, donc S =log23−1. Propriété
Pour tous réels strictement positifs x, y,a,b et c avec a1,b1 et c1, on a
1. log 1a =0 2. logaa=1
3. loga(xy)=logax+logay 4. x y y
x
a a
a log log
log = −
5. loga xk =kloga x, k 6.
a x x
c c
a log
log =log
7. = x k
x k a
ak 1log ,
log
8. alogax =x, x0
9. log 1
a log
b
b= a
10. xlogay = ylogax, x0, y0
Remarque
1. loga(x+y)logax+loga y 2. loga(xy)(logax)(loga y)
3. loga(x−y)logax−loga y 4.
y x y
x
a a
a log
log log 5. loga xk (loga x)k, k
2. Logarithme népérien
On appelle logarithme népérien ou logarithme naturel le logarithme de base
e (e=2.71828). On note ln : lnx=logex
3. Logarithme décimal
On appelle logarithme décimal le logarithme de base 10. On note log ou lg:
x x log10
log = .
➢ Le logarithme népérien et le logarithme décimal généralisent celle de base
) 1 0
(
, a et a
a tout en bénéficiant des mêmes propriétés algébriques.
4. Calcul logarithme
Exemple 1 : Calculer l’expression A=lg15 lg12 lg 5 lg 9+ + −
Solution
A=lg15 lg12 lg 5 lg 9+ + −
=(lg15 lg12+ +lg 5)−lg 9
15 12 5
lg 9
=
lg 900 9
= =lg100 =lg102 =2lg10=2(1)=2
A= lg15 lg12 lg 5 lg 9+ + − =2
Exemple 2 : Calculer B= 5 3 1 2
log 625 log log 32 + 9−
Solution
B= 5 3 2
log 625 log 1 log 32 + 9−
4 2 5
5 3 2
log 5 log 3− log 2
= + −
=4log 5 2log 3 5log 25 − 3 − 2
=4(1) 2(1) 5(1)− − = − − = −4 2 5 2
B= 5 31 2
log 625 log log 32 2
+ 9− = −
Exemple 3 : Étant donné =lg3
( )
9−1 ( )27 43 et lg36 2 lg6 lg217 5 25
= − +
Calculer
= Q . Solution
( )
( )( )( ) ( )( )
1 4 1
4 3
1 2 3 2 4 3
3 3 3
lg 9 27 lg 3 3 lg 3 3
= − = − = −
lg 3
( )
2 13 lg 323 2lg 3= = = 3
36 6 21 36 5 2 21
lg 2 lg lg lg lg lg
7 5 25 7 6 25
= − + = + +
36 5 2 21 36 25 21
lg lg
7 6 25 7 36 25
= =
lg 21 lg 3 7
= =
2 3 3 lg 2
3 lg 3 3 3lg 2
3
lg = =
=
= Q
Exemple 4 : Calculer P=log4
(
log3(log 5122 ))
Solution
P=log4
(
log3(log 5122 ))
=log4(
log3(
log 22 9) )
=log4
(
log3(9 log 22 ))
=log4(log 93 )=log4(
log 33 2)
=log 2 log 34
(
3)
=log 24 =log 222 1log 22 1.2 2
= =
P= 4
(
3( 2 ))
log log log 512 1
= 2
5. Application
Exemple 1 : Calculer l’expression = 3
( )
45
3 0, 0257 0, 632 17 1,93
Solution
( )
43 3 0, 0257 0, 632 17 1,93
=
( )
4( ( ) ) ( )
3 3 4 5
5
3 0, 0257 0, 632
lg lg lg 3 0, 0253 0, 632 lg 17 1,93
17 1,93
= = −
=lg 3 lg 0, 0257+ 3 +lg 0, 632( )4−lg17 lg 1, 93− 5
lg 3 1lg 2, 57 10
(
2)
4 lg 6, 32 10(
1) (
lg 1, 7 101)
1lg1, 933 5
− −
= + + − −
0, 4771 1(0, 4099 2) (4 0,8007 1) (0, 2304 1) (1 0, 2856)
3 5
= + − + − − + −
= −2,1376= −0,1376 2− = −0,1376 1 2 1 0,8624 3+ − − = −
lg =3,8624
On suppose lgN=0,8624
Sur la table de logarithmes, on trouve lg 7, 28=0,8621 et lg 7, 29=0,8627 On obtient donc 0,8621lgN0,8627
et 7, 28 0,8624 0,8621 7, 285
7, 29 7, 28 0,8627 0,8621
N− = − N =
− −
Donc = 3
( )
4 35
3 0, 0257 0, 632
7, 285 10 17 1,93
−
6. Utilisation d’une table de logarithmes décimaux 1) Caractéristique et mantisse d’un logarithme
Les tables de logarithmes déciaux ne donnent pas la partie entière de lg x mais donnent seulement sa mantisse. Il vous appartient déterminer vous- même la partie entière.
Soit x un nombre réel strictement positif, il existe un entier relatif unique n tel que 10nx10n+1 ; il existe donc un nombre réel unique x'0 tel que :
'
10 x
x= n avec 1x'10
D’où lgx=lg 10nx'=lg10n+lgx'=n+lgx'
avec 0lgx'1
- Si x1, la caractéristique est le nombre de chiffres, diminué de 1, de la parie entière de x dans le système décimal.
- Si 0x1, la caractéristique est un entier strictement négatif, sa valeur absolue est le rang du premier chiffre non nul situé après la virgule dans l’écriture décimale de x.
- Lorsque la caractéristique est négative au lieu d’écrire n=−n' on l’écrit '
n.
Exemple : lg5177=lg(1035,177)=3+log5,177
lg5177=3+0,7141=3,7141
lg0,5177=log(10−15,177)=−1+lg5,177 7141
, 1 7141 , 0 1 5177 0,
lg =− + =
- La partie entière de lg est appelée caractéristique de x lg x - La partie décimale de lg est appelée mantisse de x lg x 2) Recherche du rogarithme d’un nombre
Exemple : on cherche lg7285
On lit dans a table :
- L’intersection de la ligne 72 et de la colonne 8, on trouve pour mantisse de lg728 : 8621
- Sur la colonne 5 de la différence tabulaire on trouve 3
Donc lg7285=3,8621+0,0005=3,8624
Exercices
1. Mettre l’expression logarithme sous forme de la puissance et réciproquement pour l’expression puissance.
a. 5=log 322 b. 1 log2 1
2 2
− = c. 1 log3 33 3=
d. log 55 =1 e. 72 =49 f. 12 1
5 =25
2. Résoudre les équations suivantes.
a. log31
z= 9 b. log 5w=2
c. log 16x =2
d. log2 2 1 64=x
e. 2y =3 f. 1 1
7z =15
3. Calculer les expressions suivantes.
a. lg 256 4lg 400− b. log3
(
6 27 816)
111c.
(
log 4 log 5 log 6 ... log3)(
4)(
5) (
242243)
d. log3(
log2(log 6255 ))
e. lg 27 lg 8 lg 125
lg 6 log 5
+ −
− f. 26 5 7
1 1
log 25 log 2 log 8
8 +4 +4
g. log5
(
log 23 7)
−log5(
log 23 3)
+log 22 log537 +43log 34 −13log 272h. ( 3 )( 25 )
(
9)
( 49 )(
6)
3 5 log 53log 5 log 81 log 7 log 36 log 3 log 5 4 log 5 9
+
4. Soit lg 3=. Calculer 1 3 3
9
log 9 log+ 3 lg 0,81−
5. Soit K. 23log 62 =648. Calculer K−1. 23log 62 6. Soit
16
3 4 1
8 A −
= . Calculer 4 1
2
log log A
7. Soit =
( )
7 lg10000log2 7 . Calculer = , 08. Soit log 276 = pet 2log 5764 =2 + 3 − . Calculer
(
3− p)
log 108 22 − p9. Montrer que :
a. Si x=loga
(
a by−)
−loga y alors y xa a b= +
b. Si logax=logay alors logbx=logby
10. À l’aide du tableau logarithme, calculer :
a.
3 5
100 1000 10000
b. ( )
( )
3 3
2 4
6, 45 0, 00034 9,37 8,93
c.
( )
3 25
0, 01 2, 72 2,96
− −
−
d. ( )
( )
4 3
5 2
2, 59 0, 0836 1,15
e. ( )
( )
2 4
3 3
1,59 0, 0896 0,382 0,535
+ f. (−5, 32)34 0, 0294 g. 7,0620, 428
h. 1010+1010
i. (0, 0325)0,0325