Terminale S -Méthode 3 Programme 2020
1/ 3
Logarithme décimal
Introduction Dans de nombreux chapitres, on utilise la fonction logarithme. Voyons ici son intérêt et ses caractéristiques.
1. Invention de la fonction logarithme
•
Aujourd'hui, il est difficile d'imaginer à quel point l'invention des logarithmes fut une révolution dans le
domaine du calcul. Pourtant, le logarithme possède une propriété importante : il transforme un produit en une somme. Ainsi, log (xy) = log(x) + log(y). Plutôt que d'effectuer une multiplication, on pourra effectuer une addition en passant par la fonction logarithme.
•
La notation en puissance de dix donne une idée de la notion de logarithme. C'est un moyen de nommer les grands nombres en créant une notation avec des nombres plus petits.
•
1 000 000 000 000 000 devient 10
15•
On lit dix puissance quinze. On dit aussi que 15 est le logarithme à base dix de ce grand nombre.
•
Le logarithme a une propriété intéressante pour les calculs: car dans la multiplication de puissances de dix la quantité de zéros s'ajoute
10 000 x 100 000 = 1 000 000 000 4 zéros + 5 zéros => 9 zéros log 4 + log 5 = log 9 10
4x 10
5= 10
9•
Les multiplications de nombres sont transformées en simples additions de logarithmes. En généralisant à tous les nombres, on obtient des nombres décimaux pour logarithmes. Exemples:
N
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
log10 N 2 2,3 2,5 2,6 2,7 2,78 2,85 2,9 2,95 3Différence
0,3 0,2 0,1 0,1 0,08 0,07 0,05 0,05 0,05
La 2
eligne donne le logarithme base 10 des nombres de la première.
La dernière ligne est destinée à montrer le tassement des valeurs vers les grandes valeurs en échelle logarithmique.
2. La fonction : log (x)
La fonction y = log( x ) est la réciproque de la fonction y = 10
x.
Exemple :00 , 2 ) 100
log( =
donc 10
2,00= 100 Ainsi, on aura :
•
log( 10
x) = x
•
10
log(x)= x
Terminale S -Méthode 3 Programme 2020
2/ 3 Propriétés de la fonction :
0 ) 1 log( =
−
→
log( ) = lim
0x
x
+
=
→
log( )
lim x
x
) log(
) log(
)
log( a + b = ab
=
− b
b a a ) log( ) log log(
) log(
)
log( a
n= n a
Exercice:
A l’aide des propriétés données ci-dessus, montrer que :
=
− a a 1
log )
log( et que : log( a
3) = 3 log( a )
3. L’échelle logarithmique
L’échelle logarithmique est utilisée pour représenter une fonction s’étalant sur plusieurs ordres de grandeur.
Exercices:
a) Sur un axe [Ox) gradué de manière classique (dont on choisira l’échelle), placer les points suivants : x = 2 ; x = 15 ; x = 54 ; x = 320 ; x = 6700 ; x = 9200
b) Quel problème rencontre-t-on ?
c) Tracer un axe horizontal en procédant comme suit :
d = log(2)
1 2 3
d = log(3)
10 20
d = log(10)
d = log(2)
d = log(20)
Etc…
Terminale S -Méthode 3 Programme 2020
3/ 3 d) Montrer que log( 20 ) = log( 10 ) + log( 2 )
e) Placer les abscisses de la question a) sur cet axe. Que remarque-t-on ? Conclure.
4. Quelques exemples 4.1 le pH
Par définition, le pH d’une solution aqueuse vaut : pH = H
3O
+
log 1 pH = − log H
3O
+
Avec H
3O
+ en mol/L Exercices :
a) Déterminer la relation donnant la concentration des ions oxonium en fonction du pH de la solution.
b) Calculer la concentration en ions oxonium dans un jus de citron de pH = 2,4.
c) Soit x la concentration en ion oxonium dans une solution aqueuse. Montrer que si cette concentration est divisée par 10, le pH augmente de 1,0.
d) Tracer un axe horizontal gradué en unité de pH.
e) Pour chaque unité de pH, indiquer sous l’axe la concentration en ions oxonium associée. Quelle est la nature de cette échelle ?
4.2 Le niveau sonore
Le niveau sonore L (ou niveau d’intensité sonore) exprimé en décibel (dB) est défini par la relation :
=
0
log
10 I
L I
Avec :
I l’intensité du son capté par l’oreilleI0
l’intensité minimale perceptible par l’oreille
2 12
0
