Leçon 22 Fonction logarithme 1.

(1)

Leçon 22 Fonction logarithme

1. Fonction réciproque

Soit deux fonctions f x( )=x³ et ^{g x}^{( )}⁼ ³ ^x, on a : - Elles sont croissants sur D_f =

- Les courbes representatives de g x( )= ³ x et deg x( )= ³ x sont symétriques par rapport à la droite y =x

- . (^f ^^g)⁽^x⁾⁼ ^f



^g⁽^x⁾



⁼ ^f

( ) ( )

³ ^x ⁼ ³ ^x ³ ⁼ ^x

. (^g^ ^f)⁽^x⁾⁼^g



^f⁽^x⁾



⁼^g

( )

^x³ ⁼³ ^x³ ⁼^x

(f g)(x)=(g f)(x)=x

On dit que les fonctions f et g sont réciproques Définition

Soit deux fonctions f et g.

Les fonctions f et g sont réciproques si et seulement si

(

D D

)

(f g) x (g f) x x

x _f  _g = =

 ,  ( )  ( ) .

On note : ^{g x}^{( )}⁼ ^f⁻¹^{( )}^x ou ^{f x}^{( )}⁼^g⁻¹^{( )}^x . Théorème

Si f(x) est croissante ou décroissante sur l’intervalle



^a^,^b



alors il existe la fonction réciproque f⁻¹(x)de f(x) sur



^a^,^b



.

2. Fonction logarithme Définition

Soit a un nombre réel quelconque, strictement positif et différent de 1, on appelle fonction logarithme de base a la bijection réciproque de la fonction exponentielle de base a :

y x

y a y

x )( ), ^x log_a

(   ^₊ =  =

Nous insistons sur le fait que log_ax n’a du sens que si x0.

Représentation grapique

(2)

- Cas a1, la fonction y=log_ax est croissante sur



0,+



, elle prend les valeurs dans



−,+



- Cas 0a1, la fonction y=log_ax est décroissante sur



0,+



, elle prend les valeurs dans



−,+



Exemple 1 : Soit deux fonctions f x( )=log₂x et ¹

2

( ) log

g x = x

a. Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble de valeur de

g et

f .

b. Tracer la courbe représentative de f et g

Solution

a. Ensemble de définition : Df =Dg =



^0, + 



Ensemble dd valeur : Rf =Rg = − + 



^,



b. Représentation graphique

(3)

x 1 4

1 2

1 2 4 8

( ) log2

f x = x −2 −1 0 1 2 3

1 2

( ) log

g x = x ² ¹ ⁰ ⁻¹ ⁻² ⁻³

Exemple 2 : Déterminer l’ensemble de définition de la fonction

(

²

)

⁽ ⁾

( ) lg 4 3 lg 1

f x = − x−x − −x

Solution

ax

log n’a du sens que si x0, donc on résout :

( )( )







 +

 −







−

 +







−



−

1

0 4 1 1

0 4 3 0

1

0 3

4 ² ²

x x x x

x x x

x x

On a : Df ⁼



⁻⁴^,¹



3. Comparaison des logarithmes 1) Cas a0

La fonction y=log_ax est croissante . log_ax₁log_ax₂ x₁x₂

. log_ax₁log_ax₂  x₁x₂

2) Cas a0

La fonction y=log_ax est décroissante . log_a x₁log_a x₂  x₁x₂

. log_ax₁log_ax₂ x₁x₂

Exemple 1 : Comparer ₁

3

log 5 et ₁

3

log 11 4 1

−

+  −  +



(4)

Solution

On a : log 5 log 11

11 5

3 1 1

3 1 3

1 

 







= a

Exemple 2 : Comparer log 11₂ et log 17₂

Solution

On a : log 11 log 17

17 11

1 2

2

2 

 







= a

Exemple 3 : Comparer a. log 3 log 3

3 1

5 et

b. 2

log 1 2

log 1

3 1

5 et

Solution

a. On a : log 3 log 3

1 3

te décroissan est

3 log

croissante est

3 log

3 1 5

















b. On a :

2 log 1 2 log 1

2 1 1

te décroissan 2 est

log 1

croissante 2 est

log 1

3 1 5





















On peut comparer à l’aide du graphique :

On constate que : log 3 log 3

3 1

5  et

2 log 1 2 log 1

3 1

5 

(5)

Exemple 4 : Comparer a. log₅2 et log₂2

b. 2

log 1 2

log₅1 et ₂

a. On a : log 2 log 2

1 2

croissante est

2 log

croissante est

2 log

2 5



 









b. On a :

2 log 1 2 log 1

2 1 1

croissante 2 est

log 1

croissante 2 est

log 1

2 5





















On peut comparer à l’aide du graphique :

On constate que : log₅3log₂2 et

2 log 1 2 log₅ 1  ₂

4. La fonction y=^loga

(

x h− +

)

k^{, (}a^0, a^1, k ^0, h⁰⁾

Exemple 1 : Représentation graphique de la fonction y=log3

(

x+ −5

)

2

(6)

La courbe représentative de la fonction y=log3

(

x+ −5

)

2 s’obtienne :

- en glissant horizontalement vers la gauche de 5 unités et verticalement de 2 unités vers le bas.

Exemple 2 : Représentation graphique de la fonction 1

( )

2

log 2 1

y= x− +

La courbe représentative de la fonction 1

( )

2

log 2 1

y= x− + s’obtienne :

- en glissant horizontalement vers la droite de 2 unités et verticalement de 1 unité vers le haut.

2 3 4 5 6 7

-1 2 3 4

-1 -2 -3

0 1

1

x y

(7)

Exercices

1. Pour chacune des fonctions suivantes :

a. Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble des valeurs b. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative.

1) f x( )=log₃x 2) 1 3

( ) log

g x = x

3) h x( )=log ₃ x 4) k x( )=log ₅ x

5) r x( ) log= ₄x 6) ^{p x}^{( )}⁼^log ² ^x 2. Comparer :

a. ₁

3

log 5 2

  

  et ₁

2

log 5 2

  

  b. ₁

3

log 1 2

  

  et ₁

2

log 1 2

  

 

c. log_0,53 log+ _0,55 et log0,5(3 5+ ) d. ln 25 ln10− et ln 5

e. ²⁵ ^{0 ,2}

2log 27 log 9

5 ⁺ 2 et ² ⁴

log 3 log 5

4 11

+     f. lg 3 lg ¹ 30000

− et log 243₃

g. ⁷ ⁴⁹ ³⁴³

log 12 log 16 log 512

7 ⁺ 9⁻ et ² ¹²

2log 5 log 9

2

+

h. log ₂8 3 et 7 log7(log 1282 ) 3. Comparer tel que a0.

a.

1

log _a 6

a+

et

1

log _a 7

a+

b. log_a ₁ 11

a

+ et log_a ₁ 12

a +

c. log ₃ 1 a

a+ et log ₂ 1 a

a+ d. log ₃ a ¹ a

+ et log ₂ a ¹ a

+

4. Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.

a. ^{f x}^{( )}⁼^ln

(

^x²⁺²^x⁻¹⁵

)

b. ^{p x}^{( )}⁼ ^lg

(

^x²⁻⁵^x⁺⁷

)

c. g x( )=log3

(

x+ +2

)

log3

(

x− −3

)

log3

(

4−x

)

d. q x( )= 2 ln+ x²

e. ^{h x}^{( )}⁼^lg(^x^{+ +}¹) ^lg(^x⁺²)⁻^{lg 4}

(

⁻^x²

)

^f.^{S x}^{( ) ln 2}⁼

⁽

^x^{− −}⁴

^{) (}

^{ln 3}⁻^x

⁾

5. Tracer la courbe représentative de chacune des fonctions suivantes.

a. y=log2

(

x− +3

)

2 b. y=log₅x−1

c. 1

( )

3

log 1 1

y= x+ + d. y=log4

(

x− +2

)

3

e. y=log3

(

x+ −4

)

5 f. y=log₄x+4