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Chapitre 3 Les nombres Leçon 7 Ensembles de nombres
Rappelons que les ensembles de nombres sont représentés par le schéma ci-dessous (en C2).
Ensembles de nombres
Nombres entiers relatifs Fractions non entières Nombres entiers zéro Nombres entiers
négatifs positifs 1. Ensemble de nombres réels
ensemble des notation propriétés entiers
naturels
N 0 est le plus petit de tous les entiers naturels.
Il n’y a pas de nombre plus grand que tous les nombres.
N=
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Entiers relatifs
Z À tout entier naturel n
correspond un entier relatif −n. O est à la fois positif et négatif.
Z=−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4
décimaux D Tout décimal peut s’écrire en fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
Un décimal se connaît par son écriture décimale finie.
Exemples : 0;1;−4;−107;0,923;
4
; 1 10
; 3 10
; 55 ,
4 3 −
− −
rationnels Q Tout rationnel peut s’écrire sous d’une fraction
b
a, a entier
relatif et bnaturel non nul.
Q
= /a Z,b N* b
a
Exemples : 0;1;−4;0,923;
666 , 17 4;
; 1 3
;10 10 7 ;
1 3
− − réels R Tous les nombres connus en
classe de Seconde
L’ensemble des réels se représente par une droite :
Nombres réels
Nombres rationnels Nombres irrationnels
+
− 0
2 x
Remarque :
NZDQR, « » se lit « est inclus dans ».
Nombre irrationnel
Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s’écrire sous forme d’un décimal périodique ou sous forme d’une fraction
b
a où a est un relatif et b un naturel non nul.
Les nombres rationnels et les nombres irrationnels sont appelés nombres réels.
Exemples : 1,2345678911121314… ; 3,4323223222…
16,79779777977779… ; -4,399339933399…
• 3,14 : est la valeur exacte ; 3,14 n’est qu’une valeur approchée.
• Les nombres, écrits symboliquement,
3
;10 2 2
;
2 − sont des valeurs exactes.
2. La droite des réels
- Chaque point d’une droite graduée est repéré par un réel appelé l’abscisse de ce point.
- Le point O d’abscisse 0 est l’origine de la droite graduée.
Cette droite est aussi appelée l’axe numérique.
un réel x un point M d’abscisse x
3. Intervalle de R
Deux points sur une droite délimitent des segments et des demi-droites.
De même, deux réels a et b (ab) délimitent des intervalles bornés ou non bornés.
• Un intervalle est une partie de R « d’un seul morceau ».
• Lorsque le crochet « agrafe » la borne, la borne est comprise : ainsi l’intervalle
a;b
est fermé.
+
−
0 I M
A B
3 a
a
a a
b
a b
a b
a b
a
• À l’infini, le crochet est toujours ouvert : on ne peut pas fermer l’infini.
représentation notation inégalités
Intervalles
bornés
º º º º
a;b
a;b
a;b
a;b
b x a
b x a
b x a
b x a Intervalles
non bornés • º
• º
a;+
a;+
−;a
−;a
−; +
a x
a x
a x
a x
+
− x
3. Intersection et réunion d’intervalles
Exemples : Représenter sur une droite graduée l’ensemble des nombre vérifiant la condition donnée.
1.
;4
1;4
2 2 1
;
1 = −
−
2.
;4
1;4
2 2 1
;
1 = −
−
3.
;4
1;4
2 2 1
;
1 = −
−
+
−
0
2 1 1
− 0 2 4 5
2 1 1
− 0 2 4 5
2 1 1
− 0 2 4 5
4
4.
−1;2
3;4 = −1;4
− 2;35.
=
− ;2
2 4 1 2; 2 1
; 1
6.
−
= ;22 4 1 2; 2 1
; 1
7.
=
− ;2
2 4 1 2; 2 1
; 1
8.
−1;2
3;4 =
9.
−1;3
3;4 = 3Exercices
1. Pour chacun des nombres suivants, trouver le plus petit ensemble de nombres N, Z, D, Q, R auquel il appartient :
a. ; 4; 0; 9
3
; 1 7 2;
; 3
5 −
− b. −6; 0,333; 3,087; 0. c. 25; −3; −65; 2; 14; 0 d. ; 0,98; 0,99; 7
4
; 3 2
; 1
5 −
− .
e. 1; 2; 7; 15; 120; 6; 9 f. ; ; 16; 5; 169
5
; 12
15 −
− .
2 1 1
− 0 2 4 5
3 2
1 1
− 0 2 4 5
3 2
1
−1 0 2 4 5
2 1 1
− 0 2 4 5
2 1 1
− 0 2 4 5
3 2
1 1
− 0 2 4 5
5
x
x O I
2. Représenter les ensembles suivants sur la droite des réels.
a.
3;+
b.
−;−1
c.
−3;−4
d.
2;83. Traduire chacun des schémas suivants en intervalle.
a.
b.
c.
d.
4. Soit A=x/x−3; B=x/x0, C=
x/−1x4
et C=x/1x3. À l’aide d’un schéma, déterminer les ensembles suivants.a. AB b. AB c. BC d. BC e. CD f. CD g. BD h. AD.
4. Valeur absolue
Sur la droite munie du repère (O;I), pour tout réel x, le point M d’abscisse x est unique.
4.1 Définition
La valeur absolue du nombre xest la distance OM : x =OM .
Exemples : −5 =5,
3 4 3 4 = ,
2 1 2 1 3
3+5 = − =
−
Pour trouver la valeur absolue d’un nombre, résultat d’un calcul, il faut d’abord effectuer ce calcul.
4.2 Propriétés
• Une valeur absolue est toujours positive ou nulle : x 0.
• Si x est positif, alors x =x.
Si x est positif, alors x =−x (l’opposé de x).
• La valeur absolue d’un produit est égale au produit des valeurs absolues : y
x y
x = . Exemples :
1. 2− 5 =−
(
2− 5)
=−2+ 5 car 2− 50.2. −3
(
x−4)
= −3 x−4 =3x−412
---3 6
---3 6
−5
6
D’après ces propriétés, on remarque que :
• Un nombre et son opposé ont même valeur absolue : x = −x ;
• Un nombre, son opposé et sa valeur absolue ont le même carré : x2=
( )
−x2 = x2. 5. Écart ou distance dans RDéfinition
L’écart entre deux réels est égal à la valeur absolue de leur différence : AB = b−a
Exemple :
Écart de −3à 2,5 : −3−2,5 = −5,5 =5,5 ou 2,5−(−3) =5,5=5,5.
• Pour exprimer l’écart d’un nombre x (variable ou inconnue) à un nombre a, on écrit x−a et on ne peut pas enlever les barres.
5.1 Inégalité triangulaire
La valeur absolue d’une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues : y
x y
x+ + .
Exemples :
1. −3+ 2 −3+ 2 ; d’où −3+ 2 3+ 2 . 2. x−4 x + −4 ; d’où x−4 x +4.
6. Équation avec valeur absolue
Une valeur absolue est une équation de la forme x−a =,0 Méthode de résolution
• L’équation x−a =b,b0 a pour solutions les réels x tels que : b
a
x− = ou x−a=−b.
Point de vue géométrique
Sur la droite munie du repère (O; I), on considère les points M(x) et
( )
A a .
L’expression x−a =b s’interprète comme la distance du nombre cherché a.
Exemples : Résoudre les équations : 1. x−3 = 2
Solution 3 2
x− = équivaut à x−3=2 ou x−3=−2 • x− =3 2 ou • x− = −3 2
b−a
A(a) B(b)
O I
x
A( )
ax
b b
7
2 3 5 x x
= +
= 2 3 1 x x
= − +
=
Les solutions de l’équation sont 5 et 1 ; S =
5;1Les points B 1
( )
et C 5( )
sont 2 unités, distants de A 3( )
. 2. 2x− =3 5Solution
2x− =3 5 équivaut à 2x−3=5 ou 2x−3=−5 • 2x− =3 5 ou • 2x− = −3 5
2 3 5 2 8
4 x x x
= +
=
=
2 5 3
2 2
1 x x x
= − +
= −
= −
On peut résoudre cette équation par la méthode suivante : on divise les deux membres de l’équation par 2.
2x− =3 5 équivaut à
2 5 2 3 =
x− ; on obtient : • 3 5
2 2
x− = ou • 3 5
2 2
x− = −
5 3 2 2 8 2 4 x x x
= +
=
=
5 3 2 2 2 2 1 x x x
= − +
= −
= −
Les solutions de l’équation sont 4 et -1 ; S =
4;−1
Les points B
( )
−1 et C 4( )
sont 52 unités, distants de A 3 2
. 3. x +1 = 3
Solution
x +1 = 3 équivaut à x+1=3 ou x+1=−3
A
2 4
C B
-1 1
A
5 B C
1 3
8
• x+ =1 3 ou • x+ = −1 3
3 1 2 x x
= −
= 3 1 4 x x
= − −
= −
Les solutions de l’équation sont 2 et -4 ; S =
2;−4
Les points B
( )
−4 et C 2( )
sont 3 unités, distants de A( )
−1 . 7. Inéquation avec valeur absolueUne inéquation avec valeur absolue est une inéquation du type : x a− b a pour solutions les réels x tels que : −bx−ab
soit a−b xa+b
x a− b a pour solutions les réels x tels que : x−ab ou x−a−b soit xa+b ou xa−b x a− b a pour solutions les réels x tels que : −b x−ab
soit a b x a b− +
x a− b a pour solutions les réels x tels que : x−ab ou x−a−b soit x a b + ou x a b − Exemples : Résoudre les inéquations:
1. x−7 3 , on a : 3 7 3 7
4 10
x x
− + +
S=
4;10
2. x+2 3
( 2 ) 3 ( 2 ) 3
5 1
x x
− − − +
−
S= −
5;1
3. x+ 1 4
4 1
x+ ou x+1−4
x − +( 1) 4 ou x − −( 1) 4
x3 x−5 S= S = − −
; 5
3;+
x A
---2 1
---5
x A
7 10
00 4
B x
---5 3
x
A C
B
-1
-4 2
9
4. x−5 1
x−51 ou x−5−1
x +5 1 ou x −5 1
x6 x4
S
−;4
6;+
.Exercices 1. Calculer :
a. 3+5 ; 16 −−5 ; −9 +18 ; −19−−11.
b. 6
9
; 4 6
; 24 3 10
; 5
8 −
−
−
− −
−
− .
c. (13−8)+7 −−6 ; 3+8−6 +3+(4−3).
2. Enlever les barres de chacune des valeurs absolues suivantes.
a. 1+ 3; 1− 3 ; 3−1.
b. x−2 pour x3 ; x−2 pour x−1. 3. Résoudre les équations suivantes.
a. x=5; 3x−4=0; x2 =9; x−1+1=0.
b. x x x x x x
x =2; 3 −1 −2 =0; −3=3− ; −3 =3−
1 .
4. Calculer :
( )
( )
( )
( )( )3 2 15
3 5 3 2 ;
1 11 5
3 2 2
2 − −
− +
−
−
− +
−
−
5. Résoudre et représenter l’ensemble solution sur la droite des réels chacune des équations suivantes.
a. x−3=5; x−2 3; x+1=2
b. ; 3 2
2 3 2
; 1 1
4 + = +
+ x x
x .
6. Résoudre les inéquations suivantes.
a. 3
2 4
; 1 27 6 3
; 8 5
2 − − x+
x
x .
b. 3x−54; 3−x 1− 2 ; 2x−3−4. 7. Montrer les inégalités suivantes.
a. a+b a+b b. a−b a−b.
B x
-4 6
x
