Ensemble des nombres réels et sous-ensembles

Prof/ATMANI NAJIB http:// abcmaths.e-monsite.com 1 Exercices avec solutions PROF : ATMANI NAJIB Tronc CS

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Exercice1 : Les nombres 54 126 75

, ,

40 450 90, 17 7 , 1

3 Sont-ils des décimaux ?

Solution : 54

401.35D ; 126

4500.28D ; 75 5

0.8333333333..

90 6 D

17 0.428571429..

7  D

1 0.333333...

3 est rationnel mais 1 3D

Remarque : un rationnel non décimal a une écriture décimale périodique infinie :

2.4285714285714285714285714285714… ; 428571 se répète

Un irrationnel a une écriture décimale non périodique infinie :

Exemple : 1.4142135623730950488016887242097 … Exercice2 : compléter par :



;



;



;



6... ; 2

3... ^; 2... ; 2... ; ... ; ... ; 2...

3

  ; 2 3... ^;

6...

2 ^;

100...

5

; ... ; ... ;



... ; 0... ^ ; 7 3...

  ; 16... ; 0... ^ ;



^{1;3; 8 ...}



^{; ... ; ...D}

2

1 ; ...D 3

1

Solution : 6 ; 2

3 ; 2 ; 2 ;



;

 ; 2 3

   ; 2

3 ; ⁶

2 ; ¹⁰⁰

5  ;



;  ;



 ; 0 ^ ; ⁷ 3

   ; 16 ; 0 ^ ;



^{1;3; 8 }



^{; }

^

^{; D}

2

1 ; D 3

1

Exercice3: calculer et simplifier :

2 7 1

3 6 4 2 B 

    5 1

3 2 3

2 D

 



1 2 1

1 1

3 5 2

E      7 4

12 21

F 



 



       

G a c  a b    c a  b c 

Solution : 3 5 7 9 20 14 9 20 14 15 5

4 3 6 12 12 12 12 12 4

A          

2 7 1 8 14 3 24 8 14 3 24 21 7

3 6 4 2 12 12 12 12 12 12 4

B              

 

²

2 2

2

4 15 11 11 121

6 6 6 36

  

   

     

   

1 16

5 3 3 16 2 32

3 1 3 1 3

2 2 2

D

     



1 2 1 3 1 4 10 5 2 4 10 5 2 9 2 3 3 3

1 1

3 5 2 3 3 10 10 10 3 10 3 10 3 5 2 5 E                             

4 7 4

7 7 4 1 7 4 1

12 21

12 21 12 21 12 21

1 F

  

 

     

   

         

 

7 4 1 1

3 7 4 3

F 

  

    

 

           

Ga c  a b     c a b c        a c a b c a b c

G         a c a b c a b c a c Exercice4 : calculer et simplifier :

9

A 2 ; 28

B 14 ; C3 204 45 2 80  180



^{3 2 5}



^{3 2 5}



D     : 3 5 3 5

3 5 3 5

E  

 

 

Solution :

 

²

9 9 3 3 2 3 2 3 2

2 2 2 2 2 2 2

A     



28 28

14 2 B 14 

3 20 4 45 2 80 180 3 4 5 4 9 5 2 16 5 36 5

C           

 

3 2 5 4 3 5 2 4 5 6 5 6 5 12 5 8 5 6 5 6 12 8 6 5 C              

4 5 C



^{3 2 5}



^{3 2 5}

  

^{3 2}



⁵

  ^

^{3 2}

^

⁵



D         



^{3 2}

    

^{2 5 2 3 2 2 3 2}

 

^{2 2 5 3 2 3 2 2 5}

D           

2 6 D

     

  

3 5 3 5 3 5 3 5

3 5 3 5

3 5 3 5 3 5 3 5

E

    

 

  

   

3 5 7 4 3 6 A  

2 5 2

3 2 C  

2 5 2

3 2 C  

Ensemble des nombres réels et sous-ensembles

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   

   

         

   

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

3 2 3 5 5 3 2 3 5 5

3 5 3 5

3 5 3 5

E

    

  

 

 

 

   

^{2 2}

   

^{2 2}

3 2 15 5 3 2 15 5 3 2 15 5 3 2 15 5 4 15 2 2 15

3 5 3 5

E

         

    

  

Exercice5:soit ^{5 7 5 2}

2 7 2 7

E 

 

Montrer que : E est nombre entier relatif Solution :

    

  

5 7 2 7 5 2 2 7

5 7 5 2

2 7 2 7 2 7 2 7

E

   

  

   

   

^{2 2}

   

^{2 2}

5 7 2 5 7 7 5 2 2 5 2 7 35 10 45 5 9

2 7 2 7

E         

  

Exercice6 : calculer et simplifier

2 2 2 2 2 2 2 2 2

A        

Solution : ^A



^{2 2 2}



^{2 2 2}



^{ 2 2 2}

 

²

^{ }

22 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2

A           

 

²

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

A          

Exercice7:Rendre le dénominateur rationnel du quotient suivant: ¹

2 1 A

 Solution :

  

^{2 2}

1 2 1 2 1 2 1

= = = = 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 1

A   

 

   

Exercice8:simplifier et écrire sous forme d’une puissance

   

^{4 3}

3 2 5

2 2 2

A   ^{ B }

       

^{31 35 32 310}

5 2

3 2

3 4 9

12 2

C

  

 

   

 

3 2 1

4

2 4 8

1024 16 D





  

  

8 9 7 4

2 3 5

10 10 10 10

10 10 10

E

 



  

  

Solution :

   

^{4 3}

3 2 5 3 2 4 5 3 3 8 15 4

2 2 2 2 2 2 2 2

A   ^   ^  ^{ }  ^{ }  ^

4

1 1 2 16 A 

       

^{31 35 3 2 3 10}

 

³¹

     

^{35 3 2 3 10}

B       ^      ^

1 5 2 10 1 5 2 10 2

2

1 1

3 3 3 3 3 3

3 9

B    ^  ^{  }  ^  

 

  ^{   }

2 4

5 2 5 2

5 2 2

3 3

3 2 2 2 6 2

3 2 3 2 3

3 4 9 3

12 2 3 2 2 3 2 2

C

 

 

     

    

  

 

 

⁵ 3 6⁴ 2^{2 5 4 2}

 

^{3 6 2 5 3 2 4 6 2}

3 2 3

3 2 3 3 2 2 3 2

3 2 2 C

 

          

 

        

 

6 12

3 2 C ^  ^

   

 

 

   

 

1 2

3 2 3 2 1 3 3 2 3

4 3 4 10 3 4

2 4 8 2 4 2 2 2 2

1024 16 1024 2 2 2

D

 

 

  

        

  

     

 

²

^{ }

^{3 4}

3 2 3 10

2 2 2 2 2

D   ^   ^   ^ 3 4 3 10 12 4

2^{   } 2 16

     

8 9 7 4

8 9 7 4 2 3 5

2 3 5

10 10 10 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

E

 

   



  

       

 

8 9 7 4 2 3 5 2

2

1 1

10 10 0.01

10 100

E             

Exercice9:Ecrire en notation scientifique les nombres suivants :B = 35  10⁶ + 3  10⁶ + 2,9  10⁶

C = -0,8  10⁷ + 0,05  10⁷ – 2,32  10⁷

Exercice10 : Ecrire en notation scientifique le nombre A = 9  10^-3 + 0,4  10^-2 – 9  10^-4 en mettant d’abord 10^-4 en facteur et sans utiliser de calculatrice.

Exercice11:x développer et calculer et simplifier



^{5 2}

 

^{2 5 2}



²

A    ^{et B}_



^{2 3}



^{2 3}



^_²



^{2 1}



³

C  ^D



^3x2



^{3 E}



^x2

 

^x22x4





200520052006

 

² 200520052005 200520052007



F  

(Lorsque la calculatrice tombe en panne ou ne peut pas calculer) Solution :



^{5 2}

 

^{2 5 2}

  

^{2 52 2 5 2}

   

²²



^{5 2 2 5 2}

 

^{2 2}



A         

 

5 2 10 2 5 2 10 2 5 2 10 2 5 2 10 2 4 10

A            



^{2 3}



^{2 3}



²

    

^{2 2 3 2}



²

^

^{2 3}

^{  }

^{2 12 1}

B          



^{2 1}

    

^{3 2 3 3 2 2 1 3 2 1}

^{   }

^{2 13} 2 2 3 2 3 2 1

C           

5 2 7 C 



^{3 2}

  

^{3 3 3 3 3}

 

^{2 2 3 3}

   

^{2 2 2 3}

D x  x  x    x 

3 2

27 54 36 8

D x  x  x



²

 

^{2 2 4}

 

²

 

^{2 2 22}



^{3 23 3 8}

E x x  x  x x   x x  x 



200520052006

 

² 200520052005 200520052007



F  

On remarque que les nombres : 200520052006 et 200520052005 Et 200520052007 différent par leurs chiffes des unités

Pour simplifier on pose : x200520052006

Donc : 200520052005 x 1et 200520052007 x 1

Donc : ^{Fx2 }



^{x 1}



^x1



 

2 2

1 x x

   x²x² 1 1 Donc : F 1 Exercice12:Factoriser les expressions suivantes : x 1)49x²81 2) 16x² - 8x + 1 3) x³-8 4) C = (a + 1) (2a - 3) + 6(a + 1) D = 27x³ + 1

Solution :1) On regarde l’expression, pour choisir l'identité remarquable à appliquer.

L'expression semble être de la forme : a² - b².

 

²

   

2 2

49x 81 7x 9  7x 9 7x9 il s'agit d'un produit. L'expression est factorisée.

2)16x² - 8x + 1 = (4x) ²-8x+1²=(4x) ²+2×(4x) ×+1=(4x-1) ² 3) x³-8= x³-2³=(x-2) (x²+2x+2²) =(x-2) (x²+2x+4)

4) (a + 1) est le facteur commun.

Prof/ATMANI NAJIB http:// abcmaths.e-monsite.com 3 C = (a + 1) (2a - 3 + 6) Donc C = (a + 1) (2a +3)

5)D = 27x³ + 1 -> Il n'y a pas de facteur commun.

-> L'expression semble être de la forme a³+ b³. D = 27x³ + 1=(3x)³ - 1³=(3x+1) ((3x)² -1(3x) +1²)

= (3x+1) (9x² - 3x +1)

Donc : Méthodes : Pour factoriser une expression, on doit : - identifier une identité remarquable ou

- identifier un facteur commun

Attention : on ne peut pas toujours factoriser une expression exemple :16x² + 8x + 3 = (4x+1) ² + 2 ; cette expression ne peut pas être factorisée sous la forme d'un produit de deux facteurs de degré 1

Exercice13:x développer et calculer et simplifier



^{3 11}

 

^{2 3 11}



²

A    ^B



^{4 37}

 

^{2015 4 37}



²⁰¹⁵



^{75 98}

 

^{5 3 7 2}



C    ^D



^5x2



³



^{3 1}



³

E  ^F



^{2x3 4}

 

^x26x9





2015200052004

 

² 2015200052002 2015200052006



G  

Solution :



^{3 11}

 

^{2 3 11}

  

^{2 32 2 3 11}

   

¹¹²



^{32 2 3 11}

 

¹¹²



A         

 

3 2 33 11 3 2 33 11 3 2 33 11 3 2 33 11 4 33

A            

  



4 3 7 4 3 7



²⁰¹⁵

 ^{ }

4 3²

^{ }

7 ²



²⁰¹⁵

^

48 49

^

²⁰¹⁵

^{ }

1²⁰¹⁵ 1

B          



^{75 98}

 

^{5 3 7 2}

 

^{25 3 49 2}

 

^{5 3 7 2}



C         



^{5 3 7 2}

 

^{5 3 7 2}

    

^{5 3 2 7 2 2} 75 98 75 98 23

C           



^{5 2}



³

 

^{5 3 3 5}

 

^{2 2 3 5}

   

^{2 2 2 3}

D x  x  x    x 

3 2

125 150 60 8

D x  x  x



^{3 1}

  

^{3 3 3 3}

 

^{3 2 1 3 3}

^{   }

^{1 2 1 3}

E        

3 3 9 3 3 1 6 3 10

E      



^{2 3 4}

 

^{2 6 9}

 ^

^{2 3}

^{  } 

^{2 2 2 3 32}

 ^{ }

^{2 3 33 8 3 27}

F x x   x x x   x  x   x 



2015200052004

 

² 2015200052002 2015200052006



G  

On remarque que les nombres : 201520052002 et 201520052004 Et 201520052006 différent par leurs chiffes des unités

Pour simplifier on pose : x2015200052004

Donc : x 2 2015200052006et x 2 2015200052002 Donc : ^{Gx2 }



^{x 2}



^x2



^x2



^x24



G



x²



x²

 

4 4

Exercice14 : Remplissez les blancs suivants : et

Solution :1)

 

²

^{ }

²

4 2 3   4 2 3 1 3 2    3 1 1   3  2 3 1  1

 

²

4 2 3  3 1

 

²

 

²

10 4 6 10 2 2   6 2  2 6 2  6

 

²

10 4 6  2 6

Exercice15:a ^ et b ^ et ab

Montrer que : ^{a a2b2 } ₂²



^{a b ab}



Solution : pour montrer que deux nombres positifs sont égales on pourra montrer que leurs carrés sont égaux

2

2 2 2 2

a a b a a b

      

 

 

 

^{2 2}

 

²

2 2

2 a b a b 2 a b a b

   

       

   

   

   

 

²

  

²

 

²



2 1

4 a b a b 2 a b 2 a b a b a b

            

 

²

 ^{  } 

2 1

4 a b a b 2 a b 2 a b a b a b

            

  

  ^{  }

^{2 2}

1 2 2

2 a a b a b a a b a b a a b

            Donc on a :

2

2 2

a a b

    

 

  ^_{ 2}²



^{a b  a b}



^_²

 

Donc : ^{a a2b2 } ₂²



^{a b  ab}



Exercice16:Factoriser les expressions suivantes : x

16 2 8 1

A x  x ; B16 25 x² ; ^{C  1}



^{1 3x}



²



^{2 1}



^{3 8}

D x  ^{; E27x3 ; Fx122x61}

  ^{ }

3 2

1 2 1 1

H  x x   x ^{et G   x5 x3 x2 1}

Solution :^{A16x2  8x 1}

 

^{4x 2    2 4x 1 12}



^4x1



²

    

^{2 2}

 

16 25 2 4 5 4 5 4 5

B  x   x   x  x

 

^{2 2}

 

²

       

1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3

C   x    x    x   x



^{1 1 3}



^{1 1 3}



³



^{2 3}



C   x   x  x  x



^{2 1}



^{3 8}



^{2 1}



^{3 23}

D x   x   On a : ^a3b3



^{a b a}

 

^{2ab b 2}



donc : ^D

 

^{2x 1}



²

  ^

^2x1

^{ }

^{2 2x  1}

^

^{2 22}





^{2 3}

   

^{2 2 4 1 4 2 4}

 ^

^{2 3}

^{ }

^{4 2 3}

^

D x x  x  x   x x  27 3

E x 3³x³



^3x

 

^323xx2



On a : ^a3b3



^{a b a}

 

^{2ab b 2}





³

 

^{9 3 2}



E x  xx

 

^{6 2 2 6 1}

 

^{6 2 2 6 1 12}



^{6 1}



²

F  x  x   x  x    x 

      

5 3 2 3 2 2 3 2

1 1 1 1 1

Gx x x  x x   x   x  x 

       

3 2 3 3 2 2

1 2 1 1 1 2 1 1

Hx   x    x x   x   x



¹

 

^{2 12}



²

^

¹

^

¹

^{ }

¹

^

H x x  x  x x  x



¹

 

^{2 1 2}



¹



¹

 ^

¹

^ 

^{2 1 2 2 1}



H x x   x x   x x   x x 



¹

 

^{2 2}



H x x  x

C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe.

C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien

 

²

10 4 6  ... ... ^{4 2 2 }



^{... ...}



²

Factoriser c’est écrire sous la forme d'un produit