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Ensemble des nombres réels et sous-ensembles

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Academic year: 2022

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(1)

Prof/ATMANI NAJIB http:// abcmaths.e-monsite.com 1 Exercices avec solutions PROF : ATMANI NAJIB Tronc CS

http:// abcmaths.e-monsite.com

Exercice1 : Les nombres 54 126 75

, ,

40 450 90, 17 7 , 1

3 Sont-ils des décimaux ?

Solution : 54

401.35D ; 126

4500.28D ; 75 5

0.8333333333..

90 6 D

17 0.428571429..

7  D

1 0.333333...

3 est rationnel mais 1 3D

Remarque : un rationnel non décimal a une écriture décimale périodique infinie :

2.4285714285714285714285714285714… ; 428571 se répète

Un irrationnel a une écriture décimale non périodique infinie :

Exemple : 1.4142135623730950488016887242097 … Exercice2 : compléter par :

;

;

;

6... ; 2

3... ; 2... ; 2... ; ... ; ... ; 2...

3

; 2 3... ;

6...

2 ;

100...

5

; ... ; ... ;

... ; 0... ; 7 3...

 ; 16... ; 0... ;

1;3; 8 ...

; ... ; ...D

2

1 ; ...D 3

1

Solution : 6 ; 2

3 ; 2 ; 2 ;

;

 ; 2 3

  ; 2

3 ; 6

2 ; 100

5 ;

;  ;

 ; 0 ; 7 3

   ; 16 ; 0 ;

1;3; 8 

;

; D

2

1 ; D 3

1

Exercice3: calculer et simplifier :

2 7 1

3 6 4 2 B

    5 1

3 2 3

2 D

 

1 2 1

1 1

3 5 2

E      7 4

12 21

F

       

G a c  a b    c a  b c 

Solution : 3 5 7 9 20 14 9 20 14 15 5

4 3 6 12 12 12 12 12 4

A          

2 7 1 8 14 3 24 8 14 3 24 21 7

3 6 4 2 12 12 12 12 12 12 4

B              

 

2

2 2

2

4 15 11 11 121

6 6 6 36

  

   

     

   

1 16

5 3 3 16 2 32

3 1 3 1 3

2 2 2

D

 

1 2 1 3 1 4 10 5 2 4 10 5 2 9 2 3 3 3

1 1

3 5 2 3 3 10 10 10 3 10 3 10 3 5 2 5 E                             

4 7 4

7 7 4 1 7 4 1

12 21

12 21 12 21 12 21

1 F

 

7 4 1 1

3 7 4 3

F

 

           

Ga c  a b     c a b c        a c a b c a b c

G         a c a b c a b c a c Exercice4 : calculer et simplifier :

9

A 2 ; 28

B 14 ; C3 204 45 2 80  180

3 2 5



3 2 5

D     : 3 5 3 5

3 5 3 5

E  

 

 

Solution :

 

2

9 9 3 3 2 3 2 3 2

2 2 2 2 2 2 2

A     

28 28

14 2 B 14 

3 20 4 45 2 80 180 3 4 5 4 9 5 2 16 5 36 5

C           

 

3 2 5 4 3 5 2 4 5 6 5 6 5 12 5 8 5 6 5 6 12 8 6 5 C              

4 5 C

3 2 5



3 2 5

  

3 2

5

 

3 2

5

D

3 2

    

2 5 2 3 2 2 3 2

 

2 2 5 3 2 3 2 2 5

D      

2 6 D

     

  

3 5 3 5 3 5 3 5

3 5 3 5

3 5 3 5 3 5 3 5

E

3 5 7 4 3 6 A  

2 5 2

3 2 C  

2 5 2

3 2 C  

Ensemble des nombres réels et sous-ensembles

(2)

Prof/ATMANI NAJIB http:// abcmaths.e-monsite.com 2

   

   

         

   

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

3 2 3 5 5 3 2 3 5 5

3 5 3 5

3 5 3 5

E

 

   

2 2

   

2 2

3 2 15 5 3 2 15 5 3 2 15 5 3 2 15 5 4 15 2 2 15

3 5 3 5

E

     

 

Exercice5:soit 5 7 5 2

2 7 2 7

E

Montrer que : E est nombre entier relatif Solution :

    

  

5 7 2 7 5 2 2 7

5 7 5 2

2 7 2 7 2 7 2 7

E

 

   

2 2

   

2 2

5 7 2 5 7 7 5 2 2 5 2 7 35 10 45 5 9

2 7 2 7

E   

Exercice6 : calculer et simplifier

2 2 2 2 2 2 2 2 2

A        

Solution : A

2 2 2



2 2 2

2 2 2

 

2

22 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2

A  

 

2

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

A

Exercice7:Rendre le dénominateur rationnel du quotient suivant: 1

2 1 A

Solution :

  

2 2

1 2 1 2 1 2 1

= = = = 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 1

A   

 

   

Exercice8:simplifier et écrire sous forme d’une puissance

   

4 3

3 2 5

2 2 2

A   B 

       

31 35 32 310

5 2

3 2

3 4 9

12 2

C

 

   

 

3 2 1

4

2 4 8

1024 16 D

  

  

8 9 7 4

2 3 5

10 10 10 10

10 10 10

E

  

  

Solution :

   

4 3

3 2 5 3 2 4 5 3 3 8 15 4

2 2 2 2 2 2 2 2

A    

4

1 1 2 16 A 

       

31 35 3 2 3 10

 

31

     

35 3 2 3 10

B           

1 5 2 10 1 5 2 10 2

2

1 1

3 3 3 3 3 3

3 9

B        

 

     

2 4

5 2 5 2

5 2 2

3 3

3 2 2 2 6 2

3 2 3 2 3

3 4 9 3

12 2 3 2 2 3 2 2

C

  

    

  

 

 

5 3 64 22 5 4 2

 

3 6 2 5 3 2 4 6 2

3 2 3

3 2 3 3 2 2 3 2

3 2 2 C

     

 

        

 

6 12

3 2 C

   

 

 

   

 

1 2

3 2 3 2 1 3 3 2 3

4 3 4 10 3 4

2 4 8 2 4 2 2 2 2

1024 16 1024 2 2 2

D

 

   

     

 

2

 

3 4

3 2 3 10

2 2 2 2 2

D       3 4 3 10 12 4

2    2 16

     

8 9 7 4

8 9 7 4 2 3 5

2 3 5

10 10 10 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

E

8 9 7 4 2 3 5 2

2

1 1

10 10 0.01

10 100

E       

Exercice9:Ecrire en notation scientifique les nombres suivants :B = 35  106 + 3  106 + 2,9  106

C = -0,8  107 + 0,05  107 – 2,32  107

Exercice10 : Ecrire en notation scientifique le nombre A = 9  10-3 + 0,4  10-2 – 9  10-4 en mettant d’abord 10-4 en facteur et sans utiliser de calculatrice.

Exercice11:x développer et calculer et simplifier

5 2

 

2 5 2

2

A    et B

2 3



2 3

2

2 1

3

C  D

3x2

3 E

x2

 

x22x4

200520052006

 

2 200520052005 200520052007

F  

(Lorsque la calculatrice tombe en panne ou ne peut pas calculer) Solution :

5 2

 

2 5 2

  

2 52 2 5 2

   

22

5 2 2 5 2

 

2 2

A

 

5 2 10 2 5 2 10 2 5 2 10 2 5 2 10 2 4 10

A           

2 3



2 3

2

    

2 2 3 2

2

2 3

  

2 12 1

B  

2 1

    

3 2 3 3 2 2 1 3 2 1

   

2 13 2 2 3 2 3 2 1

C     

5 2 7 C

3 2

  

3 3 3 3 3

 

2 2 3 3

   

2 2 2 3

D x x x    x

3 2

27 54 36 8

Dxxx

2

 

2 2 4

 

2

 

2 2 22

3 23 3 8

E x x x x x   x x x

200520052006

 

2 200520052005 200520052007

F  

On remarque que les nombres : 200520052006 et 200520052005 Et 200520052007 différent par leurs chiffes des unités

Pour simplifier on pose : x200520052006

Donc : 200520052005 x 1et 200520052007 x 1

Donc : Fx2 

x 1



x1

 

2 2

1 x x

   x2x2 1 1 Donc : F 1 Exercice12:Factoriser les expressions suivantes : x 1)49x281 2) 16x² - 8x + 1 3) x3-8 4) C = (a + 1) (2a - 3) + 6(a + 1) D = 27x3 + 1

Solution :1) On regarde l’expression, pour choisir l'identité remarquable à appliquer.

L'expression semble être de la forme : a² - b².

 

2

   

2 2

49x 81 7x 9  7x 9 7x9 il s'agit d'un produit. L'expression est factorisée.

2)16x² - 8x + 1 = (4x) ²-8x+1²=(4x) ²+2×(4x) ×+1=(4x-1) ² 3) x3-8= x3-23=(x-2) (x2+2x+22) =(x-2) (x2+2x+4)

4) (a + 1) est le facteur commun.

(3)

Prof/ATMANI NAJIB http:// abcmaths.e-monsite.com 3 C = (a + 1) (2a - 3 + 6) Donc C = (a + 1) (2a +3)

5)D = 27x3 + 1 -> Il n'y a pas de facteur commun.

-> L'expression semble être de la forme a3+ b3. D = 27x3 + 1=(3x)3 - 13=(3x+1) ((3x)2 -1(3x) +12)

= (3x+1) (9x2 - 3x +1)

Donc : Méthodes : Pour factoriser une expression, on doit : - identifier une identité remarquable ou

- identifier un facteur commun

Attention : on ne peut pas toujours factoriser une expression exemple :16x² + 8x + 3 = (4x+1) ² + 2 ; cette expression ne peut pas être factorisée sous la forme d'un produit de deux facteurs de degré 1

Exercice13:x développer et calculer et simplifier

3 11

 

2 3 11

2

A    B

4 37

 

2015 4 37

2015

75 98

 

5 3 7 2

C D

5x2

3

3 1

3

E  F

2x3 4

 

x26x9

2015200052004

 

2 2015200052002 2015200052006

G  

Solution :

3 11

 

2 3 11

  

2 32 2 3 11

   

112

32 2 3 11

 

112

A

 

3 2 33 11 3 2 33 11 3 2 33 11 3 2 33 11 4 33

A           

  

4 3 7 4 3 7

2015

 

4 32

 

7 2

2015

48 49

2015

 

12015 1

B    

75 98

 

5 3 7 2

 

25 3 49 2

 

5 3 7 2

C  

5 3 7 2

 

5 3 7 2

    

5 3 2 7 2 2 75 98 75 98 23

C      

5 2

3

 

5 3 3 5

 

2 2 3 5

   

2 2 2 3

D x x x    x

3 2

125 150 60 8

Dxxx

3 1

  

3 3 3 3

 

3 2 1 3 3

   

1 2 1 3

E   

3 3 9 3 3 1 6 3 10

E     

2 3 4

 

2 6 9

2 3

  

2 2 2 3 32

 

2 3 33 8 3 27

F x x   x x x   x x   x

2015200052004

 

2 2015200052002 2015200052006

G  

On remarque que les nombres : 201520052002 et 201520052004 Et 201520052006 différent par leurs chiffes des unités

Pour simplifier on pose : x2015200052004

Donc : x 2 2015200052006et x 2 2015200052002 Donc : Gx2 

x 2



x2

x2

x24

G

x2

x2

 

4 4

Exercice14 : Remplissez les blancs suivants : et

Solution :1)

 

2

 

2

4 2 3   4 2 3 1 3 2    3 1 1   3  2 3 1  1

 

2

4 2 3  3 1

 

2

 

2

10 4 6 10 2 2   6 2  2 6 2  6

 

2

10 4 6  2 6

Exercice15:a et b et ab

Montrer que : a a2b2 22

a b ab

Solution : pour montrer que deux nombres positifs sont égales on pourra montrer que leurs carrés sont égaux

2

2 2 2 2

a a b a a b

 

2 2

 

2

2 2

2 a b a b 2 a b a b

   

 

2

  

2

 

2

2 1

4 a b a b 2 a b 2 a b a b a b

            

 

2



2 1

4 a b a b 2 a b 2 a b a b a b

            

  

  

2 2

1 2 2

2 a a b a b a a b a b a a b

            Donc on a :

2

2 2

a a b

    

 

  22

a b  a b

2

Donc : a a2b2 22

a b  ab

Exercice16:Factoriser les expressions suivantes : x

16 2 8 1

Axx ; B16 25 x2 ; C  1

1 3x

2

2 1

3 8

Dx  ; E27x3 ; Fx122x61

   

3 2

1 2 1 1

H  x x   x et G   x5 x3 x2 1

Solution :A16x2  8x 1

 

4x 2    2 4x 1 12

4x1

2

    

2 2

 

16 25 2 4 5 4 5 4 5

B  x   x   xx

 

2 2

 

2

       

1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3

C   x    x    x   x

1 1 3



1 1 3

3

2 3

C   x   xxx

2 1

3 8

2 1

3 23

Dx   x   On a : a3b3

a b a

 

2ab b 2

donc : D

 

2x 1

2

 

2x1

 

2 2x  1

2 22

2 3

   

2 2 4 1 4 2 4

2 3

4 2 3

D x x x  x  x x 27 3

E x 33x3

3x

 

323xx2

On a : a3b3

a b a

 

2ab b 2

3

 

9 3 2

E xxx

 

6 2 2 6 1

 

6 2 2 6 1 12

6 1

2

Fxx   xx    x

      

5 3 2 3 2 2 3 2

1 1 1 1 1

Gxxx  x x   x   xx

       

3 2 3 3 2 2

1 2 1 1 1 2 1 1

Hx   x    x x   x   x

1

 

2 12

2

1



1

 

1

Hxx  xxx  x

1

 

2 1 2

1

1

1

2 1 2 2 1

Hxx   x x   xx   x x 

1

 

2 2

Hxx  x

C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe.

C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien

 

2

10 4 6  ... ... 4 2 2

... ...

2

Factoriser c’est écrire sous la forme d'un produit

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